河北省石家莊市南董鎮(zhèn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

河北省石家莊市南董鎮(zhèn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=（）x﹣x﹣2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）參考答案：A【考點(diǎn)】二分法的定義．【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，結(jié)合答案直接代入計(jì)算取兩端點(diǎn)函數(shù)值異號的即可．【解答】解：f（﹣1）=2+1﹣2=1＞0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，函數(shù)f（x）=（）x﹣x﹣2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（﹣1，0）故選，：A2.sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GO：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】先通過誘導(dǎo)公式cos225°=﹣cos45°，再利用正弦兩角和公式化簡即可得出答案．【解答】解：sin45°?cos15°+cos225°?sin15°=sin45°?cos15°﹣cos45°?sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=故答案選C3.設(shè)均為復(fù)數(shù)，若則稱復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的平方根，那么復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的平方根為（

）A.或

B.或

C.或

D.或

參考答案：A4.橢圓上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為2，是的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（

）

A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：B略5.正方體的全面積為a，它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C．2πa D．3πa參考答案：B【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【分析】設(shè)球的半徑為R，則正方體的對角線長為2R，利用正方體的表面積求出與球的半徑的等式，然后求出球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則正方體的對角線長為2R，依題意知R2=a，即R2=a，∴S球=4πR2=4π?a=．故選B【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，解題的突破口是正方體的體對角線就是球的直徑，正確進(jìn)行正方體的表面積的計(jì)算，是解好本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．6.設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，由滿足條件的直線只有一對，得，由此能求出雙曲線的離心率的范圍．【解答】解：不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，如圖，又∵滿足條件的直線只有一對，當(dāng)直線與x軸夾角為30°時(shí)，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30°，雙曲線與直線才能有交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30°，則無交點(diǎn)，則不可能存在|A1B1|=|A2B2|，當(dāng)直線與x軸夾角為60°時(shí)，雙曲線漸近線與x軸夾角大于60°，雙曲線與直線有一對交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于60°，也滿足題中有一對直線，但是如果大于60°，則有兩對直線．不符合題意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴雙曲線的離心率的范圍是．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．7.袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各2個(gè)，無放回的從中任取3個(gè)球，則恰有兩個(gè)球同色的概率為（） A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式． 【專題】計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】從紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各2個(gè)，無放回的從中任取3個(gè)球，共有C63=20種，其中恰有兩個(gè)球同色C31C41=12種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可． 【解答】解：從紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各2個(gè)，無放回的從中任取3個(gè)球，共有C63=20種， 其中恰有兩個(gè)球同色C31C41=12種， 故恰有兩個(gè)球同色的概率為P==， 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了排列組合和古典概率的問題，關(guān)鍵是求出基本事件和滿足條件的基本事件的種數(shù)，屬于基礎(chǔ)題． 8.如圖，設(shè)A是棱長為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是()A．有10個(gè)頂點(diǎn)B．體對角線AC1垂直于截面C．截面平行于平面CB1D1D．此多面體的表面積為a2參考答案：D

此多面體的表面積S＝6a2－3××a×a＋×a×a×＝a2＋a2＝a2.故選D.9.設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[） B．[） C．[） D．[）參考答案：D【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；51：函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】設(shè)g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關(guān)于a的不等式組可得．【解答】解：設(shè)g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴當(dāng)x＜﹣時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣時(shí)，g′（x）＞0，∴當(dāng)x=﹣時(shí)，g（x）取最小值﹣2，當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=﹣1，當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=e＞0，直線y=ax﹣a恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故選：D10.如圖，三棱錐的底面是正三角形，各條側(cè)棱均相等，．設(shè)點(diǎn)、分別在線段、上，且，記，的周長為，則的圖象可能是(

)

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為___________．參考答案：【分析】只有不等號左邊有，當(dāng)為定值時(shí)，相當(dāng)于存在的一個(gè)方向使得不等式成立．適當(dāng)選取使不等號左邊得到最小值，且這個(gè)最大值不大于右邊．【詳解】當(dāng)為定值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取最小值，此時(shí)，所以．因?yàn)椋?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)且與同向時(shí)取等號．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考察平面向量的最值問題，需要用到轉(zhuǎn)化思想、基本不等式等，綜合性很強(qiáng)，屬于中檔題．

12.集合,,且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略13.橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則_________；的小大為__________．

參考答案：略14.設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為

．參考答案：設(shè)，則,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù),故是上的奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，而,;即,當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于,由，得；當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于,由，得,故所求的解集為.15.下圖是某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是________．參考答案：1016.等比數(shù)列{}的公比,已知=1，，則{}的前4項(xiàng)和=

參考答案：17.已知集合A={x|x2=4}，B={x|ax=2}．若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合是．參考答案：{﹣1，0，1}【考點(diǎn)】18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】由題意推導(dǎo)出B=?或B={﹣2}或B={2}，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|x2=4}={﹣2，2}，B={x|ax=2}，當(dāng)a=0時(shí)，B=?，當(dāng)a≠0時(shí)，B={}，∵B?A，∴B=?或B={﹣2}或B={2}，當(dāng)B=?時(shí)，a=0；當(dāng)B={﹣2}時(shí)，a=﹣1；當(dāng)B={2}時(shí)，a=1．∴實(shí)數(shù)a的取值集合是{﹣1，0，1}．故答案為：{﹣1，0，1}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若函數(shù)f（x）=ax3﹣bx+4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）有極值為，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)（1）中解析式然后求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系確定單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的大致圖象，最后找出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由題意；，解得，∴所求的解析式為（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)﹣2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0因此，當(dāng)x=﹣2時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值，∴函數(shù)的圖象大致如圖．由圖可知：．19.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)到軸的距離的差等于1．（I）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（II）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，求的最小值．參考答案：解析：（I）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意為化簡得當(dāng)、所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為．由，得設(shè)則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是．因?yàn)?，所以的斜率為．設(shè)則同理可得：

故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值16．略20.（本小題滿分12分）解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax

(a>－2).參考答案：解：原不等式可化為：1°若，不等式可化為得………………3分

2°若，不等式可化為

相應(yīng)方程的2根為，顯然

故……7分3°若，則，故………………11分綜上：1°當(dāng)時(shí)，不等式的解集為2°當(dāng)時(shí)，不等式的解集為3°當(dāng)時(shí)，不等式的解集為………………12分（注釋：在綜上之前已寫成解集，不總結(jié)，不扣分）略21.已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B。已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為。若，求直線的傾斜角。參考答案：，，解得所以直線的傾斜角為考點(diǎn)：1、離心率、菱形面積公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式、直線斜率的定義，傾斜角的范圍.

略22.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證:直線平面；（2）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；（3）若，求二面角的正切值.參考答案：解答：(1)證明：AD∥BC，BC＝AD，Q為AD的中點(diǎn)，∴四邊形BCDQ為平行四