2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線第08講：三點(diǎn)共線問題（原卷版）

第八講：三點(diǎn)共線問題

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，坐標(biāo)的表示；

應(yīng)用目標(biāo)：掌握直線與橢圓，雙曲線，拋物線聯(lián)立求解，并表示交點(diǎn)，向量，斜率等計(jì)算量；

拓展目標(biāo)：能夠熟練掌握三點(diǎn)共線的表達(dá)和求解方法.

素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生

的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【基礎(chǔ)知識(shí)】

解析幾何中，將代數(shù)和幾何聯(lián)系到一起，形成了圖形和坐標(biāo)等的分析，在一定程度上可以進(jìn)行坐標(biāo)的計(jì)算,

達(dá)到解決解析幾何的目的，因此在解析幾何中的三點(diǎn)共線證明上，重點(diǎn)放在點(diǎn)的坐標(biāo)的表示和計(jì)算中.

解析幾何證明三點(diǎn)共線的方法：

(1)直接證明其中一點(diǎn)在過另兩點(diǎn)的直線上；

(2)證明過其中一點(diǎn)和另兩點(diǎn)所連兩條直線斜率相等；

(3)證明過其中一點(diǎn)和另兩點(diǎn)所連兩個(gè)向量共線.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：證明三點(diǎn)共線

例L已知橢圓u]+∕=lS>b>O)的離心率為正，上下頂點(diǎn)分別為48,且IN8∣=4.過點(diǎn)(1,0)的直線

與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)N(不與點(diǎn)48重合).

⑴求橢圓C的方程；

⑵若直線與直線N=4相交于點(diǎn)P,求證：B,RM三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練1：已知橢圓cJ+,=l(α>6>0)的離心率為當(dāng)且過點(diǎn)卜網(wǎng).

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知力、8分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，M是直線χ=2上不與8點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，與

直線OM垂直的直線8尸與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P.求證：A.P、M三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓cW+E=l(a>b>O)的右焦點(diǎn)為/(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)0(0,遠(yuǎn)).

Crb2

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為P,過點(diǎn)尸的直線/(與X軸不重合)交橢圓于48兩點(diǎn)，直線尸4交直線/':x=2〃于

點(diǎn)"，若直線/'上存在另一點(diǎn)N,使麗.麗=0.求證：P,8,N三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系如中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線

交橢圓于P,A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過尸作X軸的垂線，垂足為C,設(shè)直線尸骨的斜率為底

⑴若直線RI平分線段朋N,求女的值；

⑵求APΛ∕N面積S的最大值，并指出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶對(duì)任意的左>0,過點(diǎn)P作P/的垂線交橢圓于8,求證：A,C,B三

點(diǎn)共線.

考點(diǎn)二：已知三點(diǎn)共線(求坐標(biāo))

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例L如圖，已知橢圓E：?+4=l(α>?>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率e=：,過F作一直線4交橢

ab^2

圓E于A,B兩點(diǎn)(其中A在X軸的上方)，過點(diǎn)A作直線4：χ=4的垂線，垂足為C.

(1)求橢圓E的方程;

(2)問：在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得B,T,

線？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

變式訓(xùn)練1：已知長軸長為2√Σ的橢圓C:：+4=l(a>6>0)過點(diǎn),點(diǎn)尸是橢圓C的右焦點(diǎn).

ab

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在X軸上的定點(diǎn)D,使得過點(diǎn)D的直線/交橢圓C于48兩點(diǎn)，設(shè)E為點(diǎn)B關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn),

且三點(diǎn)共線？若存在，求。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22

變式訓(xùn)練2：已知橢圓C:云r+方v=l(α>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線=4y的焦點(diǎn)，其離心率與雙

曲線《-《=1的離心率互為倒數(shù).

