2023-2024學(xué)年四川省成都市石室天府中學(xué)高一（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市石室天府中學(xué)高一（上）入學(xué)數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學(xué)生B.2020年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)D.小于Tr的正整數(shù)

2

2.已知集合A={x?x—%—6≤0},B={x?x-l<0}f則4UB=()

A.（—8,3]B.（-8,2]C.(-8,1)D.62,1)

3.≤3"是ux2-7x+12≥0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.“不等式/-x+m>0在R上恒成立”的充要條件是（）

A.m>7B.m<?C.m<1D.m>1

44

5.已知命題p：V%∈R,%2-%÷1≥0,下列-IP形式正確的是()

A.->p：3x0∈/?,使得育-X0+1≥0

B.-ip：3x0∈R,使得詔—x0+1<O

C.-ip：YXER,x2—%+1<O

D.-ip：Vκ∈R,x2—%+1≤O

6.已知/+4y2=4,則以+a的最小值為()

?Q

A.—B.9C.1D.—

7.若關(guān)于％的一元二次不等式ɑ/+2%+1>O的解集為R,則實(shí)數(shù)α的取值范圍是()

A.(ll+∞)B.(0,1)C.(-∞,1)D.(—8,0)U(0,1)

8.二次函數(shù)y=%2+（α-l）x+l（α>0）只有一個(gè)零點(diǎn)，則不等式。產(chǎn)-8%-α≥O的解集

為（）

A.{x∣—?<%<3]B.(x∣-?≤%≤3}

C.{x∣x<-?,或X>3}D.{x?x≤-?,或%≥3)

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.若x>y>O,則下列不等式成立的是（）

A.X2>y2B.-X>-yC.?<?D.-<岑|

，j×yyy+ι

10.下列命題中，是全稱量詞命題的有（）

A.至少有一個(gè)X使/+2x+1=O成立

B.對(duì)任意的%都有/+2x+1=O成立

C.對(duì)任意的X都有好+2x+1=0不成立

D.矩形的對(duì)角線垂直平分

11.如圖，正方形ABCC的邊長為4,P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線A→

O→CτBτ4設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為X,以點(diǎn)4、P、。為頂點(diǎn)的三角形的

面積是y?則下列圖象不能大致反映y與久的函數(shù)關(guān)系的是（）

12.已知關(guān)于X的不等式Q≤'%2-3%+4≤b,下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)Q<b<1時(shí)，不等式Q≤^x2-3x+4<b的解集為0

4

B.當(dāng)α=l,b=4時(shí)，不等式Q≤—3%+4≤b的解集為{x∣0≤%≤4}

C.不等式α≤∣X2-3X+4<b的解集恰好為{x∣α≤x≤b）,那么b=1

D.不等式α≤IX2-3x+4≤b的解集恰好為{x∣α≤x≤b）,那么b—a-4

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知集合A={τn+l,（τn-l）2},若1e4則集合4的子集有個(gè).

14.設(shè)全集U=R,集合a={x∣y=√9-/},集合一={y∣y=√9-/},貝IJ（Cf√1）n

B=

15.記函數(shù)y在X處的值為/(x)(如函數(shù)y=x?也可記為人均=當(dāng)％=ι時(shí)的函數(shù)值可記為

/(1)=1).已知f(%)=畝，若a>b>C且α+b+c=O,b≠0,則/(α)+f(b)+f(c)的所有

可能值為.

16.如圖是一個(gè)數(shù)表，第1行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把1234567..

35791113...

每行相鄰的兩個(gè)數(shù)的和寫在這兩數(shù)正中間的下方，得到下一行，數(shù)κ19lrλi

表從上到下與從左到右均為無限項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)表中的第11行第7個(gè)2028濾H

486-180?..

數(shù)為(用具體數(shù)字作答).

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知集合4={x?x2—3x—18≤0},B={x∣2m—3≤%≤m+2}.

(1)當(dāng)m=0時(shí)，求An(CR8)：

(2)若Bn(CR4)=0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知集合4={x∣α-2<%<2a+1],B={x∣<0}.

