第07章 一階電路的時域分析

動態(tài)電路的方程及其初始條件7.1一階電路的階躍響應(yīng)7.7一階電路的零輸入響應(yīng)7.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.3一階電路的全響應(yīng)7.4首頁本章內(nèi)容第7章一階電路的時域分析一階的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的概念。一階電路的時間常數(shù)。重點1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；返回3.三要素法。含有動態(tài)元件(電容,電感)的電路稱動態(tài)電路。1.動態(tài)電路7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件當(dāng)動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。下頁上頁特點返回例0ti過渡期為零電阻電路下頁上頁+-usR1R2（t=0）i返回k接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)：i=0,uC=Us

k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：i=0,uC=0電容電路下頁上頁k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-返回下頁上頁k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過渡期返回i=0,uC=0i=0,uC=UsuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通電源后很長時間，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路：k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電感電路下頁上頁k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→

)+–uLUsRi+-前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?uL有一過渡期返回下頁上頁

(t→

)+–uLUsRi+-k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：uL=0,i=Us/Rk斷開瞬間i=0,uL=

工程實際中在切斷電感電路時會出現(xiàn)過電壓現(xiàn)象。注意k

(t→

)+–uLUsRi+-返回電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化下頁上頁返回t=0時刻換路t=0－

換路前一瞬間

t=0＋

換路后一瞬間0f(t)0－0＋t下頁上頁返回過渡過程產(chǎn)生的原因電路內(nèi)部含有儲能元件L、C，電路在換路時能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。應(yīng)用KVL和電容的VCR得：2.動態(tài)電路的方程下頁上頁

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC電路返回應(yīng)用KVL和電感的VCR得：下頁上頁

(t>0)+–uLUsRi+-RL電路返回有源電阻電路一個動態(tài)元件一階電路下頁上頁結(jié)論含有一個動態(tài)元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。返回二階電路下頁上頁

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC電路應(yīng)用KVL和元件的VCR得：含有二個動態(tài)元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。返回一階電路一階電路中只有一個動態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；動態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動態(tài)元件的個數(shù)。二階電路二階電路中有二個動態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。下頁上頁結(jié)論返回高階電路電路中有多個動態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。

初始條件為t=0＋時uc

，iL

及其n-1階以下導(dǎo)數(shù)的值。在動態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。下頁上頁返回3.電路的初始條件q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q

=CuC電荷守恒下頁上頁結(jié)論返回電容的初始條件

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁鏈?zhǔn)睾銚Q路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。下頁上頁結(jié)論返回電感的初始條件iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路定律電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。換路定律反映了能量不能躍變。下頁上頁注意返回電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－電路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效電路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)電容開路下頁上頁+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路+-10ViiC10k電容用電壓源替代注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時閉合開關(guān)k,求

uL(0+)先求應(yīng)用換路定律:電感用電流源替代解電感短路下頁上頁iL+uL-L10VS1

4

+-iL10V1

4

+-由0+等效電路求

uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-注意返回求初始值的步驟:1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。下頁上頁小結(jié)返回iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－電路得：下頁上頁由0+電路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－電路uL+–iCRiSRiS+–返回例4求k閉合瞬間各支路電流和電感電壓解下頁上頁由0－電路得：由0+電路得：iL+uL-LS2

+-48V3

2

CiL2

+-48V3

2

+－uC返回iL+20V-LS10+uC10

10

C－12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL求k閉合瞬間流過它的電流值解確定0－值給出0＋等效電路下頁上頁例5iL+20V-10+uC10

10

－iL+20V-LS10+uC10

10

C－返回1A10V+uL－iC+20V-10+10

10

－7.2一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)下頁上頁返回

圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時間的變化。例iS(t=0)+–uRC+–uCR解下頁上頁返回iS(t=0)+–uRC+–uCRuC

(0+)=uC(0－)=U0圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時間的變化。例解特征根方程：通解：代入初始條件uC

(0+)=uC(0－)=U0下頁上頁返回得：iS(t=0)+–uRC+–uCR或tU0uC0令

=RC,稱

為一階電路的時間常數(shù)電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)I0ti0躍變響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān);下頁上頁表明返回時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短

=RC

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短電壓初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時間長U0tuc0

小

大C

大（R一定）W=Cu2/2

儲能大物理含義下頁上頁返回a.

