材料力學(xué)課件3（新）

三、扭轉(zhuǎn)（Torsion）

1.扭轉(zhuǎn)內(nèi)力、扭矩圖

扭轉(zhuǎn)：直桿、承受垂直于桿軸線平面內(nèi)的力偶

變形——橫截面繞桿軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)截面法：外力為平行平面的力偶系內(nèi)力也是力偶M1M2MnmmM1M2Tmm

T作用面垂直于桿件扭轉(zhuǎn)桿的內(nèi)力——扭矩（torsionalmoment）符號(hào)：外法線方向——正；內(nèi)法線方向——負(fù)表示扭矩沿桿截面位置的變化：扭矩方程

T=T(x)扭矩最大值|T|max扭矩圖xTO2.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力、強(qiáng)度條件切應(yīng)力在截面上的變化（1）切應(yīng)力與切應(yīng)變、剪切虎克定律符號(hào)：隨切應(yīng)力而定

mxy平面內(nèi)x、y方向的平均切應(yīng)變點(diǎn)o處xy平面x、y方向的切應(yīng)變(shearstrain)相應(yīng)于切應(yīng)力的變形oyxxoyΔyΔxzττ′Δz單元體上的切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理剪切試驗(yàn)：在線彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律切變模量，反映材料抵抗彈性剪切變形的能力單位：Pa，GPa（2）扭轉(zhuǎn)桿橫截面上的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)變形規(guī)律：軸線保持直線不變橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)、保持平面且垂直于軸線截取微段

x：切應(yīng)變平面假設(shè)abcda′b′c′d′圓截面直桿bdΔxeTT+ΔTΔφd′

b

MeMe內(nèi)部點(diǎn)e的切應(yīng)變剪切虎克定律(線彈性)橫截面上的切應(yīng)力垂直于半徑，沿半徑線性分布，在同一圓周上大小相同橫截面上點(diǎn)在切平面內(nèi)的切應(yīng)變沿半徑線性變化，在同一圓周上大小相同切應(yīng)力τoT共面旋轉(zhuǎn)力系

的合力偶矩為扭矩TIp—極慣性矩，取決于截面尺寸，單位：m4危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)外圓周上最大切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位：m3切應(yīng)力圓截面：空心圓截面：薄壁圓環(huán)截面：思考：扭轉(zhuǎn)圓桿橫截面上無(wú)正應(yīng)力與徑向切應(yīng)力

oρdρDoρdD例3-1圓軸，n=300r/min，功率P1=500kW，P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作扭矩圖。BCADM2M1M4M36.37扭矩圖(kN?m)9.564.78解:截面法BC段：

CA段：AD段：扭矩圖如上，，AC段中若交換輪A與D的位置，則最大扭矩將出現(xiàn)在AD段，=15.93kN?m，不合理。例3-2鉆桿，P＝10kW，n＝180r/min，土深l＝40m，阻力為均布力偶。試求扭矩圖。解:主動(dòng)力偶阻力偶集度扭矩扭矩圖如上土上表面處桿的扭矩最大mMel0.531kN?m扭矩圖（3）扭轉(zhuǎn)桿斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)分析：取單元體斜截面

上的應(yīng)力

、

xoyΔyΔxzττ′Δzoyxαττ'σααταnt極值應(yīng)力：兩對(duì)相互垂直面上只有切應(yīng)力，且大小相等達(dá)到極值兩對(duì)相互垂直面上只有正應(yīng)力，且大小相等達(dá)到極值45oττ'σmintσmax45o正應(yīng)力最大的截面與切應(yīng)力最大的截面成45

各截面上應(yīng)力由橫截面上的切應(yīng)力

完全確定純剪切應(yīng)力狀態(tài)思考：純剪切應(yīng)力狀態(tài)與扭轉(zhuǎn)桿的關(guān)系（4）強(qiáng)度條件圓截面直桿——各點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)取決于

試驗(yàn)確定

u

——考慮安全性n得到許用切應(yīng)力[

]強(qiáng)度計(jì)算的問(wèn)題：校核

max[

]滿(mǎn)足，否則不滿(mǎn)足許用載荷

T

Wp

[

]強(qiáng)度條件截面尺寸例3-3同例3-2，鉆桿外徑D＝60mm，內(nèi)徑d=50mm，G=80GPa，[τ]=40MPa。試校核強(qiáng)度。解:扭矩圖如前上端最大扭矩外圓周上最大切應(yīng)力滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。注意：截面、扭矩變化時(shí)，需分別進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算合理截面，高Wp，空心——材料遠(yuǎn)離形心思考：P82-3-2,3,4,6練習(xí)：P84-習(xí)題3-1,12