(1)若a=1,求4U8；

(2)若XeA是XeB的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖，拋物線丫=-//+?》+1與曠軸交于點(diǎn)4過點(diǎn)4的直線與拋物線交于另一點(diǎn)8,過點(diǎn)

B作BClX軸，垂足為點(diǎn)C(3,0).

(1)求直線4B的函數(shù)關(guān)系式；

(2)動(dòng)點(diǎn)P在線段。。上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PNLX軸，交直

線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長度為S個(gè)單位，求S與t的函數(shù)

關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

(3)設(shè)在(2)的條件下(不考慮點(diǎn)P與。，點(diǎn)C重合的情況)，連接CM,BN,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊

形BCMN為平行四邊形？問對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN能否為菱形？請(qǐng)說明理由.

y

20.(本小題12.0分)

已知某工廠生產(chǎn)機(jī)器設(shè)備的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)1臺(tái)還需另投入20萬元，設(shè)該公司

一年內(nèi)共生產(chǎn)該機(jī)器設(shè)備X臺(tái)并全部銷售完，每臺(tái)機(jī)器設(shè)備銷售的收入為R(X)萬元，且R(X)=

40÷52θ,0<x≤30

280^÷1000q-

IX

Q)求年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量M臺(tái))的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該工廠生產(chǎn)所獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

21.(本小題12.0分)

當(dāng)t≤x≤t+l時(shí)，設(shè)函數(shù)/(x)=gχ2-X-|的最小值為g(t),試求g(t)關(guān)于t的表達(dá)式.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=2x+?(x>0).

(1)列表、描點(diǎn)、連線，畫出該函數(shù)的簡圖；

在函數(shù)圖象上取一個(gè)定點(diǎn)40,/弓))，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)3弓+0/弓+。)，記直線AB的坡度為g(t),

g(t)=解「)二機(jī)試將g(t)化簡為α+島(α,b,c,d均為常數(shù))的形式;

(]+t)-2CX

(2)當(dāng)t趨近于0時(shí)，g(t)是否趨近于某常數(shù)k?若是，k為多少？試說明理由；

(3)在函數(shù)圖象上取一個(gè)定點(diǎn)A(α∕(α)),α為正的常數(shù)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)B(α+t,f(α+t)),設(shè)直線

4B的坡度為g(t),請(qǐng)直接指出，當(dāng)t趨近于0時(shí)，g(t)是否趨近于某常數(shù).

坡度定義：若Z(Xl,yι),B{x2,y2),則直線,48,的坡度為經(jīng)孑.

Λ1人2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4“上課遲到的學(xué)生”屬于確定的概念，故能構(gòu)成集合；

對(duì)于8,“2020年高考數(shù)學(xué)難題”界定不明確，不能構(gòu)成集合；

對(duì)于C,任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，故能構(gòu)成集合；

對(duì)于D,小于兀的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.

故選:B.

根據(jù)集合元素的“確定性”，可知B項(xiàng)中的對(duì)象不符合集合的定義.而其它各項(xiàng)都有明確的定義，

符合集合元素的特征，由此可得正確選項(xiàng).

本題給出幾組對(duì)象，要我們找出不能構(gòu)成集合的對(duì)象，著重考查了集合的定義和集合元素的性質(zhì)

等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：集合A-{x∣x2-X-6≤0}=(x∣-2≤X<3),

B={x?x—1<0}={x∣x<1},

■■A(JB={x?x≤3}=(―∞,3].

故選:A.

求出集合A,B,由此能求出力UB.

本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：-7χ+12≥0,解得％≤3或X≥4,

則"x≤3"是“/一7x+12≥0”的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎(chǔ).

4.【答案】A

【解析】解：由不等式/-*+m>O在R上恒成立，可得△=(一1)2一4X1Xτn<0,

1

解得m>-

4

故Tn>；是“不等式%2一%+m>0在R上恒成立”的充分必要條件.

故選：A.

由不等式χ2-χ+7∏>o在R上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得△<(),可解得Tn的范圍.