:電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。工程上認為,經(jīng)過3

－5

,過渡過程結(jié)束。U00.368U00.135U00.05U00.018U0

0.007U0t0

2

3

4

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-4

U0e

-5

下頁上頁注意返回

＝

t2－t1

t1時刻曲線的斜率等于U0tuc0

t1t2次切距的長度下頁上頁返回b.時間常數(shù)

的幾何意義：能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)

uC(0+)=U0電容的初始儲能電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁uCR+－C返回例1圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。解這是一個求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：+uC4

5F－i1t>0等效電路下頁上頁i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回+uC4

5F－i1分流得：下頁上頁i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回下頁上頁例2求:(1)圖示電路k閉合后各元件的電壓和電流隨時間變化的規(guī)律，(2）電容的初始儲能和最終時刻的儲能及電阻的耗能。解這是一個求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：u

(0+)=u(0－)=－20V返回u1（0-）=

4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=

24V250k+下頁上頁返回u4Fk+-＿i－20V250k＋下頁上頁初始儲能最終儲能電阻耗能返回等效電容的初始儲能2.

RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A(chǔ)=iL(0+)=I0t>0下頁上頁iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；下頁上頁表明-RI0uLt0iL+–uLR返回響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān);下頁上頁令

稱為一階RL電路時間常數(shù)

=L/R時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過程消耗能量小放電慢，

大

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短物理含義電流初值iL(0)一定：返回能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設(shè)

iL(0+)=I0電感的初始儲能：電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁iL+–uLR返回iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V損壞。例1t=0時,打開開關(guān)S，求uv。電壓表量程：50V解下頁上頁iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViLLR10V+-返回例2t=0時,開關(guān)S由1→2，求電感電壓和電流及開關(guān)兩端電壓u12。解下頁上頁iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回iLt=0-+–24V3

4

6

2

1下頁上頁i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回t>=0+3

4

6

2

2ab一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路下頁上頁小結(jié)返回一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時間常數(shù)

同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。下頁上頁小結(jié)

=RC

=L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路返回動態(tài)元件初始能量為零，由t>0時電路中外加激勵作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。方程：7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程下頁上頁返回下頁上頁返回與輸入激勵的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解。（強制分量）變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定。（自由分量，暫態(tài)分量）的通解通解特解的特解下頁上頁返回解答形式為：非齊次方程特解齊次方程通解全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始條件uC(0+)=0定積分常數(shù)A下頁上頁從以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）暫態(tài)分量（自由分量）下頁上頁表明+返回響應(yīng)變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決定；

大，充電慢，

小充電就快。響應(yīng)與外加激勵成線性關(guān)系；能量關(guān)系電容儲存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。下頁上頁表明RC+-US返回例t=0時,開關(guān)S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容電壓和電流,(2)uC＝80V時的充電時間t。解(1)這是一個RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：(2)設(shè)經(jīng)過t1秒，uC＝80V下頁上頁500

10

F+-100VS+－uCi返回2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回例1t=0時,開關(guān)S打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：t>0下頁上頁返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0開關(guān)k打開，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：下頁上頁iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u7.4一階電路的全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應(yīng)全響應(yīng)下頁上頁iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=US+A=U0

A=U0

-US由初始值定A下頁上頁強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)返回iS(t=0)US+–uRC+–uCR下頁上頁返回2.全響應(yīng)的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)=強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰下頁上頁返回iS(t=0)US+–uRC+–uCR全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)著眼于因果關(guān)系便于疊加計算下頁上頁零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0下頁上頁返回S(t=0)USC+–RuC(0－)=U03.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：下頁上頁特解返回分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個要素的問題。用0+等效電路求解用t→

的穩(wěn)態(tài)電路求解下頁上頁直流激勵時：注意返回A例1t=0時,開關(guān)k打開，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應(yīng)問題，有：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：下頁上頁iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回全響應(yīng)：下頁上頁返回iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

穩(wěn)態(tài)分量為：瞬態(tài)分量為：例2t=0時,開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應(yīng)問題，有：下頁上頁穩(wěn)態(tài)分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

全響應(yīng)：下頁上頁返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

例3已知：t=0時合開關(guān)，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下頁上頁1A2

1

3F+-uC返回例4t=0時,開關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：下頁上頁iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回三要素法：下頁上頁0＋等效電路返回+–20V2A5

5

+–10Vi2i1iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1例5已知：t=0時開關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：下頁上頁4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回2A4

0.1F+uC－+－4

i12i12下頁上頁例6已知：t=0時開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素為：返回下頁上頁+–1H0.25F5

2

S10Vi返回已知：電感無初始儲能t=0

時合S1

,t=0.2s時合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解下頁上頁例7返回i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-1Ht>0.2s下頁上頁i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回(0<t

0.2s)(t

0.2s)下頁上頁it(s)0.25(A)1.2620返回i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-7.7一階電路的階躍響應(yīng)1.單位階躍函數(shù)定義t

(t)01單位階躍函數(shù)的延遲下頁上頁返回t

(t-t0)t001t=0合閘

i(t)=Is在電路中模擬開關(guān)的動