中考數(shù)學總復習《開放探究綜合壓軸題》專項提升練習附答案

第頁中考數(shù)學總復習《開放探究綜合壓軸題》專項提升練習(附答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．在復習課上，老師布置了一道思考題：如圖所示，點M，N分別在等邊ΔABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q.求證：∠BQM=60°.同學們利用有關知識完成了解答后，老師又提出了下列問題，請你給出答案并說明理由.（1）若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？（2）若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？2．如圖，已知點P是∠AOB內(nèi)一點，過點P的直線MN分別交射線OA，OB于點M，N，將直線MN繞點P旋轉(zhuǎn)，△MON的形狀與面積都隨之變化．（1）請在圖1中用尺規(guī)作出△MON，使得△MON是以OM為斜邊的直角三角形；（2）如圖2，在OP的延長線上截取PC＝OP，過點C作CM∥OB交射線OA于點M，連接MP并延長交OB于點N．求證：OP平分△MON的面積；（3）小亮發(fā)現(xiàn)：在直線MN旋轉(zhuǎn)過程中，（2）中所作的△MON的面積最小．請利用圖2幫助小亮說明理由．3．如圖所示，D，E，F(xiàn)，G，H，I是△ABC三邊上的點，連結(jié)EI，EF//BC，GH//AC，DI//AB．（1）判斷∠GHC與∠FEC是否相等，并說明理由．（2）若∠FEC+∠FGH=225°，求∠A+∠C的度數(shù)．（3）若EI平分∠FEC，∠C=2α，∠B=3β，試用含α，β的代數(shù)式表示∠EID的度數(shù)．4．“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．（1）填空：∠BAM=_____°；（2）填空：若燈A射線與燈B射線第一次在AB重合，則燈B射線先轉(zhuǎn)動_____秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動．（3）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？5．如圖l，在正方形ABCDABCD中，AB=8AB=8，點EE在ACAC上，且AE=22，AE=22過E點作EF⊥AC于點E，交AB于點F，連接CF，【問題發(fā)現(xiàn)】（1）線段DE與CF的數(shù)量關系是________，直線DE與CF所夾銳角的度數(shù)是___________；【拓展探究】（2）當ΔAEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請寫出結(jié)論并結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請說明理由；【解決問題】（3）在（2）的條件下，當點E到直線AD的距離為2時，請直接寫出CF的長．6．如圖1所示，邊長為4的正方形ABCD與邊長為a1<a<4的正方形CFEG的頂點C重合，點E在對角線AC【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，AE與BF的數(shù)量關系為________；【類比探究】如圖2所示，將正方形CFEG繞點C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0<α<30°【拓展延伸】若點F為BC的中點，且在正方形CFEG的旋轉(zhuǎn)過程中，有點A、F、G在一條直線上，直接寫出此時線段AG的長度為________7．如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，過底邊BC上一點D，作∠EDF=2∠ABC，∠EDF的兩邊分別交AB，AC所在直線于E，F(xiàn)兩點．（1）【觀察猜想】如圖1，當△ABC為等腰直角三角形，點D為BC的中點時，DE與DF的數(shù)量關系為______；（2）【類比探究】如圖2，當BDCD=n時，求DEDF（3）【解決問題】如圖3，連接EF，若tan∠B=1，EF//BC，且EFBC=8．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“鄰好四邊形”．(1)概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件，使得四邊形ABCD是“鄰好四邊形”，請寫出你添加的一個條件________；(2)概念延伸：下列說法正確的是________．(填入相應的序號)①對角線互相平分的“鄰好四邊形”是菱形；②一組對邊平行，另一組對邊相等的“鄰好四邊形”是菱形；③有兩個內(nèi)角為直角的“鄰好四邊形”是正方形；④一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個內(nèi)角是直角的“鄰好四邊形”是正方形；(3)問題探究：如圖2，小紅畫了一個RtΔABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將RtΔABC沿∠B的平分線BB′方向平移得到ΔA′B′C′，連結(jié)9．能夠完全重合的平行四邊形紙片ABCD和AEFG按圖①方式擺放，其中AD=AG=5，AB=9．點D，G分別在邊AE，AB上，CD與FG相交于點H．【探究】求證：四邊形AGHD是菱形．