人教版九年級數學上冊同步練習 第12課 二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質（原卷版+解析）

第12課二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質目標導航目標導航課程標準1.會用描點法畫二次函數的圖象；會用配方法將二次函數的解析式寫成的形式；2.通過圖象能熟練地掌握二次函數的性質；3.經歷探索與的圖象及性質緊密聯系的過程，能運用二次函數的圖象和性質解決簡單的實際問題，深刻理解數學建模思想以及數形結合的思想．知識精講知識精講知識點01二次函數與之間的相互關系1.頂點式化成一般式

從函數解析式我們可以直接得到拋物線的頂點，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．2.一般式化成頂點式．對照，可知∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．要點詮釋：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是，可以當作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據實際靈活選擇和運用．知識點02二次函數的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據函數解析式，求和，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來．要點詮釋：當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結五點，畫出二次函數的圖象，知識點03二次函數的圖象與性質1.二次函數圖象與性質函數二次函數(a、b、c為常數，a≠0)圖象開口方向對稱軸頂點坐標增減性在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而．簡記：在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而．簡記：最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最值，拋物線有最高點，當時，y有最值，2.二次函數圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關系項目字母字母的符號圖象的特征a開口向上開口向下b對稱軸在y軸左側對稱軸在y軸右側c圖象過原點與y軸正半軸相交與y軸負半軸相交b2-4ac與x軸有唯一交點與x軸有兩個交點與x軸沒有交點知識點04求二次函數的最大(小)值的方法如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大(或最小)值，即當時，．要點詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內，若在此范圍內，則當時，，若不在此范圍內，則需要考慮函數在x1≤x≤x2范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當x＝x2時，；當x＝x1時，，如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當x＝x1時，；當x＝x2時，，如果在此范圍內，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．能力拓展能力拓展考法01二次函數的圖象與性質【典例1】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1，0)，與y軸的交點B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間(不包括這兩點)，對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④⑤b＞c．其中含所有正確結論的選項是()A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【即學即練1】若二次函數()的圖象如圖所示，則的值是．考法02二次函數的最值【典例2】分別在下列范圍內求函數的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．考法03二次函數性質的綜合應用【典例3】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經過點A(2，0)，B(6，0)，交y軸于點C，且S△ABC=16．(1)求點C的坐標；(2)求拋物線的解析式及其對稱軸；(3)若正方形DEFG內接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點D，E分別在拋物線上)，求S正方形DEFG．【典例4】一條拋物線經過A(2，0)和B(6，0)，最高點C的縱坐標是1．(1)求這條拋物線的解析式，并用描點法畫出拋物線；(2)設拋物線的對稱軸與軸的交點為D，拋物線與y軸的交點為E，請你在拋物線上另找一點P(除點A、B、C、E外)，先求點C、A、E、P分別到點D的距離，再求這些點分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計算結果，你發(fā)現這條拋物線上的點具有何種規(guī)律?請用文字寫出這個規(guī)律．【即學即練2】已知二次函數(其中a>0，b>0，c<0)，關于這個二次函數的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點一定在第四象限；③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側．以上說法正確的個數為()A．0B．1C．2D．3分層提分分層提分題組A基礎過關練1．將二次函數化為的形式，結果為()A．B．C．D．2．關于拋物線y＝x2﹣2x+1，下列說法錯誤的是()A．開口向上B．對稱軸是直線x＝1C．與x軸沒有交點D．與y軸的交點坐標是(0，1)3．拋物線的圖象先向右平移

