線性代數(shù)（財經(jīng)類） 課件 4.3 實對稱矩陣的特征值和特征向量

§4.3實對稱矩陣的

特征值和特征向量規(guī)范正交基及其求法內(nèi)積及其性質(zhì)正交向量組目錄向量的長度與性質(zhì)實對稱矩陣的特征值與特征向量正交矩陣與正交變換內(nèi)積及其性質(zhì)定義3

設(shè)有

維向量，令稱

為向量

與

的內(nèi)積.內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算，其結(jié)果是一個實數(shù)，按矩陣記法可表示為內(nèi)積及其性質(zhì)內(nèi)積的運算性質(zhì)(其中

，，，為

維向量，):(1);

(2);

(3);

(4)，當(dāng)且僅當(dāng)

時，.

向量的長度與性質(zhì)定義4

設(shè)

，稱

為

維向量

的長度（或范數(shù)）.向量的長度具有下述性質(zhì)：(3)三角不等式

;

(1)非負性

；當(dāng)且僅當(dāng)

時，;

(2)齊次性;

(4)對任意

維向量

，

有

.

向量的長度與性質(zhì)當(dāng)

時，稱

為單位向量.對

中任一非零向量

，向量

是

一個單位向量，因為注：用非零向量

的長度去除向量

，得到一個單位向量，這一過程通常稱為把向量

單位化.當(dāng)

，

，定義

，稱

為

維向量

與

的夾角.正交向量組定義5

若兩向量

與

的內(nèi)積等于零，即

則稱

與

相互正交，記作.顯然，若

，則

與任何向量都正交;

定義6

若

維向量組

是一個非零向量組，且

中的

向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組.

正交向量組證

設(shè)有

，使得

以

左乘上式兩端，得

，因

，從而

類似可以證明

，于是向量組

線性無關(guān).定理5

若

維向量組

是一組正交向量組，則

線性

無關(guān).規(guī)范正交基及其求法*定義7

設(shè)

是一個向量空間，

(1)若

是向量空間

的一個基，且是兩兩正交的向量組，則

稱

是向量空間

的正交基.

(2)若

是向量空間

的一個基，

兩兩正交，且都是單

位向量，則稱

是向量空間

的一個規(guī)范正交基.

若

是

的一個規(guī)范正交基，則

中任一向量

能由

線性表示，設(shè)表示式為規(guī)范正交基及其求法為求其中系數(shù),可用

左乘上式，有

即

這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)計算公式.利用這個公式能方便地

求得向量

在規(guī)范正交基

下的坐標(biāo).因此，我們在給出向量

空間的基時常常取規(guī)范正交基，下面介紹一種求規(guī)范正交基的方法.

規(guī)范正交基及其求法規(guī)范正交基的求法：

設(shè)

是向量空間

的一個基，要求

的一個規(guī)范正交基，也就是

要找一組兩兩正交的單位向量

，使

與

等價.

這樣一個問題，稱為把

規(guī)范正交化，可按如下兩個步驟進行：

(1)

正交化（Schimidt施密特正交化）

規(guī)范正交基及其求法(2)

單位化

容易驗證

兩兩正交，且

與

等價.取

，

，

，.則

是

的一個規(guī)范正交基.

注：Schimidt正交化過程可將

中任一組線性無關(guān)向量組

化

為與之等價的正交組

，再經(jīng)過單位化，得到一組與等價的規(guī)范正交組.

規(guī)范正交基及其求法例1用Schimidt正交化方法，將向量組規(guī)范正交化解顯然

是線性無關(guān)的，先正交化，取不難驗證

為正交向量組，接下來將

單位化：規(guī)范正交基及其求法可以驗證

為單位正交向量組，并且和

等價.正交矩陣與正交變換定義8

若

階方陣

滿足

（即

）

則稱

為正交矩陣，簡稱正交陣.定理6

為正交矩陣的充分必要條件是

的列（行）向量組都是單位

正交向量組.

證

設(shè)

，其中

是

的列向量組.

是正交矩陣等價于

，而

正交矩陣與正交變換

由此可見

等價于即

為正交矩陣的充分必要條件是其列向量組是單位正交向量組.

正交矩陣與正交變換類似可證，由

與

等價，

為正交矩陣的充分必要條件是

行向量組是單位正交向量組.

實對稱矩陣的特征值與特征向量定理7實對稱矩陣的特征值都為實數(shù).

證

設(shè)復(fù)數(shù)

為實對稱矩陣

的特征值，復(fù)向量

為對應(yīng)的特征向量，即

記

表示

的共軛復(fù)數(shù)，

表示

的共軛復(fù)向量，則

由于以及以上兩式作差因為

，所以

，從而有

，即

，這說明

為實數(shù).實對稱矩陣的特征值與特征向量定理8設(shè)

是實對稱矩陣

的兩個特征值，

是對應(yīng)的特征向量.

若

，則

與

正交.證

設(shè)

是實對稱矩陣

的兩個相異的特征值，

是與之對應(yīng)的特征向量，即

，

因為

是實對稱矩陣，于是有

上式兩端同時右乘

得

即

由于

，故

即

與

正交.

實對稱矩陣的特征值與特征向量定理9

設(shè)

為

階實對稱矩陣，

是

的特征方程的

重根，則矩陣

的秩

，從而對應(yīng)特征值

恰有

個線性無關(guān)的特征向量.證

略定理10

設(shè)

為

階實對稱矩陣，則必有正交矩陣

，使其中

是以

的

個特征值為對角元素的對角矩陣.實對稱矩陣的特征值與特征向量與上一節(jié)將一般矩陣對角化方法類似，根據(jù)上述結(jié)論，可求正交變換(3)將基礎(chǔ)解系（特征向量）正交化，再單位化；

(1)求出

的全部特征值

；

(2)對每個特征值

由

求出其基礎(chǔ)解系（特征向量）；

(4)以這些單位向量作為列向量構(gòu)成一個正交矩陣

，使

注

中列向量的順序與矩陣對角線上的特征值的順序相對應(yīng).矩陣

將實對稱矩陣

對角化的步驟為：實對稱矩陣的特征值與特征向量解實對稱矩陣

的特征方程為例2設(shè)實對稱矩陣

，求正交矩陣

，使

為對角矩陣.解得實對稱矩陣

的特征值實對稱矩陣的特征值與特征向量當(dāng)

時，由

，解得基礎(chǔ)解系當(dāng)

時，由

，解