【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片ABCD，將平行四邊形紙片AEFG繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點F與點C重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為______．【操作二】四邊形紙片AEFG繞著點A繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點E與點B重合，連接DG，CF，如圖③若sin∠BAD=4510．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點，（1）若點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，判斷ΔDEF的形狀并說明理由；（2）如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BE=AF，試說明ΔDEF是直角三角形；（3）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE=AF，其他條件不變，（1）（2）中的結(jié)論是否成立？直接寫出結(jié)論．11．綜合與實踐操作發(fā)現(xiàn)：已知點P為正方形ABCD的邊AD或CD上的一個動點（點A，D，C除外），作射線BP，作AE⊥BP于點E，CF⊥BP于點F．（1）如圖1，當點P在CD上（點C，D除外）運動時，直接寫出線段AE，CF，EF間的數(shù)量關系．（2）如圖2，當點P在AD上（點A，D除外）運動時，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關系？寫出結(jié)論并說明理由．拓廣探索：（3）如圖3，若點P為矩形ABCD的邊CD上（點C，D除外）一點，其它條件不變，已知AB＝6，BC＝8，BP＝4512．（1）猜想發(fā)現(xiàn)如圖1，已知△ABC，分別以AB和AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接DE．設△ABC的面積是S1，△ADE的面積是S2，猜想S1和S2的數(shù)量關系為．（2）猜想論證如圖2，已知△ABC，分別過點A作線段AD和AE，滿足∠DAB+∠EAC＝180°，并且AD＝AC，AE＝AB，連接DE．設△ABC的面積是S1，△ADE的面積是S2，（1）中S1和S2的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由．（3）拓展探究如圖3，點D是銳角∠ABC角平分線上的一點，滿足BD＝CD，點E在BC上，且DE⊥DC．請問在射線BA上是否存在點F，使得S△BDE＝S△CDF，如果存在，請確定點F的位置并證明；如果不存在，請說明理由．13．如圖1，兩個完全相同的矩形ABCD，BEGF按如圖方式放置，AB=BE，AD=BF，將矩形BEGF繞點B按順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0操作猜想：（1）將四邊形BEGF繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，點F恰好落在線段AD上，F(xiàn)G與CD交于點M，請直接寫出DM和GM的數(shù)量關系為：___________；繼續(xù)探究（2）如圖3，矩形BEGF繞點B繼續(xù)按照順時方向旋轉(zhuǎn)，F(xiàn)G與CD交于點M，試判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立請證明；若不成立，請說明理由（3）如圖4，若0°14．在△ABC中，AB＝AC，M是平面內(nèi)任意一點，將線段AM繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連結(jié)NB．【感知】如圖①，若M是線段BC上的任意一點，易證△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】（1）如圖②，點E是AB延長線上的點，若點M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點，連結(jié)MC，【感知】中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．【拓展】（2）如圖③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意點，連結(jié)DP，將DP繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)75°，得到線段DQ，連結(jié)EQ，則EQ的最小值為．15．【問題情景】通過作平行線來實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化是我們常用到的方法．如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=2，BE=4，求BC+DE的值．我們可以過點D作BE的平行線（如圖2），也可過點E作CD的平行線解決問題．【問題解決】（1）請回答：BC+DE的值為．【類比探究】（2）如圖3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，參考上述思考問題的方法，求∠AGF的度數(shù)．

