高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類） 課件 1.2 數(shù)列和函數(shù)的極限

§1.2

數(shù)列和函數(shù)的極限

CONTENT1

數(shù)列的極限2收斂數(shù)列的性質(zhì)目錄3函數(shù)的極限4函數(shù)極限的性質(zhì)引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認(rèn)為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認(rèn)為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

2009年,美國眾議院正式通過一項(xiàng)無約束力決議,將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”,

2011年,國際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布,將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié),來源則是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率.引言

劉徽(約225年—約295年),魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家,山東省濱州鄒平市人,是我國古代歷史上第一位精確計(jì)算圓周率的數(shù)學(xué)家,他利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法:割圓術(shù),就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.引言

劉徽在數(shù)學(xué)上的主要成就之一就是為《九章算術(shù)》做注解,創(chuàng)立割圓術(shù)來計(jì)算圓周率的方法,含有極限觀念,他正確地計(jì)算出圓內(nèi)接正192邊形的面積,得出圓周率的近似值為3.14.在此基礎(chǔ)上,他又進(jìn)一步算出圓內(nèi)接正3072邊形的面積,得到圓周率的近似值為3.1416,等于現(xiàn)在通常計(jì)算中所規(guī)定的π值.引言

2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程師愛瑪(EmmaHarukaIwao)在谷歌云平臺(tái)的幫助下,計(jì)算到圓周率小數(shù)點(diǎn)后31.4萬億位,即3.1415926535897,打破世界紀(jì)錄！以往人們都是用超級(jí)計(jì)算機(jī)計(jì)算π,愛瑪是第一個(gè)運(yùn)用云計(jì)算進(jìn)行計(jì)算的人.引言

2021年8月17日,美國趣味科學(xué)網(wǎng)站報(bào)道,瑞士研究人員使用一臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī),歷時(shí)108天,將著名數(shù)學(xué)常數(shù)圓周率π計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬億位,創(chuàng)下該常數(shù)迄今最精確值記錄.引言割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒詹シ乓哉呅蚊娣e正十二邊形面積……正邊形面積數(shù)列的極限Chapter1數(shù)列:第一部分：數(shù)列的概念自變量為正整數(shù)的函數(shù)其函數(shù)值按自變量n由小到大排列成的一列數(shù)稱為數(shù)列,簡記為其中稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng).

由于一個(gè)數(shù)列完全由其一般項(xiàng)所確定,故也把數(shù)列簡稱為數(shù)列例11第二部分：數(shù)列的極限(1)(2)(3)(4)第二部分：數(shù)列的極限當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(1)的一般項(xiàng)無限接近于0;當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(2)的一般項(xiàng)無限接近于1;當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(3)的一般項(xiàng)

不是1,就是-1,

不接近于任何確定的常數(shù);當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(4)的一般項(xiàng)無限增大,也不

接近于任何確定的常數(shù).觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限播放觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.實(shí)驗(yàn)表明:當(dāng)n無限增大時(shí),上述數(shù)列無限接近于1.思考:“無限接近”意味著什么？第二部分：數(shù)列的極限第二部分：數(shù)列的極限定義10如果當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列an無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做數(shù)列an的極限或說數(shù)列an收斂于A,記為

如果數(shù)列an沒有極限,就稱數(shù)列an發(fā)散.

讀作“當(dāng)n趨于無窮大時(shí),數(shù)列an的極限等于A或an趨于A”.例11或第二部分：數(shù)列的極限數(shù)列極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義定義11*

設(shè)有數(shù)列{xn}與常數(shù)a,若對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,使得對(duì)于n>N時(shí)的一切xn,不等式都成立,則稱常數(shù)a為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂于a,記為說明：(1)正數(shù)

是任意給定的(既是任意的,又是給定的).用來刻畫“xn無限趨近于a”的程度,越小,xn越接近于a；

(2)正整數(shù)N是隨

而定的,即N與

有關(guān),用來刻畫“n無限增大”的程度.數(shù)列極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義幾何意義：若,則對(duì)于任給的>0,無論它多么小,都存在正整數(shù)N,在{xn}中,從第N+1項(xiàng)開始以后所有各項(xiàng)全部落在a的

鄰域中,在這個(gè)鄰域之外,最多只有{xn}的有限項(xiàng).第二部分：數(shù)列的極限例12證明證

對(duì)任意給定的,要使不等式

成立,只需.因此,若取

時(shí),有,從而有

由定義可知,收斂數(shù)列的性質(zhì)Chapter2*第一部分：收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1*(唯一性)

若數(shù)列{xn}收斂,則其極限是唯一的.定理2*(有界性)

收斂數(shù)列是有界的.注:

定理2的逆命題不成立,即有界數(shù)列未必收斂.如

是有界數(shù)列,但它沒有極限.第一部分：收斂數(shù)列的性質(zhì)定理3*(保號(hào)性)

若,且

a>0(或a<0),則必存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),恒有xn>0(或xn<0).推論*若數(shù)列{xn}從某項(xiàng)起有xn>0(或xn<0),且若,則

