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文檔簡介

§1.3

無窮小與無窮大

CONTENT1無窮小2無窮大目錄無窮小Chapter1第一部分：無窮小的概念定義16極限為零的變量(函數(shù))稱為無窮小.例如

(1)函數(shù)sinx是當

時的無窮??；(2)函數(shù)

是當

時的無窮??；(3)

是當

時的無窮小.第一部分：無窮小的概念說明：

(1)無窮小本質上是這樣一個變量(函數(shù))：在某個過程(如

或)中,該變量的絕對值能小于任意給定的正數(shù).(2)無窮小不能與很小的數(shù)(如千萬分之一)混淆,但零可以作為無窮小的唯一常數(shù).(3)無窮小是相對于x的某個變化過程而言的.

例如,當

時,是無窮小；

當

時,不是無窮小.第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當

時的無窮小.證*

必要性

設,則對任意給定的,存在,使當

時,恒有令,則

是當

時的無窮小,且第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當

時的無窮小.證*

充分性

設

其中A為常數(shù),是當

時的無窮小,于是

因為

是當

時的無窮小,故對任意給定的,存在,使當

時,恒有,即

從而.第二部分：無窮小的性質定理7(1)有限個無窮小的和或差仍為無窮??；(2)有限個無窮小的積仍為無窮?。?3)無窮小與有界函數(shù)之積是無窮??；

常數(shù)與無窮小之積仍為無窮小.

練習例19求

解

因

時,,故

時,為有界函數(shù).又因

時,x為無窮小,由定理1知,當

時,為無窮小,即無窮大Chapter2第一部分：無窮大的概念定義17當

時,函數(shù)

f(x)的絕對值|

f(x)|無限增大(即大于預先給定的任意正數(shù)),則稱函數(shù)

f(x)為

時的無窮大,記為若,則稱函數(shù)

f(x)為

時的正無窮大(或負無窮大).例如第一部分：無窮大的概念是時的負無窮大量,是時的正無窮大量,即說明:無窮大是極限不存在的一種特殊情形.表示:極限不存在注:第一部分：無窮大的概念(1)無窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆;(2)無窮大量與自變量的變化過程有關;(3)無窮大量必無界,但反之不真.例如當時是無界的,但不是無窮大.第二部分：鉛直漸近線鉛直漸近線：

若,則稱直線

為

y=f(x)圖形的鉛直漸近線.例如,

時,的絕對值無限增大,即當

時,是無窮大,故,

x=1為

的鉛直漸近線.第三部分：無窮小與無窮大的關系定理8在自變量的同一變化過程中,若

f(x)為無窮大,則

為無窮小;反之,若

f(x)為無窮小,且,則

為無窮大.例如,因,故

；

因

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