【遷移應用】（3）如圖4，已知：AB、CD交于E點，連接AD、BC，AD=32，BC=1．且∠B與∠D互為余角，∠A與∠C互為補角，則∠AED=度，若CD=42

16．已知點O是△ABC內(nèi)任意一點，連接OA并延長到點E，使得AE＝OA，以OB，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF，與BC交于點H，連接EF．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，若△ABC為等邊三角形，線段EF與BC的位置關系是_____，數(shù)量關系為_______；（2）拓展探究如圖2，若△ABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），（1）中的兩個結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出正確的結(jié)論再給予證明；（3）解決問題如圖3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，請你直接寫出線段EF的長．17．如圖1，在平面直角坐標系中有長方形OABC，點C(0,4)，將長方形OABC沿AC折疊，使得點B落在點D處，CD邊交x軸于點E，∠OAC＝30°．（1）求點D的坐標；（2）如圖2，在直線AC以及y軸上是否分別存在點M，N，使得△EMN的周長最??？如果存在，求出△EMN周長的最小值；如果不存在，請說明理由；（3）點P為y軸上一動點，作直線AP交直線CD于點Q，是否存在點P使得△CPQ為等腰三角形？如果存在，請求出∠OAP的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．18．已知：正方形ABCD（1）如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CB，DC延長線上的點，且BE=CF，過點E作EG//BF，交正方形外角的平分線CG于點G，連接GF．（1）求證：①AE⊥BF；②求證：四邊形BRGF是平行四邊形．（2）如圖，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，分類說明滿足PE+PF=9的點P的位置情況．19．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交A?1,0、B兩點，與y軸交于點

（1）求拋物線的解析式；（2）經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當點P運動到點E時，求ΔPCD的面積；（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在x軸上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．20．綜合與實踐：直角三角形折疊中的數(shù)學。數(shù)學活動：在綜合實踐活動課上，老師讓同學們以“直角三角形紙片的折疊”為主題展開數(shù)學活動，探究折痕長度的有關問題．在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4．（1）①如圖1，勤學組將點A沿DE折疊，使得點A與點B重合，折痕交AB于點D,交AC于點E,則DE的長為．②如圖2，樂學組將點A沿BE折疊，使得點A的對應點A′落在AC邊上，折痕交AC于點E,則BE的長為（2）①如圖3，博學組將點C沿EF折疊，使得點C與點A重合，折痕交AC于點E,交BC于點F,求線段EF的長度；②如圖4，善思組在博學組的基礎上，將點B沿FC折疊，使得點B的對應點B'落在AF上，則GF的長度為_．（3）①如圖5，奮進組將點A沿BE折疊，使得點A的對應點A'落在BC邊上，求BE的長度；②如圖6，創(chuàng)新組在奮進組的基礎上，將點C沿A'F折疊，使得點C的對應點C'落在AC上，折痕交AC于點F,再把△A'FC'展開，將點C沿FG折疊，使得點C的對應點C″落在FA'的延長線上，折痕交A'C于點G,得到如圖7所示的圖形，請直接寫出FG參考答案1．解：（1）是真命題．證明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，∴∠CBN=∠BAM，∵在△ABM和△BCN中，{∠BAM＝∠CBN∴△ABM≌△BCN，（ASA）∴BM=CN；（2）能得到，理由如下∵∠BQM＝60°，∴∠QBA+∠BAM＝60°．∵∠QBA+∠CBN＝60°，∴∠BAM＝∠CBN．在△ABM和△BCN中，{∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCN（ASA）．∴BM＝CN．∵AB＝AC，∴∠ACM＝∠BAN＝180°?60°＝120°，在△BAN和△ACM中，{BA=AC∴△BAN≌△ACM（SAS）．∴∠NBA＝∠MAC，∴∠BQM＝∠BNA+∠NAQ＝180°?∠NCB?（∠CBN?∠NAQ）＝180°?60°?60°＝60°．2．解:（1）①在OB下方取一點K，②以P為圓心，PK長為半徑畫弧，與OB交于C、D兩點，③分別以C、D為圓心，大于12CD長為半徑畫弧，兩弧交于E④作直線PE，分別與OA、OB交于點M、N，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM∥OB，∴∠C＝∠PON，在△PCM和△PON中，∠C∴△PCM≌△PON（ASA），∴PM＝PN，∴OP平分△MON的面積；（3）過點P作另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設PF＜PE，與MC交于于G，∵CM∥OB，∴∠GMP＝∠FNP，在△PGM和△PFM中，∠PMG=∠PNFPM=PN∴△PGM≌△PFN（ASA），∴S△PGM＝S△PFN∴S四邊形MOFG＝S△MON．