個單位長度，再向下平移

個單位長度，所得圖象的解析式是，則A．13 B．11 C．10 D．124．拋物線y＝ax2+bx+c經過點A(3，0)，對稱軸是直線x＝1，則a+b+c的值為()A． B．1 C．0 D．5．二次函數，當________時，的最小值是_______.6．已知拋物線經過兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標．7．已知二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，下列關于此函數圖象的描述中，錯誤的是()A．對稱軸是直線x＝1 B．當x＜0時，函數y隨x增大而增大C．圖象的頂點坐標是(1，4) D．圖象與x軸的另一個交點是(4，0)8．已知二次函數y＝﹣x2+2x+3．(1)寫出這個二次函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最大值；(2)求出這個拋物線與坐標軸的交點坐標．題組B能力提升練1．如圖，一次函數y1＝x與二次函數y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點，則函數y＝ax2＋(b－1)x＋c的圖象可能是()A． B． C． D．2．若二次函數的圖象，過不同的六點、、、、、，則、、的大小關系是()A． B． C． D．3．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是直線．下列結論：①；②；③；④(為實數)．其中結論正確的個數為()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上任意一點，若點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為_____．5．如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(2，0)，B(-4，0)兩點.(1)求該拋物線的解析式；(2)求出拋物線的對稱軸和頂點坐標；(3)若拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．題組C培優(yōu)拔尖練1．二次函數的圖象如圖所示，若，．則、的大小關系為_____．(填“”、“”或“”)2．如果函數y＝b的圖象與函數y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的圖象恰有三個交點，則b的可能值是_____．3．如圖，拋物線與x軸相交于兩點(點在點的左側)，與軸相交于點．為拋物線上一點，橫坐標為，且．⑴求此拋物線的解析式；⑵當點位于軸下方時，求面積的最大值；⑶設此拋物線在點與點之間部分(含點和點)最高點與最低點的縱坐標之差為．①求關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；②當時，直接寫出的面積．4．在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線有且只有一個公共點．(1)直接寫出拋物線的頂點的坐標，并求出與的關系式；(2)若點為拋物線上一點，當時，均滿足，求的取值范圍；(3)過拋物線上動點(其中)作軸的垂線，設與直線交于點，若、兩點間的距離恒大于等于1，求的取值范圍．第12課二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質目標導航目標導航課程標準1.會用描點法畫二次函數的圖象；會用配方法將二次函數的解析式寫成的形式；2.通過圖象能熟練地掌握二次函數的性質；3.經歷探索與的圖象及性質緊密聯系的過程，能運用二次函數的圖象和性質解決簡單的實際問題，深刻理解數學建模思想以及數形結合的思想．知識精講知識精講知識點01二次函數與之間的相互關系1.頂點式化成一般式

