北京教師進(jìn)修學(xué)校2020-2021學(xué)年高二十月數(shù)學(xué)月考試題

教師進(jìn)修高二月考一、選擇題（本大題共10小題，共40分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】復(fù)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限．故選．2.在四面體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).設(shè),，，那么向量用基底可表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，然后利用空間向量的基本定理，用表示向量即可.【詳解】點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，，又，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的基本定理，以及向量的中點(diǎn)公式，要求熟練掌握，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.在下列四個(gè)正方體中，能得出直線與所成角為的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)以及判定定理判斷A，平移直線結(jié)合異面直線的定義，判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，如下圖所示，連接由于，根據(jù)線面垂直判定定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)得出，則A正確；對(duì)于B，如下圖所示，連接因?yàn)闉檎切?，，所以直線與所成角為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖所示，連接因?yàn)樵谥?，，，所以直線與所成角為，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如下圖所示，連接因?yàn)?，所以直線與所成角為，則D錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了求異面直線的夾角，屬于中檔題.4.已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.【詳解】若,可以有或相交，故A錯(cuò)；若，可以有或異面，故B錯(cuò)；若，可以有、與斜交、，故C錯(cuò)；過(guò)作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.已知空間中兩條不同的直線，其方向向量分別為，則“”是“直線相交”的（）A..充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】?jī)蓷l不同的直線的方向向量不共線，兩條不同的直線可能相交，可能異面；兩條直線相交，則兩條直線的方向向量一定不共線.【詳解】由可知，與不共線，所以兩條不同的直線不平行，可能相交，也可能異面，所以“”不是“直線相交”的充分條件；由兩條不同的直線相交可知，與不共線，所以，所以“”是“直線相交”的必要條件，綜上所述：“”是“直線相交”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩條直線的位置關(guān)系，考查了空間直線的方向向量，考查了必要不充分條件，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，則滿足（）A.三點(diǎn)共線 B.構(gòu)成直角三角形C.構(gòu)成鈍角三角形 D.構(gòu)成等邊三角形【答案】D【解析】【分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以為等邊三角?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.7.日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【答案】B【解析】【分析】畫出過(guò)球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)處的緯度，計(jì)算出晷針與點(diǎn)處的水平面所成角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.8.已知四面體的所有棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，即可求解.【詳解】如圖，可知，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9.已知四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，分別是邊的中點(diǎn)，垂直于正方形所在平面，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，交于，交于，過(guò)作，垂足為，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng)度，根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可解得結(jié)果.【詳解】如圖：連接，交于，交于，因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過(guò)作，垂足為，則平面，則為點(diǎn)到平面的距離，在直角三角形和直角三角形中，，所以，所以，所以，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為4，所以，，，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查了平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.10.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱上的中點(diǎn).若點(diǎn)為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動(dòng)點(diǎn)，且存在使成立，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)向量共面判斷出平面，由面面平行得到P點(diǎn)的軌跡，在直角三角形中求出邊長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)槌闪ⅲ怨裁?，即平面，如圖，取中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)得，，，且，，所以平面平面，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)椋?，由勾股定理得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面與平面平行的判斷及性質(zhì)，求點(diǎn)的軌跡的問(wèn)題，考查了推理能力.二、填空題（本大題共5小題，共20分）11.已知空間向量，若，則實(shí)數(shù)___，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，則即，解得故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.12.已知復(fù)數(shù)，則=________．【答案】【解析】試題分析：，所以考點(diǎn)：復(fù)數(shù)模的概念與復(fù)數(shù)的運(yùn)算.13.正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為2，二面角為，則此四棱錐的體積為_(kāi)____【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為，取的中點(diǎn)，連，則可得，，根據(jù)棱錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以為正方形的中心，取的中點(diǎn)，連，則平面，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)?