∵S四邊形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，∴當點P是MN的中點時S△MON最小．3．解：（1）∠GHC=∠FEC，理由：∵EF∥BC，∴∠FEC+∠C=180°，∵GH∥AC，∴∠GHC+∠C=180°，∴∠GHC=∠FEC；（2）∵GH∥AC，∴∠FGH+∠A=180°，∵EF∥BC，∴∠FEC+∠C=180°，∴∠FGH+∠FEC+∠C+∠A=360°，∵∠FEC+∠FGH=225°，∴∠A+∠C=360°-225°=135°；（3）∵EF∥BC，∴∠FEC+∠C=180°，∠FEI=∠EIC，∴∠FEC=180°-2α，∵EI平分∠FEC，∴∠FEI=12∴∠FEI=∠EIC=90°-α，∵DI∥AB，∴∠DIC=∠B=3β，∴∠EID=∠EIC-∠DIC=90°-α-3β．4．解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAM=180°×23（2）燈A：120°÷2=60s，燈B：120°÷1=120s，120-60=60s，∴燈B射線先轉(zhuǎn)動60秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動；（3）設A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當0＜t＜60時，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?（30+t），解得t=30；②當60＜t＜90時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?（30+t）+（180-2t）=180，解得

t=30（舍），③當90＜t＜150時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?（30+t）+（2t-180）=180，解得

t=110，綜上所述，當t=30s或110s時，兩燈的光束互相平行.5．解：（1）如圖①，延長DE交CF的延長線于點N，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠FAE=∠DAC=45∵ΔAEF是直角三角形，∴RtΔAEF和RtΔADC均為等腰直角三角形，∴AFAE又∵∠FAC=∠EAD，∴ΔFAC~ΔEAD，∴CFDE=AF∴CF=2又∵∠CAD+∠ADE+∠AED=180°，∠CNE+∠CEN+∠ECN=180∴∠CNE=∠CAD=45°故答案為：CF=2DE（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖②，延長DE交CF于點G．∵AC是正方形ABCD的對角線，且RtΔAEF是由原題中圖1的位置旋轉(zhuǎn)得來，∴∠FAE=∠DAC=45°，即RtΔAEF和RtΔADC均為等腰直角三角形．∴AFAE又∵∠FAC=∠FAE+∠EAC，∠EAD=∠DAC+∠EAC，∴∠FAC=∠EAD．∴ΔFAC∽ΔEAD．∴CFDE=AF∴CF=2又∵∠CAD+∠ADE+∠AHD=180°，∠CGD+∠ACG+∠GHC=180°，∴∠CGD=∠CAD=45°．∴結(jié)論成立．（3）CF的長為45或4理由如下：∵點E到直線AD的距離為2，AE=22∴點F在直線AD或AB上分兩種情況討論：（i）如圖③，當點F在DA的延長線上時，過點E作EG⊥AD交延長線于點G,∵AE=22∴AF=4,∴DF=DA+AF=12，在RtΔCDF中，由勾股定理得CF=C如圖④，當點F在BA延長線上時，過點E作EK⊥AD交DA的延長線于點K，在等腰RtΔAEF中，過點E作EH⊥AF于點H,∵AH=EK=2=12∴BF=AB+AF=12，∴CF=B（ii）如圖⑤，當點F在AD上時，過點E作EI⊥AD于點I，∵AF=4，AD=8，∴DF=AD?AF=4，在RtΔCDF中，由勾股定理得CF=C如圖⑥，當點F在AB上時，過點E作EM⊥AD交AD于點M，在等腰RtΔAEF中，過點E作EN⊥AF于點N，∵AN=EM=2=12∴BF=AB?AF=4，∴CF=B綜上所述，CF的長為413或46．解:問題發(fā)現(xiàn)：AE=2BF，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=2CF，CE⊥GF，∴AB∥EF，∴AEBF∴AE=2BF；故答案為：AE=2BF；類比探究：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接CE，如圖2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°?∠ACF，在Rt△CEG和Rt△CBA中，CE=2CF，CA=∴CECF∴△ACE∽△BCF，∴AEBF∴AE=2BF；拓展延伸：分兩種情況：①如圖3所示：連接CE交GF于H，∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴AB=BC=4，AC=2AB=42，GF=CE=2CF，HF=HE=HC，∵點F為BC的中點，∴CF=12BC=2，GF=CE=22∴AH=∴AG=AH+HG=30+②如圖4所示：連接CE交GF于H，同①得：GH=HF=HE=HC=2，∴AH=A∴AG=AH-HG=30?