3.扭轉(zhuǎn)變形、剛度條件、應(yīng)變能（1）扭轉(zhuǎn)桿的變形圓截面直桿，橫截面上點(diǎn)在切平面內(nèi)的切應(yīng)變圓桿扭轉(zhuǎn)變形——橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角(angleoftwist)兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角G、Ip、T為常數(shù)時(shí)，G、Ip、T分段為常數(shù)時(shí)，GIp

——扭轉(zhuǎn)剛度思考：扭轉(zhuǎn)桿的體積變化

（2）剛度條件保證扭轉(zhuǎn)桿的正常工作——限制變形[

t]—許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，單位：

剛度計(jì)算的問(wèn)題：校核、選擇截面尺寸、確定許用荷載安全有效——同時(shí)考慮強(qiáng)度+剛度思考：一般情況下剛度條件比強(qiáng)度條件更嚴(yán)格剛度條件例3-4同例3-2，試求最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，兩端截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解:扭矩圖如前。上端面剛度校核選擇截面許用荷載?例3-5等直圓桿，d=40mm，a=400mm，G=80GPa，

DB=1°。試求

max，

AD。0解:截面法→扭矩圖如上。相對(duì)扭矩角解得Me=877N?mAMeBCDMeMeaa2aMeMe最大扭矩——DC段與BA段——危險(xiǎn)截面最大切應(yīng)力——外圓周上——危險(xiǎn)點(diǎn)

相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：（3）扭轉(zhuǎn)桿的應(yīng)變能外力偶作功轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能

V

=W單位體積的應(yīng)變能——應(yīng)變能密度單元體的應(yīng)變能xoyΔyΔxzττ′Δzoτγ功扭轉(zhuǎn)桿的應(yīng)變能適用的應(yīng)力條件：G、Ip、T為常數(shù)時(shí)，G、Ip、T分段為常數(shù)時(shí)，思考：比較桿扭轉(zhuǎn)與拉壓時(shí)的應(yīng)變能及其表達(dá)式純剪切應(yīng)力狀態(tài)，線彈性范圍內(nèi)例3-6同例3-2試求桿的應(yīng)變能。解:扭矩方程T=-mx

思考：P83-3-5，8，9練習(xí)：P85-習(xí)題3-5，15，20應(yīng)變能：

4.非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓桿扭轉(zhuǎn)變形的特征——橫截面翹曲——平面假設(shè)不成立兩種扭轉(zhuǎn)：自由扭轉(zhuǎn)；約束扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)矩形截面hb

max

maxMeMe5.截面的幾何性質(zhì)（1）靜矩與形心截面A對(duì)于y與z軸的靜矩（firstmomentofarea）可正可負(fù)，單位：m3用形心的坐標(biāo)表示軸過(guò)形心靜矩為零ozycdAzyρ（2）極慣性矩、慣性矩、慣性積截面A對(duì)于點(diǎn)o的極慣性矩非負(fù)，單位：m4截面A對(duì)于y與z軸的慣性矩(secondmomentofarea)慣性矩與極慣性矩的關(guān)系截面A對(duì)于y與z軸的慣性積可正可負(fù)，y軸或z軸過(guò)形心慣性半徑常用截面的幾何性質(zhì)附錄Ⅱ（3）平行移軸公式、組合截面法坐標(biāo)關(guān)系慣性矩慣性積注意：形心坐標(biāo)a與b可正可負(fù)ozycdAzyρycyczczc組合截面法：截面A分割成n個(gè)子截面Ai之和慣性矩靜矩（4）轉(zhuǎn)軸公式、主慣性矩坐標(biāo)關(guān)系慣性矩慣性積和的不變性ozyz1dAzyz1y1y1α極值主慣性軸y0與z0主慣性矩最大最小形心主慣性軸——形心主慣性矩思考：正方形與正三角形對(duì)于形心軸的靜矩與慣性矩例I-1計(jì)算圖示截面的形心主慣性矩。分析:(1)確定形心基本坐標(biāo)Oyz，組合法

形心oyz1zczcy1a1b1b2a2yc

0(2)形心軸慣性矩(積)形心軸Cyczc組合法平行移軸(3)確定主慣性矩軸形心主慣性軸Cy1z1(存在對(duì)稱(chēng)性，