數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué) 第五篇 14章

第五篇?jiǎng)討B(tài)分析第14章動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)與積分學(xué)動(dòng)態(tài)學(xué)與積分不定積分定積分廣義積分積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用多馬增長(zhǎng)模型第15章連續(xù)時(shí)間：一階微分方程具有常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一階線性微分方程市場(chǎng)價(jià)格的動(dòng)態(tài)學(xué)可變系數(shù)和可變項(xiàng)恰當(dāng)微分方程一階一次非先行微分方程定性圖解法索洛增長(zhǎng)模型第16章最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制的特性其他終止條件自治問題經(jīng)濟(jì)應(yīng)用無限時(shí)間跨度動(dòng)態(tài)分析的局限性第14章動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)與積分學(xué)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的涵義其目的是探尋和研究變量的具體時(shí)間路徑,或者是確定在給定的充分長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)這些變量是否會(huì)趨向收斂于(均衡)值.直接面對(duì)”可實(shí)現(xiàn)性”問題,而不像靜態(tài)學(xué)和比較靜態(tài)學(xué)那樣假設(shè)”必然能夠?qū)崿F(xiàn)”.特征:確定變量的時(shí)間!時(shí)間可作為連續(xù)變量也可以作為離散變量.動(dòng)態(tài)學(xué)與積分動(dòng)態(tài)模型涉及的問題是,在已知變化模式的基礎(chǔ)上,描述某些變量的變化時(shí)間路徑如,假設(shè)已知人口規(guī)模H隨時(shí)間以速率dH/dt=t-1/2變化,則想知道的是:人口H=H(t)的何種時(shí)間路徑可以產(chǎn)生上述變化率?當(dāng)然,如果我們事先就知道函數(shù)H=H(t),那么可以通過求導(dǎo)數(shù)得到變化率.但現(xiàn)在的問題恰恰相反:要從已知的導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)!上述問題揭示了動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的實(shí)質(zhì):給定變量隨時(shí)間變化的行為模式,設(shè)法求出描述變量時(shí)間路徑的函數(shù),在此過程中,遇到一個(gè)或多個(gè)任意常數(shù),可以通過引入初始條件,確定常數(shù)的值.不定積分積分的性質(zhì)積分是微分的逆過程給定原函數(shù)F(x),對(duì)其微分得到導(dǎo)數(shù)f(x),假設(shè)可以得到適當(dāng)?shù)男畔⒁源_定在積分過程中產(chǎn)生的任意常數(shù),則可以”積分f(x)以求得F(x).”函數(shù)F(x)稱為f(x)的積分或反導(dǎo)數(shù).積分與微分兩種運(yùn)算類似研究家譜的兩種方法:積分就是追溯函數(shù)f(x)的家系或出身,而微分則是尋找F(x)的后裔.注意兩者的區(qū)別:盡管可微原函數(shù)總是產(chǎn)生一個(gè)后代,即唯一的導(dǎo)數(shù)f(x),但導(dǎo)數(shù)的積分則可能追溯到無數(shù)個(gè)可能的父母.積分的基本法則法則I(冪函數(shù)積分法則)法則II(指數(shù)函數(shù)積分法則)法則III(對(duì)數(shù)函數(shù)積分法則)法則IIa法則IIIa