本題為充要條件的判斷，正確解出Tn的范圍是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查命題的否定，全稱量詞命題與存在量詞命題，注意量詞的變換.

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，寫出結(jié)果即可.

【解答】

解：???全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

2

命題p：Vx∈R>X—X+1≥0,則-?p:3x0eR,使得x1—Λ?+1<0,

故選：B.

6.【答案】D

【解析】解：???∕+4y2=4,

????+^=J?+?)(χ2+4y2)=∣+?+?≥∣+2j?×?=r

當(dāng)且僅當(dāng)2y2=/時(shí)，取得最小值*

故選：D.

利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：關(guān)于X的一元二次不等式ɑ/+2χ+1>0的解集為R,

Co-≡pC-L<0>

解得Q>1,

所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(1,+8).

故選：A.

根據(jù)判別式列出不等式求得α的取值范圍.

本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：二次函數(shù)y=%2+(α-1)%+I(Q>0)只有一個(gè)零點(diǎn)，

???△=(α—I)2—4=0,解得Q=3,

?,?不等式ɑ——8%—α≥0即為不等式3/—8%—3≥0,等價(jià)于(3%+1)(%—3)≥0,

解得X≤一3或X≥3,

故不等式的解集為｛x∣X≤或久≥3),

故選：D.

先根據(jù)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求出α=3,再解一元二次不等式即可.

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的問題和一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】AC

22

【解析】解：對(duì)于4：當(dāng)x>y>0時(shí)，X>yf4成立；

對(duì)于B：當(dāng)x>y>O時(shí)，—％<—y,B不成立；

對(duì)于C：當(dāng)％>y>0時(shí)，?>?,即C成立；

^?y^,yXy

“丁Xx+1χ(y+l)-y(χ+l)x-y八?xχ+l、X.χ+l

對(duì)于0:-=工會(huì)等二=,二、,?.?X>y>0,.?.X-y>0,->n0,H即Π->—,

yy+ιy(y+i)y(y+i)Jzyy+ιyy+ι

。不成立.

故選:AC.

利用不等式的性質(zhì)判斷4BC,利用作差法判斷以

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)"，故該命題為特稱命題，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于8C,命題中含有全稱量詞"任意"，故是全稱量詞命題，故BC正確；

對(duì)于D,命題中的沒有全稱量詞，但是隱含意思為：所有矩形的對(duì)角線垂直平分，故該命題為全

稱量詞命題，所以。正確；

故選：BCD.

根據(jù)全稱量詞命題的定義進(jìn)行判斷即可.

本題考查了全稱量詞命題和特稱量詞命題的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

IL【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)4向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，4、D、P三點(diǎn)共線，不能形成三角形，

當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)。向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，P到ZD的距離為X—4,則y=gX4XO—4)=2(x—4),

當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，P到AD的距離為4,則y=^x4x4=8,為定值，

當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，P到力。的距離4一(％-12)=16—X,則y=x4X(16—X)=

2(16-X),

則y與X的函數(shù)關(guān)系與選項(xiàng)B對(duì)應(yīng)，故不能大致反映y與％的函數(shù)關(guān)系的是4、C、D.

故選:ACD.

根據(jù)題意，分4種情況討論y與X的函數(shù)關(guān)系，可得y與X的大致圖象，由此分析選項(xiàng)，可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查利用二次函數(shù)的圖象解對(duì)應(yīng)不等式的取值范圍和最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，是中

檔題.

A：分析函數(shù)/"(x)=3x+4的最值與α,b進(jìn)行比較即可；

B-.結(jié)合第一問只需解不等式,χ2-3x+4≤4即可；

C：利用f(x)=I(X-2)2+1的圖象與對(duì)應(yīng)不等式的關(guān)系解答即可；

D-.利用C結(jié)合對(duì)稱性求解即可.

【解答】

32

=X

解：設(shè)f(x)4--3x+4,X&R,則/'(%)=](x-2)2+1；

對(duì)于4,/(x)≥1,

所以當(dāng)α<b<l時(shí)，不等式Q≤一3%+4≤b的解集為0,所以A正確；

4

—?2—3工+4>1

□，

浮-3%+4≤4

32

-!