，所以，所以此四棱錐的體積為.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了二面角，考查了棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，長(zhǎng)方體中，、與底面所成的角分別為和，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，則最小值為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】因?yàn)槠矫妫?，，根?jù)，求出，，，又可化為，所以只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜邊上的高即可得解.【詳解】如圖：因?yàn)槠矫?，所以，，設(shè)，則，，，，因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以，，，所以，?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，所以的最小值為，即的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面所成的角，考查了空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題.15.已知正方體，在空間中記過(guò)點(diǎn)與三條直線所成角都相等的直線條數(shù)為，過(guò)點(diǎn)與三個(gè)平面所成角都相等的直線的條數(shù)為，則_______，________.【答案】(1).4(2).4【解析】【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知，正方體的四條對(duì)角線滿足與三條直線所成角都相等，也滿足與三個(gè)平面所成角都相等，將不過(guò)點(diǎn)的三條對(duì)角線平移到過(guò)即可得解.【詳解】在正方體中，根據(jù)對(duì)稱性可知，對(duì)角線分別與三條直線所成角都相等，對(duì)角線分別與三條直線所成角都相等，因?yàn)?，所以?duì)角線分別與三條直線所成角都相等，同理對(duì)角線分別與三條直線所成角都相等，過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，則所作三條平行線分別與三條直線所成角都相等，又也與三條直線所成角都相等，所以；在正方體中，根據(jù)對(duì)稱性可知，對(duì)角線分別與三個(gè)平面所成角都相等，對(duì)角線分別與三個(gè)平面所成角都相等，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?duì)角線分別與三個(gè)平面所成角都相等，同理對(duì)角線分別與三個(gè)平面所成角都相等，過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，則所作三條平行線分別與三個(gè)平面所成角都相等，又也與三個(gè)平面所成角都相等，所以；故答案為：4；4【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的對(duì)稱性，考查了直線與直線所成的角，考查了直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共4小題，共40分）16.已知復(fù)數(shù).（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)的輔角主值為，求實(shí)數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的概念列式可得結(jié)果；（2）根據(jù)可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則且，解得；（2）若復(fù)數(shù)的輔角主值為，所以，則，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了純虛數(shù)的概念，考查了復(fù)數(shù)的輻角主值，屬于基礎(chǔ)題.17.已知正四棱柱中，.（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值；（3）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明平面，可得；（2）設(shè)直線與所成角為，，根據(jù)計(jì)算可得解；（3）轉(zhuǎn)化為求直線與平面夾角的正弦值，求出和點(diǎn)到平面的距離后可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，又底面為正方形，所以，且，所以平面，所?（2）設(shè)直線與所成角為，，因?yàn)?，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.（3）因?yàn)椋灾本€與平面夾角的正弦值等于直線與平面夾角的正弦值，因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于直角三角形的斜邊上的高，且，所以點(diǎn)到平面的距離等于，又，所以直線與平面夾角的正弦值為，所以直線與平面夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，考查了直線與平面所成角的定義求法，考查了異面直線所成角的向量求法，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，底面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)使得平面，如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形得即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，可求出平面和平面的法向量，利用向量可求出二面角的余弦值；（3）通過(guò)可判斷不垂直于，即可判斷線段上不存在點(diǎn)使得平面.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，在中，分別是中點(diǎn)，且，，且,且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）底面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，如圖，，，設(shè)平面的法向量，，取，則，即，底面，是平面的一個(gè)法向量，則，由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為；（3）可知，，，,與不垂直，即不垂直于，線段上不存在點(diǎn)使得平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的向量求法，考查點(diǎn)的存在性問(wèn)題，屬于中檔題.19.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意的點(diǎn)，定義，任取點(diǎn)，記，若此時(shí)成立，則稱點(diǎn)相關(guān).（1）分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說(shuō)明理由.①；②.（2）給定，點(diǎn)集，求集合中與點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義，代入不等式化簡(jiǎn)變形可得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，即可判斷所給兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否符合定義要求.（2）根據(jù)所給點(diǎn)集，依次判斷在四個(gè)象限內(nèi)滿足的點(diǎn)個(gè)數(shù)，坐標(biāo)軸上及原點(diǎn)的