從函數解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．2.一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．要點詮釋：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是，可以當作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據實際靈活選擇和運用．知識點02二次函數的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據函數解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標軸的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來．要點詮釋：當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結五點，畫出二次函數的圖象，知識點03二次函數的圖象與性質1.二次函數圖象與性質函數二次函數(a、b、c為常數，a≠0)圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，2.二次函數圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點知識點04求二次函數的最大(小)值的方法如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大(或最小)值，即當時，．要點詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內，若在此范圍內，則當時，，若不在此范圍內，則需要考慮函數在x1≤x≤x2范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當x＝x2時，；當x＝x1時，，如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當x＝x1時，；當x＝x2時，，如果在此范圍內，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．能力拓展能力拓展考法01二次函數的圖象與性質【典例1】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1，0)，與y軸的交點B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間(不包括這兩點)，對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④⑤b＞c．其中含所有正確結論的選項是()A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【思路點撥】根據對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據對稱軸得到函數圖象經過(3，0)，則得②的判斷；根據圖象經過(﹣1，0)可得到a、b、c之間的關系，從而對②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間可以判斷c的大小得出④的正誤．【答案】D．【解析】解：①∵函數開口方向向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側∴ab異號，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A(﹣1，0)，對稱軸為直線x=﹣1，∴圖象與x軸的另一個交點為(3，0)，∴當x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯誤；③∵圖象與x軸交于點A(﹣1，0)，∴當x=﹣1時，y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選：D．【總結升華】主要考查圖象與二次函數系數之間的關系．解題關鍵是注意掌握數形結合思想的應用．【即學即練1】若二次函數()的圖象如圖所示，則的值是．【答案】-1.考法02二次函數的最值【典例2】分別在下列范圍內求函數的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．【答案與解析】∵，∴頂點坐標為(1，-4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內，且a＝1＞0，∴當x＝1時y有最小值，．∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點，在x＝1兩側圖象左右對稱，端點處取不到，不存在最大值．(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(如圖所示)，又因為函數(2≤x≤3)的圖象是拋物線的一部分，且當2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴當x＝3時，；當x＝2時，．【總結升華】先求出拋物線的頂點坐標，然后看頂點的橫坐標是否在所規(guī)定的自變量的取值范圍內，根據不同情況求解，也可畫出圖象，借助于圖象的直觀性求解，如圖所示，2≤x≤3為圖中實線部分，易看出x＝3時，；x＝2時，．考法03二次函數性質的綜合應用【典例3】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經過點A(2，0)，B(6，0)，交y軸于點C，且S△ABC=16．(1)求點C的坐標；(2)求拋物線的解析式及其對稱軸；(3)若正方形DEFG內接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點D，E分別在拋物線上)，求S正方形DEFG．【答案與解析】解：(1)∵A(2，0)，B(6，0)，∴AB=6﹣2=4．∵S△ABC=16，∴×4?OC=16，∴OC=8，∴點C的坐標為(0，8)；(2)∵拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經過點A(2，0)，B(6，0)，∴可設拋物線的解析式為y=a(x﹣2)(x﹣6)，將C(0，8)代入，得8=12a，解得a=，∴y=(x﹣2)(x﹣6)=x2﹣x+8，故拋物線的解析式為y=x2﹣x+8，其對稱軸為直線x=4；(3)設正方形DEFG的邊長為m，則m＞0，∵正方形DEFG內接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點D，E分別在拋物線上)，∴D(4﹣m，﹣m)，E(4+m，﹣m)．將E(4+m，﹣m)代入y=x2﹣x+8，得﹣m=×(4+m)2﹣×(4+m)+8，整理得，m2+6m﹣16=0，解得m1=2，m2=﹣8(不合題意舍去)，∴正方形DEFG的邊長為2，∴S正方形DEFG=22=4．【總結升華】熟練掌握待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的圖象與性質是解題綜合題的前提.第(3)問中設出正方形DEFG的邊長為m，根據二次函數與正方形的性質用含m的代數式正確表示點D與點E的坐標是解題的關鍵．【典例4】一條拋物線經過A(2，0)和B(6，0)，最高點C的縱坐標是1．(1)求這條拋物線的解析式，并用描點法畫出拋物線；(2)設拋物線的對稱軸與軸的交點為D，拋物線與y軸的交點為E，請你在拋物線上另找一點P(除點A、B、C、E外)，先求點C、A、E、P分別到點D的距離，再求這些點分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計算結果，你發(fā)現這條拋物線上的點具有何種規(guī)律?請用文字寫出這個規(guī)律．【答案與解析】(1)由已知可得拋物線的對稱軸是．∴最高點C的坐標為(4，1)．則解得∴所求拋物線的解析式為．列表：-20246810-8-3010-3-8描點、連線，如圖所示：(2)取點(-2，-8)為所要找的點P，如圖所示，運用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，觀察圖象知AD＝2，CD＝1，點E、P、A、C到直線y＝2的距離分別是5、10、2、1．(3)拋物線上任一點到點D的距離等于該點到直線y＝2的距離．【總結升華】(1)描點畫圖時，應先確定拋物線的對稱軸，然后以對稱軸為參照，左右對稱取點．(2)計算兩點之間的距離應構造兩直角邊分別平行于兩坐標軸的直角三角形，然后運用勾股定理求得．【即學即練2】已知二次函數(其中a>0，b>0，c<0)，關于這個二次函數的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點一定在第四象限；③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側．以上說法正確的個數為()A．0B．1C．2D．3【答案】C.分層提分分層提分題組A基礎過關練1．將二次函數化為的形式，結果為()A．B．C．D．【答案】D．【解析】試題分析：y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=(x﹣2)2﹣5．故選D．考點：二次函數的頂點式．2．關于拋物線y＝x2﹣2x+1，下列說法錯誤的是()A．開口向上B．對稱軸是直線x＝1C．與x軸沒有交點D．與y軸的交點坐標是(0，1)【答案】C【分析】根據題目中的函數解析式，利用二次函數的性質依次判斷各項即可解答．【詳解】∵拋物線y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2，∴該函數圖象開口向上，選項A正確，對稱軸是直線x＝1，選項B正確，當x＝1時，y＝0，即拋物線與x軸的交點是(1,0)選項C錯誤當x＝0時，y＝1，選項D正確，故選C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．3．拋物線的圖象先向右平移