運(yùn)算法則法則IV(和的積分)法則V(倍數(shù)的積分)涉及代換的法則法則VI(代換法則)f(u)(du/dx)對(duì)變量x的積分,是f(u)對(duì)變量u的積分:法則VII(分部積分)v對(duì)u的積分等于uv減去u對(duì)v的積分:定積分定積分的含義對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)的已知不定積分,若選擇x定義域中的兩個(gè)值a<b,依次將其代入,并形成差值[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a),從而得到不在包含變量x及任意常數(shù)c的具體數(shù)值,稱為f(x)從a至b的定積分每一個(gè)定積分均有一個(gè)確定的值,在幾何上可以解釋為一條給定曲線下的特定面積定積分的性質(zhì)性質(zhì)I上下限的互換,使符號(hào)改變:性質(zhì)II性質(zhì)III性質(zhì)IV性質(zhì)V性質(zhì)VI性質(zhì)VII給定u(x)和v(x):廣義積分無窮極限積分形如的定積分稱為廣義積分計(jì)算方法:無窮被積函數(shù)積分區(qū)間為閉區(qū)間[a,b]時(shí),如果被積函數(shù)在區(qū)間中的某處為無窮大,則積分為廣義積分,求解利用極限積分區(qū)間為開區(qū)間(a,b)時(shí),則需要先將給定區(qū)間分割成子區(qū)間,當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)子區(qū)間有極限時(shí),積分才是收斂的.積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用從邊際函數(shù)到總函數(shù)給定一個(gè)總函數(shù)對(duì)其微分會(huì)產(chǎn)生邊際函數(shù),而積分使我們可以從已知的邊際函數(shù)反推出總成本函數(shù)例1如果廠商邊際成本MC是總產(chǎn)出的下述函數(shù):C’(Q)=2e0.2Q,若固定成本CF=90,求總成本函數(shù)C(Q).求積分:將信息CF=90作為確定常數(shù)c的初始條件,當(dāng)Q=0時(shí)的總成本只含有CF,于是得到:10e0+c=90,則c=80.總成本函數(shù)為:C(Q)=10e0.2Q+80.例2如果邊際儲(chǔ)蓄傾向(MPS)是收入的如下函數(shù):S’(Y)=0.3-0.1Y-1/2,若當(dāng)收入Y=81時(shí),總儲(chǔ)蓄S=0,求儲(chǔ)蓄函數(shù)S(Y)求S’(Y)的積分:確定c值:0=0.3(81)-0.2(9)+c,所以c=-22.5儲(chǔ)蓄函數(shù)為:S(Y)=0.3Y-0.2Y1/2-22.5上述兩例可推廣至已知邊際函數(shù)求總函數(shù)的其他問題.投資與資本形成資本形成是增加給定資本存量的過程,此過程可視為連續(xù)的,將資本存量表示成時(shí)間的函數(shù)K(t),并以導(dǎo)數(shù)dK/dt表示資本的形成率,但是,在時(shí)間t的資本形成率與以I(t)表示的凈投資(流量)率相等.所以資本存量K和凈投資I通過如下兩個(gè)方程聯(lián)系起來:用Ig表示總投資,I表示凈投資,兩者關(guān)系為:Ig=I+