故答案為：30+2或7．解:（1）DE=DF；如圖1中，連接AD，∵三角形ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠C=45°，又∵BD=CD，∴AD⊥BC，∠DAC=∠DAB=45°，AD=DB=DC，∵∠EDF=2∠ABC=90°，∴∠BDA=∠EDF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠B=∠DAF=45°，BD=AD，∴△BDE=△ADFASA∴DE=DF；（2）如圖2，在射線BA上取一點T，使得DT=DB．∵DB=DT，∴∠B=∠T．∴∠TDC=∠B+∠T=2∠B，∵∠EDF=2∠B，∴∠EDF=∠TDC，∴∠EDT=∠FDC，∵∠BAC+2∠B=180°，∴∠BAC+∠EDF=180°，∴∠TED+∠AFD=180°，∵∠DFC+∠AFD=180°，∴∠TED=∠DFC，∴△TED∽△CFD，∴DEDF（3）3或13如圖3中，作ET⊥BC于T，EH⊥BC于H．∵EF//BC，∴四邊形EFHT是平行四邊形，∵∠ETH=90°，∴四邊形EFHT是矩形，∴ET=FH，EF=TH，∵EF:BC=5:8，設EF=5k，BC=8k，則TH=5k，∵tanB=1∴∠B=∠C=45°，∵∠ETB=∠FHC=90°，∴ET=BT=FH=CH=1.5k，設DT=x，則DH=5k?x，∵∠EDF=2∠B=90°，∠ETD=∠FHD=90°，∴∠EDT+∠FDH=90°，∠TED+∠EDT=90°，∴∠TED=∠FDH，∴△ETD∽△DHF，∴ETDH∴1.5k5k?x整理得x2解得x=0.5k或x=4.5k，∴BD=2k或6k，∴BD:DC=2k:6k=1:3或BD:DC=6k:2k=3:1．∴n=3或138．解:（1）AB=BC或BC=CD或AD=CD或AB=AD．答案：AB=AD；（2）①正確，理由為：∵四邊形的對角線互相平分，∴這個四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“鄰好四邊形”，∴這個四邊形有一組鄰邊相等，∴這個“鄰好四邊形”是菱形；②不正確，理由為：一組對邊平行，另一組對邊相等的“鄰好四邊形”也有可能是等腰梯形；③不正確，理由為：有兩個內(nèi)角為直角的“鄰好四邊形”不是平行四邊形時，該結(jié)論不成立；④正確，理由為：一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個內(nèi)角是直角可得到“四個角都是直角”，則該四邊形是矩形，根據(jù)“鄰邊相等的矩形為正方形”，所以④的說法正確．故答案是：①④；（3）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=5，∵將Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=5，（I）如圖1，當AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2；（II）如圖2，當AA′=A′C′時，BB′=AA′=A′C′=5；（III）當A′C′=BC′=5時，如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=12∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=BD，設B′D=BD=x，則C′D=x+1，BB′=2x，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2∴x2+（x+1）2=(5)2，解得：x1∴BB′=2x=2（Ⅳ）當BC′=AB=2時，如圖4，同理可得：BD2+C′D2=BC′2，設B′D=BD=x，則x2+（x+1）2=22，解得：x1∴BB′=2x=?綜上所述，要使平移后的四邊形ABC′A′是“鄰好四邊形”應平移2或5或1或?29．解:探究：∵四邊形ABCD和AEFG都是平行四邊形∴AE//GF,AB∴四邊形AGHD是平行四邊形又∵AD=AG=5∴平行四邊形AGHD是菱形；操作一：如圖，設AE與DF相交于點H，AB與FG相交于點M∵四邊形ABCD和AEFG是兩個完全重合的平行四邊形∴AD=FE,∠D=∠E，DF=AB=9在△ADH和△FEH中，∠D=∠E∴△ADH?△FEH(AAS)∴AH=FH，△ADH和△FEH的周長相等同理可得：△ADH?△FEH?△FBM?△AGM∴△ADH、△FEH、△FBM、△AGM的周長均相等又∵AD=5,DF=AB=9∴△ADH的周長為L則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為4故答案為：56；操作二：如圖，設AB與DG相交于點N∵四邊形ABCD和AEFG是兩個完全重合的平行四邊形∴AD=AG=5,CD=FG=AB=9,∠BAD=∠BAG,CD∴△ADG是等腰三角形，且AB平分∠DAG∴AB⊥DG，DN=NG=∴CD⊥DG在Rt△ADN中，sin∠NAD=DN解得DN=4∴DG=2DN=8又∵CD∴四邊形DCFG是平行四邊形∵CD⊥DG，即∠CDG=90°∴平行四邊形DCFG是矩形則四邊形DCFG的面積為DG?CD=8×9=72故答案為：72．10．解:（1）ΔDEF是等腰直角三角形．理由如下：如圖1，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°∵點E，D分別是AB，BC的中點，∴ED是ΔABC的中位線，∴ED=1ED//∴∠BDE=∠C=45°同理可得DF=12AB∴DE=DF，∠EDF=180°?