2023-2024自主招生與競賽第1講集合的概念與運算-參考答案

第一講集合的概念與運算例1設(shè)，，，求證：．【分析】中的元素是什么?是自然數(shù)，即由兩個整數(shù)，的平方和構(gòu)成的自然數(shù)，亦即從中任取兩個（相同或不相同）數(shù)加起來得到的一個和數(shù)，本題要證明的是：兩個這樣的數(shù)的乘積一定還可以拆成兩個自然數(shù)的平方和的形式，即，其中，．【證明】設(shè)；，，，，，則，因為，，所以．例2．設(shè)，求證：，．【證明】因為，且，故．另外，假設(shè)，則存在，，使，即．由于與具有相同的奇偶性，所以左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或的倍數(shù)，另一方面，右邊只能是被除余的數(shù)，故不能成立．由此，．例3．已知二次函數(shù)，若方程無實根，求證：方程也無實根．【證明】已知，方程，即無實根，仍是二次函數(shù)，仍是二次方程，它無實根即．若，則函數(shù)的圖象在軸上方，所以，即恒成立，即對任意實數(shù)恒成立，所以對有恒成立，所以無實根．若，函數(shù)的圖象在軸下方，所以，即恒成立，即對任意實數(shù)，恒成立，所以對實數(shù)有恒成立，所以無實根，綜上可知，當無實根時，方程也無實根．例4．對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”，若，則稱為的“穩(wěn)定點"．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和．若，且集合，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，，則集合，滿足題設(shè)．（2）當時，因為集合，所以方程有解，得．集合．因為，所以方程無解或與同解．由，得．由解得．綜上得為所求．【點評】本題借用“不動點”和“穩(wěn)定點”這兩個概念來描述方程的解集問題，關(guān)鍵是對進行因式分解，由于不一定就是二次函數(shù)，所以要考慮是否等于．鞏固練習(xí)一、單選題 1．【答案】D 【解析】由條件知，，，． 所以的非空真子集有（個）． 2．【答案】C 【解析】若存在集合使得，，則可以推出；若，由韋恩圖可知，一定存在，滿足，，故“存在集合使得，”是“”的充要條件． 3．【答案】D 【解析】根據(jù)題中保序同構(gòu)的定義易知選D． 4．【答案】63 【解析】從集合的性質(zhì)可得，必然是六個集合，，，，，中某幾個的并集，因此符合要求的共有（個）． 5．【答案】C 【解析】用表示集的元素個數(shù)，設(shè)，由，得， 于是，，； 從而． 6．【答案】C 【解析】由，， 得，， 又，所以有或，即或． 7．【答案】D 【解析】因為有兩個實根，， 故等價于且，即且， 解之得．二、多選題8.，集合，若，分別為集合，的元素個數(shù)，則下列結(jié)論可能的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】ABC①當，；②當，.i若；ii若；③當，，；④當，，；⑤當，.i若，則；ii若，則；⑥當，則.i若，則；ii若，則或，或；iii若，則，；⑦當，則.i若，則，；ii若，則，；iii若，則，；⑧當，則.i若，則或，或；ii若，則，；iii若，則，；iv若，則，；v若，則，.綜上，當或或時，且；當或或時，且；當或或或時，且；當或或時，且；當或或時，且；當或時，且；故選：ABC9.對于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集”，則下列說法正確的是（

）A．不是“可分集”B．集合中元素個數(shù)最少為7個C．若集合是“可分集”，則集合中元素全為奇數(shù)D．若集合是“可分集”，則集合中元素個數(shù)為奇數(shù)【答案】ABD根據(jù)“可分集”性質(zhì)可知，當集合為時：去掉元素3，則不可拆分成符合題意的可分集，故A錯誤.設(shè)集合所有元素之和為M.由題意可知，均為偶數(shù)，因此同為奇數(shù)或同為偶數(shù).(Ⅰ)當M為奇數(shù)時，則也均為奇數(shù)，由于，所以n為奇數(shù).(Ⅱ)當M為偶數(shù)時，則也均為偶數(shù)，此時可設(shè)，因為為“可分集”，所以也為“可分集”.重復(fù)上述有限次操作后，便可得到一個各元素均為奇數(shù)的“可分集”，且對應(yīng)新集合之和也為奇數(shù)，由(Ⅰ)可知此時n也為奇數(shù).綜上所述，集合A中元素個數(shù)為奇數(shù).故C錯D對.由上述分析可知集合中元素個數(shù)為奇數(shù)，不妨假設(shè)：當時，顯然任意集合都不是“可分集”;當時，設(shè)集合，其中，將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有或;將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有或由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾.因此當時，不存在“可分集”；當時，設(shè)集合，去掉元素1，；去掉元素3，去掉元素5，；去掉元素7，去掉元素9，；去掉元素11，去掉元素13，，所以集合是“可分集”.因此集合A中元素個數(shù)n的最小值是7，故B正確.故選：ABD10.設(shè)集合，則對任意的整數(shù)，形如的數(shù)中，是集合中的元素的有（）A． B． C． D．【答案】ABD∵，∴.∵，∴.∵，∴.若，則存在使得，則和的奇偶性相同.若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)，不成立；若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.故選ABD.三、填空題 11.【答案】 【解析】由題意知，方程組有整數(shù)解，． 顯然，，從而． 消去，可得，， 即，由于是負整數(shù)，所以只能等于． 當時，，所以． 12.【答案】46 【解析】中恰有2個不同數(shù)字時，能組成（個）不同的數(shù)； 中恰有3個不同數(shù)字時，能組成（