K,其中,

表示折舊率,

K表示重置投資率例3假設(shè)凈投資流量以方程I(t)=3t1/2表示,在時(shí)間t=0時(shí)的初始資本存量是K(0),何謂資本K的時(shí)間路徑?將I(t)對(duì)t積分,得到:令t=0,求得K(0)=cK的時(shí)間路徑為:K(t)=2t3/2+K(0)如果希望求出某一段時(shí)間區(qū)間的資本形成數(shù)量就使用定積分:注意:資本K是存量而投資I是流量!例4若凈投資是一個(gè)不變流量I(t)=1000美元/年,則在一年內(nèi)的總凈投資(資本形成)是多少?例5若I(t)=3t1/2,這是一個(gè)可變流量,那么,時(shí)期[1,4]的資本形成是多少?資金流量的現(xiàn)值僅用單一未來值V得到的貼現(xiàn)公式是:A=V(1+i)-t[離散情況]A=Ve-rt[連續(xù)情況]當(dāng)假設(shè)有一個(gè)未來值的流-在未來各個(gè)時(shí)間可獲得的一系列收益,或在各個(gè)時(shí)間要支付的成本,那么應(yīng)該如何計(jì)算整個(gè)現(xiàn)金流的現(xiàn)值?離散情況:假設(shè)有三個(gè)在t年末可獲得的收益數(shù)字Rt(t=1,2,3),每年的利息率為i,那么Rt的現(xiàn)值分別為R1(1+i)-1,R2(1+i)-2,R3(1+i)-3由此得到總現(xiàn)值和為連續(xù)情況:考察收益率為R(t)的連續(xù)收入流,在任意時(shí)點(diǎn)t,時(shí)期[t,t+dt]的收益量為R(t)dt,按當(dāng)年貼現(xiàn)率r連續(xù)貼現(xiàn),其現(xiàn)值為R(t)e-rtdt對(duì)三年收入流的總現(xiàn)值,那么可以通過定積分獲得:例6連續(xù)收入流按每年D不變收益率持續(xù)y年,將其按年利息率r貼現(xiàn),其現(xiàn)值為多少?按照上述公式有:例7酒窖藏酒問題在前述酒窖問題中,假定酒窖的藏酒成本為零,當(dāng)時(shí)采用此假設(shè)是因?yàn)槲覀儾恢烙?jì)算成本流量現(xiàn)值的方法.現(xiàn)在已經(jīng)解決了這個(gè)問題.假設(shè)酒商現(xiàn)在發(fā)生的采購(gòu)成本為C,其未來銷售額隨時(shí)間變化而變化,一般表示成V(t),現(xiàn)值為V(t)e-rt.雖然銷售額是一個(gè)未來值,但窖藏成本是支出流.假設(shè)成本是一個(gè)每年為固定比率s的不變支出流,在t年中所發(fā)生的窖藏成本的總現(xiàn)值等于酒商力求最大化的凈現(xiàn)值可以表示成為使N(t)最大化,必須選擇t值以使N’(t)=0即此方程為選擇銷售時(shí)間t*的最優(yōu)化的必要條件經(jīng)濟(jì)解釋:V’(t)表示若銷售延遲一年銷售額的變化率,或者V的增量,方程右邊的兩項(xiàng)分別表示由于延遲銷售而導(dǎo)致的利息成本增量和窖藏成本增量(收益和成本均在時(shí)間t*計(jì)算)持久流量的現(xiàn)值如果資金流量永遠(yuǎn)持續(xù),比如從持久債券獲得的利息或從如土地等恒久資產(chǎn)獲得的收益,資金流的現(xiàn)值將為:例8求每年按不變比率D獲得的恒久收入，按貼現(xiàn)率r連續(xù)貼現(xiàn)的現(xiàn)值.計(jì)算廣義積分時(shí)使用正常積分的極限上式討論的是持久流量與持久收入領(lǐng)域中的資產(chǎn)”資本化”公式完全一致(現(xiàn)值=收益率/貼現(xiàn)率)多馬增長(zhǎng)模型多馬增長(zhǎng)模型前述人口增長(zhǎng)問題及資本形成問題的目標(biāo)是在已知變量變化模式的基礎(chǔ)上描述時(shí)間路徑多馬的經(jīng)典增長(zhǎng)模型的思想是規(guī)定要滿足某些均衡經(jīng)濟(jì)條件所需要的時(shí)間路徑的類型框架(基本假設(shè)與均衡條件)年投資(流量)比率I(t)的任意變化會(huì)產(chǎn)生雙重效果:它將影響總需求及該經(jīng)濟(jì)體的生產(chǎn)能力I(t)變化的需求效應(yīng)通過乘數(shù)過程立即發(fā)揮作用I(t)的提高會(huì)通過I(t)增量的乘數(shù)作用增加年收入流量比率Y(t)乘數(shù)是k=1/s,其中s表示已知的邊際儲(chǔ)蓄傾向,假設(shè)I(t)是唯一的影響收入流量比率的支出流量,則有:dY/dt=(dI/dt)(1/s)投資的生產(chǎn)能力效應(yīng)通過該經(jīng)濟(jì)能夠生產(chǎn)的潛在產(chǎn)出能力的變化來度量假定能力-資本比率不變,有:/K(=常數(shù)),其中

表示生產(chǎn)能力或每年的潛在產(chǎn)出流量,表示已知能力-資本比率上式表示資本存量為K(t)的經(jīng)濟(jì)體每年能夠生產(chǎn)的產(chǎn)出或收入等于

