數(shù)值分析歷屆考題

03-04學(xué)年秋季學(xué)期用迭代法求解非線性方程時(shí)，可以用二分法來(lái)確定初值。把以下二階常微分方程的初值問(wèn)題化為一階常微分方程組，并寫出求解該方程的改良Euler方法。答：令 那么，其中。 所以用改良的Euler方法表示為：，，，，?！?0分〕給出數(shù)據(jù)表x012f(x)212f’(x)-1求一個(gè)滿足插值條件的三次插值多項(xiàng)式，并寫出余項(xiàng)公式。解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商102211-132211由牛頓插值公式： 令，其中A是待定常數(shù)，那么 ，由條件，代入可得： ； 所以。 其插值余項(xiàng)為，其中?！?0分〕給出數(shù)據(jù)表x0.10.20.40.5y10.80240.61740.53023 用最小二乘法求擬合曲線〔保存3位小數(shù)〕。 解：對(duì)于曲線，令，，得。 把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)〔取3位有效數(shù)字〕：t=1/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00 對(duì)于，其法方程組為： ；其中：，，，數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為?！?5分〕確定以下求積公式的系數(shù)，，，使公式成為Guass型求積公式。解：通過(guò)待定系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，有 〔1〕當(dāng)時(shí)，有 〔2〕當(dāng)時(shí)，有 〔3〕由此得到一個(gè)關(guān)于未知數(shù)，，的線性方程組：；解得。〔20分〕證明：對(duì)任意參數(shù)t〔〕以下求解常微分方程初值問(wèn)題的算法，其局部截?cái)嗾`差都是c：。證：令， 那么〔1〕 對(duì)作泰勒展開得： 。代入到〔1〕式中：由于 在的條件下。 即對(duì)任意參數(shù)t，上述求解微分方程初值問(wèn)題的算法其局部截?cái)嗾`差都是。證明：以下求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法，其局部截?cái)嗾`差為。證： 在的條件下將上述兩式代入中，可得：由于在的條件下。所以上述求解微分方程初值問(wèn)題的算法其局部截?cái)嗾`差都是。05-06學(xué)年秋季學(xué)期簡(jiǎn)答題〔每題4分，共20分〕x=0.06020，y=0.0418按四舍五入得到，那么x+y，xy的絕對(duì)相對(duì)誤差限，有效數(shù)字各是。答：，；，所以x+y三位有效，；，所以x/y三位有效，給三個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，，，及相應(yīng)函數(shù)值，試導(dǎo)出二階數(shù)值導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式。答：以這三個(gè)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的根本插值多項(xiàng)式為： ，，；求二階導(dǎo)得：，；設(shè)，i=0，1，2。那么。用數(shù)值方法求解常微分方程時(shí)，怎樣選擇適宜的步長(zhǎng)。答：先選取一個(gè)步長(zhǎng)h，計(jì)算和，如果，那么將步長(zhǎng)逐次減半，直到為止。如果對(duì)于初始步長(zhǎng)h，就有，那么嘗試將步長(zhǎng)逐次加倍，知道滿足的最大步長(zhǎng)?！?6分〕給出數(shù)據(jù)表x123f(x)2412f’(x)3求一個(gè)3次插值多項(xiàng)式；并證明其余項(xiàng)公式為解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商1122242331283由牛頓插值公式： 令，其中A是待定常數(shù)，那么 ，由條件，代入可得： ； 所以。 由插值條件可知，是R(x)的二重零點(diǎn)，和是R(x)的單重零點(diǎn)，所以 ，其中K(x)是待定函數(shù)。 令， 當(dāng)?shù)?階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，反復(fù)用羅爾定理，可得， 所以。〔16分〕給出一組數(shù)據(jù)X1.001.251.501.752.00Y8.467.456.535.795.10用最小二乘法求擬合曲線。解：對(duì)于曲線，兩邊取對(duì)數(shù)得： 令，，，那么可得到： 把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)〔取3位有效數(shù)字〕：t=1/x0.5000.5710.6670.8001.00z=lny1.631.761.882.012.14 對(duì)于，其法方程組為： ；其中：，，，數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。。所以擬合曲線為?！?6分〕用龍貝格方法求以下積分，要求5位有效數(shù)字。。解：； ；； ；； ?！?6分〕對(duì)于非線性方程f(x)=0，求證：改良的牛頓迭代格式：，k=0，1，…在單根附近是至少三階收斂的。并判別該方法對(duì)重根是幾階收斂。解：〔1〕在單根的情況下，設(shè)是的單重根。 ， 所以是的二重零點(diǎn)，，即該迭代格式是三階收斂的。 〔2〕在重根的情況下，設(shè)是的m重根?！瞞>1〕 那么，且，，，同理：這時(shí)： 由于m為大于1的整數(shù)，所以顯然，所以在重根情況下題設(shè)迭代法線性收斂。06-07學(xué)年冬季學(xué)期插值型數(shù)值積分方法的根本原理是什么，其截?cái)嗾`差是什么。答：根本原理：，其中是的n次插值多項(xiàng)式。截?cái)嗾`差：寫出求解非線性方程組，i=1,2,…,n一般迭代法的迭代格式和收斂條件。當(dāng)，時(shí)收斂。把以下二階常微分方程的初值問(wèn)題化為一階常微分方程組的初值問(wèn)題，并寫出數(shù)值求解的歐拉格式。答：令 那么，其中。 所以用歐拉形式表示為：，i=0,1,2,…,n-1?！?6分〕給出一組數(shù)據(jù)x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46 用最小二乘法求擬合曲線。解：對(duì)于曲線，兩邊取對(duì)數(shù)得：令，，那么可得到： 把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)〔取3位有效數(shù)字〕：x1.001.251.501.752.00z=lny1.631.761.882.012.14 對(duì)于，其法方程組為： ；其中：，，，數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。。所以擬合曲線為?！?6分〕用任意一種方法求以下積分，要求5位有效數(shù)字。