∠BDE?∠FDC=90°，∴ΔDEF是等腰直角三角形；（2）如圖2，連接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC中點，∴AD=1又∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∵∠B=45°，∴∠B=∠DAC在ΔBDE和ΔADF中，∵BD=AD∠B=∠DAF∴ΔBDE≌ΔADFSAS∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，∴ΔEDF為等腰直角三角形；（3）結(jié)論成立：ΔDEF為等腰直角三角形．理由是：若E，F(xiàn)分別是AB，CA延長線上的點，如圖3所示：連接AD，∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，∵∠BAC＝90°，D為BC的中點，∴AD＝BD，AD⊥BC（三線合一），∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF仍為等腰直角三角形．11．解:（1）AE=CF+EF，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠BCF，∴Rt△ABE?Rt△BCF(AAS)，∴BE=CF，AE=BF，∴AE=BE+EF=CF+EF，∴AE=CF+EF；（2）CF=AE+EF，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠BCF，∴Rt△ABE?Rt△BCF(AAS)，∴BE=CF，AE=BF，∴CF=BE=BE+EF=AE+EF，∴CF=AE+EF；（3）過點D作DG∥BP交AB于G，∵四邊形ABCD是正方形，∴BG∥DP，∴四邊形BPDG是平行四邊形，∴DG=BP=45在Rt△ADG中，∠GAD=90°，AD=8，DG=45∴AG=DGBG=PD=6-4=2，連接AP，∵S四邊形∴6×8=1∴AE=12512．解：（1）結(jié)論：S1＝S2．理由：以AD，AE為邊構(gòu)造平行四邊形ADTE，連接AT．∵四邊形ABFD，四邊形ACGE都是正方形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝180°，∵四邊形ADTE是平行四邊形，∴DT＝AE，DT∥AE，∴∠ADT+∠DAE＝180°，∴∠BAC＝∠ADT，∵AC＝DT，AB＝AD，∴△BAC≌△ADT（SAS），∴S△ABC＝S△ADT，∵ET∥AD，∴S△ADT＝S△ADE，∴S1＝S2．故答案為：S1＝S2．（2）結(jié)論仍然成立．理由：以AD，AE為邊構(gòu)造平行四邊形ADTE，連接AT．∵AD＝AC，AE＝AB，∠∠DAB+∠EAC＝180°，∴∠BAC+∠DAE＝180°，∵四邊形ADTE是平行四邊形，∴DT＝AE，DT∥AE，∴∠ADT+∠DAE＝180°，∴∠BAC＝∠ADT，∵AC＝AD，AB＝TD，∴△BAC≌△TDA（SAS），∴S△ABC＝S△ADT，∵ET∥AD，∴S△ADT＝S△ADE，∴S1＝S2．（3）存在，過點D作DF⊥BD交AB于F，點F即為所求．理由：過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．∵DF⊥BD，DE⊥DC，∴∠BDF＝∠EDC＝90°，∴∠ABD+∠BFD＝90°，∠DCE+∠DEC＝90°，∵∠ABD＝∠DBC，DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCE，∴∠BFD＝∠DEC，∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，∴DM＝DN，∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF≌△DNE（AAS），∴DE＝DF，∴DB＝DC，DE＝DF，∠BDE+∠FDC＝180°，由（2）可知，S△BDE＝S△DFC．∴點F即為所求．13．解:（1）DM=GM；證明：連接BM，因為四邊形ABCD和BEGF是矩形，∴BF=BC，∠BFG=∠BCD=90{∴ΔBFM?ΔBCM所以CM=FM即GM=DM（2）成立證明：連接BM，因為四邊形ABCD和BEGF是矩形，∴BF=BC，∠BFG=∠BCD=90°，F(xiàn)G=DC{∴ΔBFM?ΔBCM所以CM=FM，∵FG=DC即GM=DM（3）成立證明：連接BM因為四邊形ABCD和BEGF是矩形，∴BF=BC,∠BFG=∠BCD=90°,FG=DC∴∠BCM=∠BFM=90°∵BF=BC,BM=BM∴ΔBFM?ΔBCM所以FM=CMFM+FG=CD+CM所以FM=CM所以FG+FM=CD+CM所以GM=DM．14．解:(1)結(jié)論仍然成立．理由：∵∠MAN=∠CAB，∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，∴∠NAB=∠MAC，∵AB=AC，AN=AM，∴ΔNAB?ΔMAC(SAS)，∴BN=CM．（2)如圖3中，在DF上截取DN=DE，連接PN，作NH⊥EF于H，作DM⊥EF于M．∵∠FDE=∠PDQ，∴∠QDE=∠PDN，∵DQ=DP，DE=DN，∴△QDE?△PDN(SAS)，∴EQ=PN，∴當PN的值最小時，QE的值最小，在Rt△DEM中，∵∠DEM=60°，DE=8，∴DM=DE·sin∵∠MDF=∠EDF?