K由d=dK可以得到:d/dt=dK/dt=I在多馬模型中,均衡被定義為生產(chǎn)能力得到充分利用的狀態(tài)達(dá)到均衡時(shí)要求總需求恰好等于該年度能夠生產(chǎn)的潛在產(chǎn)量即Y=.若從均衡狀態(tài)出發(fā),則要求生產(chǎn)能力變化與總需求變化相等,即dY/dt=d/dt,何種投資I(t)的時(shí)間路徑能夠時(shí)時(shí)滿足這一均衡需要!求解先將假設(shè)條件2與3代入均衡條件,得到微分方程:上述式子設(shè)定了I變化的確定模式,應(yīng)當(dāng)能夠由此求出均衡的投資路徑.由方程左邊給出:由方程右邊給出:兩式結(jié)合,合并常數(shù)為:ln|I|=

st+c反對(duì)數(shù)運(yùn)算得到:|I|=e

stec

Ae

st.取投資I為正,有I=Ae

st,求取常數(shù)A:令t=0,得到I(0)=A投資路徑為:I(t)=I(0)e

st經(jīng)濟(jì)意義:為使生產(chǎn)能力和需求在不同時(shí)間保持平衡,投資流量比率必須嚴(yán)格按照指數(shù)

s沿著圖形描述的路徑增長(zhǎng).顯然,所要求的投資增長(zhǎng)率越高,生產(chǎn)能力-資本比率和邊際儲(chǔ)蓄投資傾向也越大,但無論如何,一旦

和s的值確定,所要求的投資增長(zhǎng)路徑便完全確定了.I(0)刃鋒問題:如果實(shí)際投資增長(zhǎng)率(稱其為比率r)與所要求的比率

s不同,會(huì)出現(xiàn)何種狀況呢?定義一個(gè)利用系數(shù):u=1意味著生產(chǎn)能力的充分利用可以證明u=r/s,如果實(shí)際的和所要求的比率間存在差距,那么最終將發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)能力或者不足,或者過剩,具體情況視u的大小而定還可以證明,關(guān)于生產(chǎn)能力短缺或者過剩的結(jié)論可以在任意時(shí)間t應(yīng)用,增長(zhǎng)率為r意味著I(t)=I(0)ert,代入假設(shè)條件2和3后得到:上述比率揭示出在實(shí)際增長(zhǎng)率為r的條件下,在任意時(shí)間t,投資的需求創(chuàng)造效應(yīng)與投資的生產(chǎn)能力生成效應(yīng)的相對(duì)大小如果實(shí)際投資增長(zhǎng)率r大于要求的增長(zhǎng)率

s,則需求效應(yīng)將超過生產(chǎn)能力效應(yīng)導(dǎo)致生產(chǎn)能力不足,相反,則導(dǎo)致生產(chǎn)能力過剩結(jié)論的奇妙在于:如果投資的實(shí)際增長(zhǎng)率快于所要求的比率,那么,最終將導(dǎo)致生產(chǎn)能力短缺而非過剩!同樣令人費(fèi)解的是:如果實(shí)際投資增長(zhǎng)滯后于所要求的比率,將面臨生產(chǎn)能力過剩而非短缺!最終的結(jié)果:給定常參數(shù)和s,則避免生產(chǎn)能力短缺或者過剩的唯一方法是謹(jǐn)慎地控制投資流,使其沿著均衡路徑以增長(zhǎng)率r*=s增長(zhǎng).而且,任何對(duì)這個(gè)”刃蜂”時(shí)間路徑的偏離都將導(dǎo)致多馬模型中設(shè)想的生產(chǎn)能力充分利用的標(biāo)準(zhǔn)永遠(yuǎn)得不到滿足.練習(xí)給定年固定收益率為1000元的連續(xù)收入流:若收入流持續(xù)2年,按年利率0.05連續(xù)貼現(xiàn),那么現(xiàn)值為多少?若收入流恰好在第3年后終止,且貼現(xiàn)率為0.04,現(xiàn)值又為多少?第15章連續(xù)時(shí)間：一階微分方程具有常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一階線性微分方程一階微分方程僅包含一階導(dǎo)數(shù)dy/dt方程中導(dǎo)數(shù)所達(dá)到的最高冪數(shù)稱為方程的次.在導(dǎo)數(shù)為一次因變量y也為一次,而且沒有積y(dy/dt)等形式出現(xiàn)的情況下,此方程便為線性的.一階線性微分方程的一般形式:(dy/dt)+u(t)y=w(t)其中u,w和y都是t的函數(shù)u和w還可以表示常數(shù),當(dāng)函數(shù)u為常數(shù),且當(dāng)函數(shù)w是一個(gè)可加性常數(shù)項(xiàng)時(shí),上述一般形式簡(jiǎn)化為具有常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一階線性微分方程!齊次方程的情況若u和w為常數(shù),且如果w恰好恒為0,則方程變?yōu)?(dy/dt)+ay=0,稱為齊次方程.上述方程還可以寫成(1/y)(dy/dt)=-a,與前節(jié)多馬模型中的方程形式一致.方程的解:通解:y(t)=Ae-at特解:(滿足初始條件的值)y(t)=y(0)e-at對(duì)于微分方程的解不是一個(gè)數(shù)值,而是一個(gè)函數(shù)y(t),如果t表示時(shí)間,則y(t)就表示時(shí)間路徑;解不含有任何導(dǎo)數(shù)或微分表達(dá)式,只要將t的具體數(shù)值代入此雞就可以算出相應(yīng)的y值非齊次函數(shù)的情況非齊次線性微分方程的一般形式