解此不等式組得O≤x≤4,4-3x+4≤b的解集為{x∣0≤X≤4},選項(xiàng)B正確;

由f(x)的圖象知，若不等式的解集為連續(xù)不間斷區(qū)間，則α≤l,且b>L

若解集為[α,b],

則f(α)=f(b)=b,且b>2,

因?yàn)?fx)=.(x-2)2+l,

3

22+1

--=

4?(

解得b=4或b=p

因?yàn)閎>2,所以b=4,

所以α=0,所以b—α=4,

所以C錯(cuò)誤、C正確.

故選：ABD.

13.【答案】4

【解析】

【分析】

根據(jù)164即可得出771+1=1或(巾一1)2=1,然后解出m,求出集合4,然后即可得出4的子集

個(gè)數(shù).

本題考查了元素與集合的關(guān)系，集合中元素的互異性，集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：?.?1EA,

.?.m+1=1或(m—I)2=1,

：.m=O或m=2,

nι=0時(shí)，A={l,l},不滿足集合元素的互異性，應(yīng)舍去；

m=2時(shí)，A=[3,1},集合4的子集有：22=4個(gè).

故答案為：4.

14.【答案】(3,+8)

【解析】解：’.■集合4={x?y=V9—x2}=[-3,3]>集合B={y?y=√9—x2}=[0,+∞)>

?,?CuA—(—8,-3)U(3,+∞),

???(CUa)nB=(3,+8),

故答案為：(3,+8).

先求出4B,再結(jié)合補(bǔ)集，交集的運(yùn)算求解即可.

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

15.【答案】1或一1

【解析】解：ɑ>b>c且α+b+c=0,b≠0,

則α>0,b<0,c<0或α>0,b>0,c<0,

當(dāng)α>0,b<0,c<0時(shí)，

/(X)=向，

則/(α)+f(b)+f(C)=擊+自+向=I-I-I=-1,

當(dāng)α>0,b>O,CVO時(shí),

〃)=號(hào)

則/⑷+/(b)+/?=方+高+畝=1+1-1=1,

綜上所述，/(ɑ)+f(b)+f(c)的所有可能值為1或-1.

故答案為：1或—1.

根據(jù)已知條件，推得α>0,b<0,。<0或。>0,fe>0,c<0,再分類討論，即可求解.

本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】12288

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)第n(∏≥2)行的首項(xiàng)為斯，

n

c?=3=3X2°,α3=8=4×2?...?歸納可得：α?=(n+l)2-?,所以α][=12x29,

n110

再設(shè)第n行的公差為b，瓦=1=2。，b2=2,b=4=2?,歸納可得br,=2~,所以瓦1=2,

故第11行的數(shù)組成的是一個(gè)首項(xiàng)為a11=12X29,公差為打1=21°的等差數(shù)列，

所以第11行的第7個(gè)數(shù)為12X29+(7-1)×210=24×29=12288；

故答案為：12288.

根據(jù)題意，分析數(shù)表的變化規(guī)律,可得第11行的數(shù)組成的是一個(gè)首項(xiàng)為a11=12X2\公差為比I=

21°的等差數(shù)列，由此計(jì)算可得答案.

本題考查歸納推理的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：CIM={x∣-3≤x≤6},m=0時(shí)，B=1x∣-3≤x<2),

：.CRB={x?x<-3或X>2],A∩(CRB)={x∣2<%≤6}；

(2)CR4={x∣x<-3或X>6},且B∩(CRA)=0,

:.(T)B=。時(shí)，2m—3>m+2,解得m>5；

m≤5

②8H0時(shí)，`2τn-3≥-3,解得0≤τn≤4,

.m+2≤6

綜上得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m∣0≤m≤4或τn>5}.

【解析】(1)可求出集合4B,然后進(jìn)行交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可；

(2)可求出CRA={x∣x<-3或%>6},根據(jù)Bn(CRA)=0即可討論B是否為空集：B=0時(shí)，2τn-

,2m-3≤m+2

3>m+2;B≠0時(shí)，2m-3≥-3,然后解出Tn的范圍即可.