定理4*(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)

若數(shù)列{xn}收斂于a,

則它的任一子數(shù)列也收斂于a.函數(shù)的極限Chapter3第一部分：時(shí)函數(shù)的極限定義12如果當(dāng)x的絕對(duì)值無限增大(即

時(shí)),函數(shù)f(x)的值無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的極限,記為注:

自變量x的絕對(duì)值無限增大指的是：x既可以取正值,也可以取負(fù)值,但其絕對(duì)值無限增大.第一部分：時(shí)函數(shù)的極限定義13’

當(dāng)(或)時(shí),函數(shù)

f(x)趨近于常數(shù)A,則稱常數(shù)A為(或)時(shí)的極限,記為注：第二部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義定義4*設(shè)函數(shù)f(x)在(M為正的常數(shù))時(shí)有定義,A為常數(shù),若對(duì)任意給定的正數(shù)(不論多么小),總存在正數(shù)X,使當(dāng)

時(shí),恒有則稱常數(shù)A為

時(shí)函數(shù)f(x)的極限,記為第二部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義幾何意義：

表示作直線

和,則總存在一個(gè)正數(shù)X,使得當(dāng)

時(shí),函數(shù)

y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間

練習(xí)例13用定義證明

證

對(duì)任意給定的,要使

只需,因此,取,則當(dāng)

時(shí),必有

于是由定義4知,

練習(xí)例14討論極限

是否存在.

解

由函數(shù)

的圖形可知,

由于故

不存在.

第三部分：水平漸近線水平漸近線：若,則稱直線

y=C為函數(shù)

y=f(x)圖形的水平漸近線.例如,例13中直線

y=0為

的水平漸近線;例14中直線

及

均為

的水平漸近線.第四部分：時(shí)函數(shù)的極限考察函數(shù)當(dāng)x分別從左側(cè)和右側(cè)趨于0.5時(shí)的變化趨勢見下表.x00.10.30.40.49…0.5…0.510.60.91f(x)11.21.61.81.98…2…2.022.22.83由表可知,當(dāng)x無限接近于0.5時(shí),f(x)趨于常數(shù)2.我們稱當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)的極限為2.則當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)的極限為2.令第四部分：時(shí)函數(shù)的極限定義14如果當(dāng)x無限接近于定值

x0,即當(dāng)

時(shí)(在

x0處可以無定義),函數(shù)

f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)

f(x)當(dāng)

時(shí)的極限,記為

特例：

第五部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義定義15*設(shè)函數(shù)

f(x)在

x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,A為常數(shù).若對(duì)任意給定的(無論

多么小),總存在,使當(dāng)

時(shí),恒有則稱常數(shù)A為函數(shù)

f(x)當(dāng)

時(shí)的極限,記為說明：

(1)函數(shù)極限與

f(x)在點(diǎn)

x0處是否有定義無關(guān)；(2)與任意給定的正數(shù)

有關(guān)；第五部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義說明：(3)的幾何解釋:任意給定一正數(shù),作平行于x軸的兩條直線

和.根據(jù)定義,對(duì)于給定的,存在點(diǎn)

x0的一個(gè)

去心鄰域,當(dāng)

y=f(x)的圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x落在該鄰域內(nèi)時(shí),這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)落在帶形區(qū)域

內(nèi).第六部分：左、右極限左極限：當(dāng)

時(shí),函數(shù)

f(x)趨于常數(shù)A,則稱A為

f(x)在點(diǎn)

x0處的左極限,記為,簡記為右極限：當(dāng)

時(shí),函數(shù)

f(x)趨于常數(shù)A,則稱A為

f(x)在點(diǎn)

x0處的右極限,記為,簡記為注：

練習(xí)例15用定義證明.

證

當(dāng)

時(shí),任意給定,要使只要取,則當(dāng)

故由定義6知

練習(xí)例16設(shè),討論

是否存在.

解

因?yàn)樗?/p>

不存在.

練習(xí)例17設(shè),求.

解

因?yàn)樗?/p>

練習(xí)例18設(shè),求.

解

因?yàn)樗?/p>

不存在.函數(shù)極限的性質(zhì)Chapter4第一部分：函數(shù)極限的性質(zhì)定理5*

(1)(唯一性)若

存在,則其極限值唯一；

(2)(局部有界性)若

存在,則函數(shù)

f(x)在

x0的某去心鄰域內(nèi)有界；

(3)(局部保號(hào)性)若,且

A>0(或

A<0),則在

x0的某去心鄰域內(nèi)恒有(4)若,且在

x0的某去心鄰域內(nèi)

f(x)>0(或

f(x)<0),則有小結(jié)1.

數(shù)列極限的概念2.

收斂數(shù)列的性質(zhì)

收斂:

數(shù)列沒有極限.

發(fā)散:小結(jié)3.

函數(shù)極限的概念4.

函數(shù)左、右極限的概念5.

極限存在與左、右極限之間的關(guān)系時(shí)函數(shù)的極限:時(shí)函數(shù)的極限:或或或謝謝！

引言1.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與