:(dy/dt)+ay=b方程的解是兩項(xiàng)之和:余函數(shù)yc和特別積分ypyc是簡(jiǎn)化方程的通解:yc=Ae-atyp是完備方程的任意特解:最簡(jiǎn)單的情形即y=k(常數(shù))時(shí)的解,由dy/dt=0,得到此時(shí)的特解為yp=b/a.(a

0)完備方程的通解為:y(t)=yc+yp=Ae-at+(b/a).利用初始條件確定常數(shù)A,當(dāng)t=0時(shí),y=y(0),那么y(0)=A+(b/a),則A=y(0)-(b/a)方程的解(a

0時(shí)的定解)為:

y(t)=[y(0)-(b/a)]e-at+(b/a)如果a=0,方程變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單的形式:(dy/dt)=b直接積分求得通解為:y(t)=bt+c通過確定任意常數(shù),得到定解為:y(t)=y(0)+bt解的檢驗(yàn)保證時(shí)間路徑y(tǒng)(t)的導(dǎo)數(shù)與已知微分方程相一致確保定解滿足初始條件市場(chǎng)價(jià)格的動(dòng)態(tài)學(xué)微觀動(dòng)態(tài)市場(chǎng)模型:非齊次方程的應(yīng)用對(duì)某一特定商品,假設(shè)其需求與供給函數(shù)如下:Qd=-PQs=-+P市場(chǎng)均衡價(jià)格為:P*=(+)/(+)(某確定常數(shù))如果初始價(jià)格P(0)剛好在P*水平,市場(chǎng)顯然已經(jīng)處于均衡狀態(tài),無需動(dòng)態(tài)分析;而更多時(shí)候,P*僅在經(jīng)過適當(dāng)調(diào)整以后才能達(dá)到.調(diào)整過程中價(jià)格隨時(shí)間變化Qd和Qs是價(jià)格的函數(shù),當(dāng)然也要隨時(shí)間變化.動(dòng)態(tài)問題:給定調(diào)整過程所需要的充分時(shí)間,能夠?qū)r(jià)格調(diào)整至均衡水平P*嗎?當(dāng)t

∞時(shí),時(shí)間路徑P(t)趨向收斂于P*嗎?時(shí)間路徑首先描述價(jià)格變化的具體形式:一般而言,價(jià)格變化是由市場(chǎng)中供給和需求的相對(duì)強(qiáng)度決定的.假設(shè)在某一時(shí)刻價(jià)格對(duì)時(shí)間的變化率是在該時(shí)刻的超額需求的”比例”:(dP/dt)=j(Qd-Qs)(j>0)根據(jù)上述變化模式,當(dāng)且僅當(dāng)Qd=Qs時(shí),dP/dt=0均衡價(jià)格的雙重含義:跨期意義(P不隨時(shí)間變化)和市場(chǎng)出清意義(均衡價(jià)格是Qd和Qs相等的價(jià)格)在本模型中兩種含義重合!根據(jù)Qd和Qs將上述表達(dá)式轉(zhuǎn)換成非齊次線性微分方程的形式:(dP/dt)+j(+)P=j(+)解得:P(t)=[P(0)-P*]e-kt+P*(k