個單位長度，再向下平移

個單位長度，所得圖象的解析式是，則A．13 B．11 C．10 D．12【答案】B【分析】因為拋物線y=ax2+bx+c的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到圖象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3個單位，再向上平移2個單位后，可得拋物線y=ax2+bx+c的圖象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值．【詳解】∵y=x2﹣3x+5=(x﹣)2+，當y=x2﹣3x+5向左平移3個單位，再向上平移2個單位后，可得拋物線y=ax2+bx+c的圖象，∴y=(x﹣+3)2++2=x2+3x+7；∴a+b+c=11．故選B．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數解析式．4．拋物線y＝ax2+bx+c經過點A(3，0)，對稱軸是直線x＝1，則a+b+c的值為()A． B．1 C．0 D．【答案】C【分析】根據二次函數對稱性可求出點(－3，0)關于對稱軸x＝－1的對稱點為(1，0)，然后把(1，0)代入y＝ax2＋bx＋c即可求出答案．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸為x＝－1，∴根據二次函數的對稱性得：點A(－3，0)的對稱點為(1，0)，∴當x＝1時，y＝a＋b＋c＝0，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，解答本題的關鍵是求出點A關于對稱軸的對稱點，難度不大．5．二次函數，當________時，的最小值是_______.【答案】-1，-4【分析】根據完全平方式和頂點式的意義，可直接得出二次函數的最小值．【詳解】由于(x+1)2≥0，