.τn+2≤6

本題考查了描述法的定義，一元二次不等式的解法，交集和補(bǔ)集的定義及運(yùn)算，空集的定義，考

查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)不等式/<0可化為Xa-7)<0,解得0<x<7,

???B=(x∣0<%<7},

當(dāng)α=1時(shí)，i4={x∣—1<X<3},

??A?JB={x?-1<X<7].

(2)集合4={x?a—2<X<2α+1},B={x∣0<%<7],

?.?X∈A是％∈B的充分條件，??.AQB9

①當(dāng)4=0時(shí)，α-2≥2α+l,解得ɑ≤-3,

②當(dāng)4≠0時(shí)，a>-37,解得2≤α≤3,

綜上所述，實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍為(-8,-3]U[2,3].

【解析】(1)先求出集合4B,再利用集合的并集運(yùn)算求解即可.

(2)由題意可知AUB,分A=0和4力。兩種情況討論，分別求出a的取值范圍，最后取并集即可.

本題主要考查了集合間的基本運(yùn)算，以及充分條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：⑴拋物線y=-"+六+1與y軸交于點(diǎn)A,叫4(0,1),

又因?yàn)锽CJ.X軸，垂足為點(diǎn)C(3,0),

52U

-X3+

所以YB=44

設(shè)直線48的解析式為y=kx+b,

則I(l1=3bk+6,解得方=1

7'

所以直線AB的解析式為y=∣x+l;

(2)點(diǎn)P從。點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)共要3秒,

所以O(shè)≤t≤3,

t秒時(shí)，點(diǎn)P(t,O),所以IPMl=gt+1,

INPl=-濘5r+1m7+ι,

S—∣M∕V∣-INPl-IMPl——t2+??t+1-(?t+1)——t2+亨t(0≤t≤3)；

(3)若四邊形BCMN為平行四邊形，則有8C=MN,

此時(shí)有一#+安=|,解得—I,t2=2,

所以當(dāng)t=l或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形；

①當(dāng)t=1時(shí)，IMPl=I,∣NP∣=4,故IMNI=INPI-IMPI=|,

又在Rt?MPe中，

?MC?=√?MP?2+?PC?2=|,

故IMNl=?MC?,此時(shí)四邊形BCMN為菱形；

②當(dāng)t=2時(shí)，MP=2,NPW故IMNI=INPl-IMPl=|,

又在RtZkMPC中，

?MC?=√?MP?2+∣PC∣2=√^5,故IMNl≠?MC?,此時(shí)四邊形BCMN不是菱形.

所以當(dāng)t=或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形；t=l時(shí)，平行四邊形BCMN為菱形.

【解析】(1)由條件可得4(0,1)，B(3,∣),可求得直線AB的解析式；

(2)由t秒時(shí)，點(diǎn)P(t,0),所以IPMl=I+1,?NP?=-∣t2+^t+l,再根據(jù)S=IMNl=∣NP∣-

IMPl得出答案；

(3)若四邊形BCMN為平行四邊形，則有BC=MN,此時(shí)，有一*+%=|,解得匕=l,t2=2,

再分別計(jì)算能否為菱形.

本題主要考查求函數(shù)解析式,二次函數(shù)的應(yīng)用以及特殊四邊形的性質(zhì)和判定，考查數(shù)形結(jié)合思想，

屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)當(dāng)0<%≤30時(shí)，y=XR(X)-(20X+200)=2Ox+600；

當(dāng)X>30時(shí)，y=xΛ(%)-(20x+200)=-20x+280。+800.

_120X+600,0<X≤30

"yl-20x+280√T+800,x>30：

(2)①當(dāng)0<X≤30時(shí)，y=20x+600在(0,30］上為增函數(shù)，

二當(dāng)X=30時(shí)，ymax=1200(萬元)；

②當(dāng)X>30時(shí)，y=-20x+280。+800,

令Q=t(t>√^30),y=