j(+))均衡的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性(具體分析上述解)當(dāng)P(t)的時(shí)間路徑收斂于P*水平時(shí),稱均衡為動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的.解的表達(dá)式包含三種可能的情形P(0)=P*,于是P(t)=P*,時(shí)間路徑為水平直線P(0)>P*,隨t增加,時(shí)間路徑從上方趨向于均衡水平P(0)<P*,隨t增加,時(shí)間路徑從下方趨向于均衡水平一般而言,要具備動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,時(shí)間路徑與均衡的偏差或者等于零,或者隨時(shí)間而遞減由上述解和一般形式的解可以知道,P*對(duì)應(yīng)與b/a,是特別積分yp;而含指數(shù)的項(xiàng)是余函數(shù)yc.yp表示跨期均衡水平,特別積分為常數(shù)表示有跨期意義上的穩(wěn)定均衡,如果不是常數(shù),則解釋為移動(dòng)均衡yc表示均衡偏差,動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性要求余函數(shù)隨時(shí)間漸進(jìn)為零模型的另一種應(yīng)用前述分析是在給定參數(shù)條件下求取均衡另一類問題:要保證動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,對(duì)參數(shù)應(yīng)該施加怎么樣的限制?繼續(xù)觀察解:如果允許P(0)

P*,則當(dāng)且僅當(dāng)k>0,即j(+)>0,第一項(xiàng)才能趨近于零J是價(jià)格調(diào)整系數(shù);

是需求曲線斜率的負(fù)值;是供給曲線的斜率而j>0,意味著

>-,所以,為實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,供給曲線的斜率必須超過需求曲線的斜率QPSDOGFENMP*P2P1

=1,-

=1/2(斜率為正的需求曲線)可變系數(shù)和可變項(xiàng)更一般的一階線性微分方程:(dy/dt)+u(t)y=w(t),其中u(t)和w(t)分別表示可變系數(shù)和可變項(xiàng).齊次方程的情況w(t)=0,(dy/dt)+u(t)y=0左邊積分:右邊積分:兩邊相等時(shí)得到:所求的y路徑(微分方程的通解)可以求反對(duì)數(shù)得到非齊次方程的情況(需要利用恰當(dāng)微分方程)通解:例求方程(dy/dt)+2ty=t的通解.u=2t,w=t,根據(jù)通解公式:恰當(dāng)微分方程恰當(dāng)微分方程給定二元函數(shù)F(y,t),其全微分為dF(y,t)=(F/y)dy+(F/t)dt,令上述全微分為0,得到的方程稱為恰當(dāng)微分方程,(F/y)dy+(F/t)dt=0一般而言,微分方程Mdy+Ndt=0,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)函數(shù)F(y,t),使得M=F/y,N=F/t時(shí)是恰當(dāng)?shù)?根據(jù)楊氏定理,2F/ty=2F/yt,還可以得到當(dāng)且僅當(dāng)

M/t=N/y時(shí)微分方程Mdy+Ndt=0是恰當(dāng)?shù)?解法設(shè)想其初步結(jié)果為如下形式:由于在F(y,t)對(duì)y偏微分過程中,任何含有變量t和(或)某些常數(shù)(不含有y)的相加的項(xiàng)會(huì)消失,所以積分過程中必須多加小心以恢復(fù)這些項(xiàng).加入一般項(xiàng)

(t)的原因就在此!實(shí)例解釋(訣竅在于利用N=F/t)解恰當(dāng)微分方程2ytdy+y2dt=0M=2yt,N=y2第一步:寫出初步結(jié)果第二步:將上述結(jié)果對(duì)t求偏導(dǎo)(F/t)=y2+’(t);而N=F/t=y2,所以立即有’(t)=0第三步:求積分后得到(t)=k第四步:將第一步與第三步結(jié)合得到F(y,t)=y2t+k,而恰當(dāng)微分方程的解應(yīng)為F(y,t)=c,同時(shí)將k納入到c中,方程的解可以寫成y2t=c,或y(t)=ct-1/2積分因子將微分方程的每一項(xiàng)都乘以一個(gè)特定的公因子,非恰當(dāng)方程也可以成為恰當(dāng)方程,這樣的因子稱為積分因子.實(shí)例解釋微分方程2tdy+ydt=0不是恰當(dāng)?shù)?因?yàn)樗粷M足