所以當x=-1時，(x+1)2取得最小值，

則二次函數y=2(x+1)2-4最小值為-4．

故答案為：-1,-4．【點睛】此題考查二次函數的性質，解題關鍵在于要熟悉非負數的性質，找到完全平方式的最小值即為函數的最小值．6．已知拋物線經過兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標．【答案】(1)y=x2-3x；(2)開口向上，直線x=，(，)【分析】(1)把點A、B的坐標代入函數解析式，根據待定系數法列式求解即可．(2)配成頂點式，再根據二次函數的性質求解．【詳解】解：(1)∵拋物線經過兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式是：y=x2-3x；(2)，∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=，頂點坐標為(，)．【點睛】本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式、二函數的性質，是基礎題，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．7．已知二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，下列關于此函數圖象的描述中，錯誤的是()A．對稱軸是直線x＝1 B．當x＜0時，函數y隨x增大而增大C．圖象的頂點坐標是(1，4) D．圖象與x軸的另一個交點是(4，0)【答案】D【分析】利用二次函數的圖像與性質，判斷選項的正誤即可.【詳解】由函數圖像可知，對稱軸是直線x＝1故選項A正確；當x＜0時，函數y隨x增大而增大，故選項B正確；圖象的頂點坐標是(1，4)，故選項C正確；圖象與x軸的另一個交點是(3，0)，故選項D錯誤.故選D【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.8．已知二次函數y＝﹣x2+2x+3．(1)寫出這個二次函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最大值；(2)求出這個拋物線與坐標軸的交點坐標．【答案】(1)見解析;(2)與x軸的交點坐標是(﹣1，0)，(3，0)，與y軸的交點坐標是(0，3)．【解析】【分析】(1)根據二次項系數確定開口方向，根據頂點坐標公式確定頂點坐標和對稱軸．(2)當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得與x軸的交點為(﹣1，0)，(3，0)；當x＝0時，y＝3，即求得與y軸的交點坐標為(0，3)．【詳解】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4∴開口方向向下，對稱軸x＝1，頂點坐標是(1，4)當x＝1時，y有最大值是4；(2)∵當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3當x＝0時，y＝3∴拋物線與x軸的交點坐標是(﹣1，0)，(3，0)，與y軸的交點坐標是(0，3)．故答案為(1)見解析;(2)與x軸的交點坐標是(﹣1，0)，(3，0)，與y軸的交點坐標是(0，3)．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是利用解析式求坐標軸的交點以及頂點坐標公式．題組B能力提升練1．如圖，一次函數y1＝x與二次函數y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點，則函數y＝ax2＋(b－1)x＋c的圖象可能是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，得出方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個不相等的根，進而得出函數y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個交點，根據方程根與系數的關系得出函數y=ax2+(b-1)x+c的對稱軸x=-＞0，即可進行判斷．【詳解】點P在拋物線上，設點P(x，ax2+bx+c)，又因點P在直線y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+(b-1)x+c=0；由圖象可知一次函數y=x與二次函數y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點，∴方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個正實數根．∴函數y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個交點，又∵-＞0，a＞0∴-=-+＞0∴函數y=ax2+(b-1)x+c的對稱軸x=-＞0，∴A符合條件，故選A．2．若二次函數的圖象，過不同的六點、、、、、，則、、的大小關系是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，把A、B、C三點代入解析式，求出，再求出拋物線的對稱軸，利用二次根式的對稱性，即可得到答案．【詳解】解：根據題意，把點、、代入，則，消去c，則得到，解得：，∴拋物線的對稱軸為：，∵與對稱軸的距離最近；與對稱軸的距離最遠；拋物線開口向上，∴；故選：D．【點睛】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征的理解和掌握，以及二次函數的性質，解題的關鍵是掌握二次函數的性質，正確求出拋物線的對稱軸進行解題．3．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是直線．下列結論：①；②；③；④(為實數)．其中結論正確的個數為()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①由拋物線開口方向得到，對稱軸在軸右側，得到與異號，又拋物線與軸正半軸相交，得到，可得出，選項①錯誤；②把代入中得，所以②正確；③由時對應的函數值，可得出，得到，由，，，得到，選項③正確；④由對稱軸為直線，即時，有最小值，可得結論，即可得到④正確．【詳解】解：①∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線的對稱軸在軸右側，∴，∵拋物線與軸交于負半軸，∴，∴，①錯誤；②當時，，∴，∵，∴，把代入中得，所以②正確；③當時，，∴，∴，∵，，，∴，即，所以③正確；④∵拋物線的對稱軸為直線，∴時，函數的最小值為，∴，即，所以④正確．故選C．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次項系數決定拋物線的開口方向和大?。敃r，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置：當與同號時，對稱軸在軸左；當與異號時，對稱軸在軸右．常數項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于．拋物線與軸交點個數由判別式確定：時，拋物線與軸有2個交點；時，拋物線與軸有1個交點；時，拋物線與軸沒有交點．4．如圖拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上任意一點，若點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為_____．【答案】【分析】連接AC,與對稱軸交于點P,此時DE+DF最小，求解即可.【詳解】連接AC,與對稱軸交于點P,此時DE+DF最小，點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，在二次函數y=x2+2x﹣3中，當時，當時，或即點P是拋物線對稱軸上任意一點，則PA=PB,PA+PC=AC,PB+PC=DE+DF的最小值為：故答案為【點睛】考查二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的中位線，勾股定理等知識點，找出點P的位置是解題的關鍵.5．如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(2，0)，B(-4，0)兩點.(1)求該拋物線的解析式；(2)求出拋物線的對稱軸和頂點坐標；(3)若拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)對稱軸是直線x=﹣1，頂點坐標為(-1，9)；(3)存在，Q(-1，6)【分析】(1)將A、B兩點坐標代入y=-x2+bx+c中，解方程組即可求解；(2)將拋物線方程化為頂點式，即可求得對稱軸和頂點坐標；(3)由于A、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，所以直線BC與對稱軸的交點即為Q點，此時周長最小，求出直線BC的解析式，令x=1，求出y值，即可知點Q的坐標．【詳解】解：(1)將A(2，0)，B(-4，0)代入y=-x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線的方程為；(2)∵，∴對稱軸為直線x=﹣1，頂點坐標為(﹣1，9)；(3)存在，理由：∵△QAC的周長=AC+QA+QC,∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小，根據題意，A、B兩點關于對稱軸x=﹣1對稱，∴直線BC與直線x=﹣1的交點即為Q點，此時QA+QC最小，即△AQC周長最小，對于，令x=0，則y=8，∴C(0，8)，設直線BC的解析式為y=kx+8(k≠0)，將點B(﹣4，0)代入，得：﹣4k+8=0，解得：k=2,∴直線BC的解析式為y=2x+8，當x=﹣1時，y=2×(﹣1)+8=6，∴Q(﹣1，6)．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的圖象與性質、利用二次函數的對稱性求最短路徑問題，解答的關鍵是認真審題，找尋相關聯信息，利用數形結合思想進行推理、探究和計算．題組C培優(yōu)拔尖練1．二次函數的圖象如圖所示，若，．則、的大小關系為_____．(填“”、“”或“”)【答案】<【分析】由圖像可知，當時，，當時，，然后用作差法比較即可.【詳解】當時，，當時，，，即，故答案為【點睛】本題考查了二次函數圖像上點的坐標特征，作差法比較代數式的大小，熟練掌握二次函數圖像上點的坐標滿足二次函數解析式是解答本題的關鍵.2．如果函數y＝b的圖象與函數y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的圖象恰有三個交點，則b的可能值是_____．【答案】-6或-6.25【分析】由y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，得：，進而畫出函數的圖象，即可得到答案.【詳解】∵y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，∴，在平面直角坐標系中，畫出圖象，如圖所示：∵由圖象可知：A(0，-6)，B(0.5，-6.25)，C(1，-6)，直線y=-6和直線y=-6.25與函數圖象恰有三個交點，∴b的可能值是：-6或-6.25.故答案是：-6或-6.25.【點睛】本題主要考查二次函數的圖象，