∠EDM=75°?30°=45°，∴DF=46∴NF=DF?DN=46在RtΔNHF，∴NH=43根據(jù)垂線段最短可知，當點P與H重合時，PN的值最小，∴QE的最小值為4315．解：（1）解:∵DE//BC,DF//BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DF=BE=4，DE=BF，∵CD⊥BE，∴CD⊥DF，∴BC+DE=BC+CF=CF=D∴BC+DE=25（2）連接AE，CE，如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，∴AB∥DC，AB∥FE，BF＝AE．∴DC∥FE．∴四邊形DCEF是平行四邊形，∴CE∥DF．∵AC＝BF＝DF，∴AC＝AE＝CE．∴△ACE是等邊三角形．∴∠ACE＝60°∵CE∥DF，∴∠AGF＝∠ACE＝60°．（3）①∵∠D+∠B＝90°，∠A+∠C＝180°，∠A+∠D+∠AED＝180°，∠B+∠C+∠BEC＝180°，∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC＝360°．∴∠AED+∠BEC+90°+180°＝360°．∴∠AED+∠BEC＝90°．∵∠AED＝∠BEC，∴∠AED＝∠BEC＝45°．故答案為：45°②以CD、CB為鄰邊作平行四邊形BCDM，連接AM，如圖，∵四邊形BCDF是平行四邊形，∴BM＝DC＝42，DM＝BC＝1，∠DMB＝∠C＝180°﹣∠DAB，DC∥BM．∴∠ABM＝∠AED＝45°在四邊形ABMD中，∵∠DAB+∠ABM+∠BMD+∠ADM＝360°，∠DMB＝180°﹣∠DAB，∠ABM＝45°，∴∠ADM＝135°過A作AP⊥DM交DM的延長線于P，過點M作MN⊥AB于N．∵AD=32，∠ADP=45∴AP=DP=3，DM=1∴PM=4在Rt△AMP中，AM=5在Rt△BMN中，∵CD=BM=42，∠ABM=45∴BN=MN=4在Rt△AMN中，AN=3．∴AB＝7．∴AB的長為7．

16．解：問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，連接AH，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH＝HC＝12又∵△ABC是等邊三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，∴AH＝3BH，∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF＝2AH，AH＝3BH，BC＝2BH，∴EF＝3BC，故答案為：EF⊥BC，EF＝3BC；（2）拓展探究如圖2，連接AH，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH＝HC＝12又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝HC，∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵AH＝BH，BC＝2BH，∴BC＝2AH，∵EF＝2AH，∴EF＝BC；（3）解決問題如圖3，連接AH，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH＝HC＝12又∵AB＝AC＝5，∴AH⊥BC，∴根據(jù)勾股定理得，AH＝AB2∵OH＝HF，AE＝AO，∴EF＝2AH＝8．17．解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝4，∵∠OAC＝30°∴AC＝2CO＝8，AO＝3CO＝43，∠CAB＝60°，∵長方形OABC沿AC折疊，使得點B落在點D處，∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，如圖1，過點D作DF⊥AO于F，∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，∴DF＝12AD＝2，AF＝3DF＝23∴OF＝AO﹣AF＝23，∴點D坐標（23，﹣2）；（2）如圖2，過點E作y軸的對稱點G，過點E作AC的對稱點H，連接GH交y軸于點N，與AC交于M，即△EMN的周長最小值為GH，∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°∴AE＝83∴OE＝43∵點G，點E關于y軸對稱，點E，點H關于AC對稱，∴點G（﹣433，0），點H（83∴GH＝(?4∴△EMN的周長最小值為8；（3）存在點P使得△CPQ為等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝30°，①若CP＝CQ，如圖3，∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，∴∠CPQ＝75°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，②若PQ＝CQ時，如圖4，∵CQ＝PQ，∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；③若CP＝PQ，如圖5，∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，∴不存在這樣的點P，綜上，滿足條件的點P存在，并且∠OAP=15o或60o．18．證明：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，