M/t=N/y)將方程的每一項(xiàng)都乘以y,使其變?yōu)榍袄?從而成為恰當(dāng)微分方程,y是本例中的積分因子.一階線性微分方程的解一般的一階線性微分方程可以表示成dy+(uy-w)dt=0的形式積分因子為令I(lǐng)為尚屬未知的積分因子,以I通乘上述方程可以將其變?yōu)榍‘?dāng)微分方程Idy+I(uy-w)dt=0觀察M和N的表達(dá)式可知,M僅由I構(gòu)成,u和w僅是t的函數(shù),所以如果I也只是t的函數(shù),則恰當(dāng)性檢驗(yàn)(M/t=N/y)將簡(jiǎn)化為非常簡(jiǎn)單的條件:dI/dt=Iu想讓上式成立,不妨有將該因子代入,產(chǎn)生恰當(dāng)微分方程,可以通過”四步驟”方法解之.一階一次非線性微分方程一階一次非線性微分方程的一般形式當(dāng)y以高于一次冪的形式出現(xiàn)時(shí),即便方程只含有一次導(dǎo)數(shù),它也是非線性方程.一般形式:f(y,t)dy+g(y,t)dt=0,或(dy/dt)=h(y,t),其中對(duì)y和t的冪沒有限制只討論其中簡(jiǎn)單的三種類型恰當(dāng)微分方程可分離變量的方程可化簡(jiǎn)為線性的方程可分離變量的方程方程恰好具有方便的性質(zhì):函數(shù)f僅有變量y,而函數(shù)g僅含有變量t,所以方程簡(jiǎn)化成為特殊形式f(y)dy+g(t)dt=0稱上述情況中變量是可分離的.只需要簡(jiǎn)單的積分方法便可以求解.解方程3y2dy-tdt=0將方程重寫:3y2dy=tdt兩邊同時(shí)積分:通解為:可化簡(jiǎn)為線性的方程如果微分方程dy/dt=h(y,t)恰好取特定的非線性形式:(dy/dt)+Ry=Tym,其中R和T是兩個(gè)關(guān)于t的函數(shù),m是不為0和1的任意數(shù),稱這樣的方程為伯努利方程.轉(zhuǎn)化為線性方程求解以ym除上式,得到:y-m(dy/dt)+Ry1-m=T令z=y1-m,那么(dz/dt)=(dz/dy)(dy/dt)=(1-m)y-m(dy/dt),則方程可以寫成(1/1-m)(dz/dt)+Rz=T重新整理將方程化為dz+[(1-m)Rz-(1-m)T]dt=0求得其解后用逆代換將z變換成y.定性圖解法相位圖給定一般形式的一階微分方程dy/dt=f(y),是變量y的線性或非線性方程.只要dy/dt僅是y的函數(shù),便可以用幾何方式表示,稱其為相位圖,表示函數(shù)f的曲線稱為相位線.一旦相位線已知,其圖象將給出關(guān)于時(shí)間路徑的重要信息在橫軸上方任意點(diǎn)(dy/dt>0),y必隨時(shí)間而遞增,對(duì)y軸而言,y必向右移動(dòng).同理,橫軸下方的任意點(diǎn)必與向左移動(dòng)相聯(lián)系,dy/dt<0意味著y隨時(shí)間而遞減.如果y的均衡水平(跨期意義上的均衡)存在的話,也僅能存在于橫軸上,dy/dt=0(y對(duì)時(shí)間是穩(wěn)定的),所以為求得均衡水平,只需要考慮相位線與橫軸的交點(diǎn).同時(shí),為檢驗(yàn)均衡的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,不管y的初始狀態(tài)如何,都應(yīng)該檢驗(yàn)相位線在對(duì)應(yīng)交點(diǎn)處是否總指向均衡位置.ABCyOdy/dtyaybycyc’時(shí)間路徑的類型一般而言,相位線在其交點(diǎn)處的斜率是決定均衡動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性或者時(shí)間路徑收斂性的關(guān)鍵.(有限)正斜率,比如在ya點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定性(有限)負(fù)斜率,比如在yb點(diǎn)是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的對(duì)于相位線C尚有待討論,它不是函數(shù)圖線,只表示dy/dt和y之間的關(guān)系