62

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過橢圓的右焦點(diǎn)尸作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/交橢圓C于48兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為P,

當(dāng)直線/繞著點(diǎn)尸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)。，使得民P,。三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

變式訓(xùn)練3：已知橢圓。，+/=1(°>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線。“2=”的焦點(diǎn)，其離心率與雙

曲線二一/=［的離心率互為倒數(shù)

4

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過橢圓的右焦點(diǎn)尸作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/交橢圓C于A、B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為P,

當(dāng)直線/繞著點(diǎn)尸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)。，使得8、P、。三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

考點(diǎn)三：已知三點(diǎn)共線求參

例L已知橢圓C：?+^-=l(a>h>O)的短軸長為2√L離心率為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)",N分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)。(1,0)且不與X軸重合的直線4與橢圓C相交于48兩點(diǎn)

是否存在實(shí)數(shù)r(f>2),使得直線小X=，與直線BN的交點(diǎn)P滿足尸,4M三點(diǎn)共線？若存在，求出4的

方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

Xy(α>ft>O)的右準(zhǔn)線方程為x=4

變式訓(xùn)練1：已知橢圓C：RF=右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,右焦

點(diǎn)為F,斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)A,且點(diǎn)F到直線的距離為W?

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)將直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P,當(dāng)B,F,P三點(diǎn)共線時(shí)，試確定直線的斜率.

變式訓(xùn)練2：設(shè)雙曲線UV-Δ-=1的上焦點(diǎn)為N是雙曲線C上的兩個(gè)不同的點(diǎn).

3

⑴求雙曲線C的漸近線方程；

⑵設(shè)直線MN與>軸交于點(diǎn)0(0,q),M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為ΛΓ.若M',EN三點(diǎn)共線，求證：4為定值.

變式訓(xùn)練3：已知橢圓C：+，=l(a>6>0)的離心率為半，N為橢圓C上任意一點(diǎn)，且已知P(1,0).

(1)若橢圓C的短軸長為4,求MPl的最大值；

(2)若直線4P交橢圓C的另一個(gè)點(diǎn)為3,直線/:x=4交X軸于點(diǎn)。，點(diǎn)A關(guān)于直線/對(duì)稱點(diǎn)為/,且/,

8三點(diǎn)共線，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

考點(diǎn)三：已知三點(diǎn)共線求范圍

22?

例L已知橢圓C：5+A?=l(α>b>0)的離心率為且過點(diǎn)(一1,彳)，橢圓C的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)8的坐

abl2

標(biāo)為(―,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知縱坐標(biāo)不同的兩點(diǎn)尸，。為橢圓C上的兩個(gè)點(diǎn)，且S,P,。三點(diǎn)共線，線段尸。的中點(diǎn)為R,求

直線NR的斜率的取值范圍.

變式訓(xùn)練1：在平面直角坐標(biāo)系中，A∕8C的兩個(gè)頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),平面內(nèi)兩點(diǎn)G,

M同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：

①G是BC三條邊中線的交點(diǎn)；②也是“8C的外心；③GM7/49.

(I)求AZ8C的頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(D)若點(diǎn)P(2,0)與(I)中軌跡上的點(diǎn)E,?三點(diǎn)共線,求IPEH尸尸I的取值范圍.

變式訓(xùn)練2：如圖，已知橢圓G：1+/=l,拋物線C2：/=2px(p>0),點(diǎn)A是橢圓G與拋物線G的交

點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線，交橢圓G于點(diǎn)B,交拋物線C2于點(diǎn)”(B,〃不同于A).

(1)求橢圓G的焦距;

(2)設(shè)拋物線ɑ的焦點(diǎn)為尸，尸為拋物線上的點(diǎn)，且A、F、P三點(diǎn)共線，若存在不過原點(diǎn)的直線/使M

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為線段“5的中點(diǎn)，求由+同的最小直

考點(diǎn)四：證明三點(diǎn)共線(充要條件)

例L已知橢圓C方程為、+與=l(">6>0),右焦點(diǎn)為F(√∑,O),且離心率為逅.

a2b23

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線一+產(chǎn)=加。>0)相切證明：”,N,廠三點(diǎn)共線的充要

條件是IMNI=√3.

變式訓(xùn)練1：已知平面內(nèi)兩點(diǎn)片(-√∑,0)Z(√∑,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足：|尸耳|+|尸用=2√J.

⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)設(shè)M,N是軌跡C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線/+/=1。>0)相切.證明：M,N,乙三點(diǎn)共線的充要條

件是∣"N=√L

變式訓(xùn)練2：已知橢圓C的方程為捺+]?=l(">6>0),長軸長為2√J,且離心率為牛

⑴求圓C的方程；

(2)過橢圓C上任意一點(diǎn)A作兩條直線，與橢圓的另外兩個(gè)交點(diǎn)為M,N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線和直

線/N的斜率存在且分別為勺和/.證明：M,O,N三點(diǎn)共線的充要條件是￡?&=-3.

【當(dāng)堂小結(jié)】

1、知識(shí)清單：

(1)橢圓，雙曲線，拋物線弦長公式；

(2)弦長最值的基本不等式求解；

(3)交點(diǎn)坐標(biāo)的求解和非弦長的計(jì)算；

2、易錯(cuò)點(diǎn)：弦長公式的計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用；

3.考查方法：基本不等式，數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;

4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.

【過關(guān)檢測(cè)】

1.已知橢圓，+]?=l(α>6>0)的左右頂點(diǎn)分別記為A、B,其長軸的長為4,離心率為孝.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記08的中點(diǎn)為P,若動(dòng)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)恒為過點(diǎn)A作〃PH交橢圓于點(diǎn)Λ/,直線54交橢圓

于點(diǎn)N,求證：M、P,N三點(diǎn)共線.

2.過拋物線Cy=2px(p>0)焦點(diǎn)廠的直線交C于45兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，O為坐標(biāo)原點(diǎn).過5做1/

于8∣,設(shè)/(士,必),8伍,必).

(1)求必”的值;

(2)求證：40,用三點(diǎn)共線.

2.已知橢圓。:￡+與=1(α>6>0)的右焦點(diǎn)為F(1,O),左右頂點(diǎn)分別為A、B,?BF?=l,過點(diǎn)尸的直

ab

線/(不與X軸重合)交橢圓C于M、N點(diǎn)，直線x=4與X軸的交點(diǎn)為。，與直線的交點(diǎn)為P.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若APHDM,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)求證：A、N、P三點(diǎn)共線.

3.如圖，已知橢圓C：捺+/=l(α>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4右焦點(diǎn)為尸(LO),右準(zhǔn)線/的方程為

χ=4,過焦點(diǎn)廠的直線與橢圓C相交于點(diǎn)48(不與點(diǎn)重合).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)直線的傾斜角為45°時(shí)，求弦48的長；

(3)設(shè)直線4"交/于點(diǎn)”，求證：民4,M三點(diǎn)共線.

4.已知拋物線C:_/=2px(p>0),廣為其焦點(diǎn)，P(IM(y>0),48三點(diǎn)都在拋物線C上，且IEPl=2,

設(shè)直線AB,PA,PB的斜率分別為k,kl,k2.

(1)求拋物線C的方程，并證明(+；=：+1；

?VIK)ZC

⑵已知且4民M三點(diǎn)共線，若PALPB且&>右,求直線產(chǎn)/的方程.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)尸(2,0)的距離和它到直線X=1的距離的比是常數(shù)2叵.

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(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若過點(diǎn)尸作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于48兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為尸，當(dāng)

直線/繞著點(diǎn)廠轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)。，使得民P,Q三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

2

6.已知橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線∕=4y的焦點(diǎn)，離心率e=忑，過橢圓的右焦點(diǎn)

F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線1,交橢圓于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)用(見0)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(而+礪)1荏，求m的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在,

求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

2

7.已知橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,1),離心率e=而，過橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直

的直線1,交橢圓于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)/(m,0)是線段。尸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(而+麗)1萬，求m的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得C、B.N三點(diǎn)共線？若存在,

求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.已知焦點(diǎn)為F的拋物線C：/=2px(p>0)經(jīng)過圓。：(x-4)2+(y-盯=U(r>0)的圓心,點(diǎn)E是拋物線C

與圓。在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)，且但司=2.

(1)分別求P與K的值;

(2)點(diǎn)M與點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，點(diǎn)A,8是異于點(diǎn)。的拋物線C上的兩點(diǎn)，且A,8三點(diǎn)共線，

直線比1,