2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.過(guò)A(TO),8(1,2)的直線的斜率為.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)斜率公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得.A=音可=1

故L

2.橢圓$+看?=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

169

【正確答案】8

【分析】根據(jù)橢圓方程分析運(yùn)算.

【詳解】由題意可得：α=4,

所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)2。=8.

故8.

3.拋物線V=2py的準(zhǔn)線方程為y=-2,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【正確答案】X2=Sy

【分析】根據(jù)題意求。，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得：-5=-2,貝∣Jp=4,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是V=8y.

故答案為.χ2=8y

4.函數(shù)y=e2'+∣的導(dǎo)函數(shù)為.

【正確答案】y'=2e2"∣

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：y=e",w=2x+l,

所以y'=(e")'(2x+1)'=2e2x+l.

故答案為.y'=2e2"'

5.函數(shù)V=cosx的零點(diǎn)為.

TT

【正確答案】→kπ,keZ

【分析】令CoSX=0,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案

IT

【詳解】令COSX=0,解得x=—+Z肛A∈Z.

2

TT

故一+k兀,keZ

2

6.雙曲線r經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-3,-G),B［半,后，則雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程是一

【正確答案】Y-E=I

3

【分析】設(shè)雙曲線的方程為g2+江=1,府＜0,根據(jù)題意列式求解北〃即可.

【詳解】設(shè)雙曲線的方程為皿2+〃y2=LZwlV0,

2m+3n=1［m=?

由題意可得：5C,解得1,

U3

所以雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程是Y-t=1.

3

故答案為32-《=1

3

7.已知［直線4:以+2y+3=0與直線/2：2x+ay+a+l=0平行，貝Ij"=

【正確答案】-2

【分析】由兩直線平行，可得￡=2≠J,即可求解.

【詳解】由“〃2得，W=2≠N7,則。=一2,

故-2

8.己知/(X)=：,則曲線y=∕(χ)在χ=l處的切線方程為.

【正確答案】χ+y-2=0

【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，再結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閒'(χ)=-??,

X

所以1(I)=τ,

又因?yàn)?⑴=1,

所以切線方程為V-I=-(X-I),即.χ+y-2=0

故答案為.χ+y-2=0

9.方程辰?+y2=2表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為

【正確答案】(o,ι)

【分析】根據(jù)橢圓方程分析運(yùn)算.

片+《-1

【詳解】由題意可得ZHO且E萬(wàn)一，

k

2

若表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則彳＞2,解得

k

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍為(0,1).

故答案為.(0,1)

10.已知雙曲線C：￡-X=l,過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)尸作兩條漸近線的垂線，垂足分別

54

為M,N,則IPM+∣∕w∣的最小值為.

【正確答案】勺足住亞

33

【分析】先由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得其漸近線方程，再利用點(diǎn)線距離公式及雙曲線的幾何性

質(zhì)求得IPMI+1PM的范圍，從而得解.

【詳解】因?yàn)殡p曲線u//l,所以雙曲線C的漸近線方程為理回S

設(shè)P(m,w)是雙曲線上任意一點(diǎn)，則MN6,川≥5,

22

所以竺_L=1,貝（J4∕7t2-Srr=20,4TH2-20=5√,

54

∣2∕H+Λ∕5∕!∣∣2WJ-'T5n∣

由點(diǎn)線距離公式得∣∣=^∣2∕M+?∕5∕2∣+∣2∕n-石"。，

IPM+∕w√4T5+1

'4+5

兩邊平方得(IPMl+∣PN∣y=/2πz÷λ∕5nj+2∣4,“2-5〃斗+（2,〃一石”）

（4m2+^?[Smn+5〃:2÷2×20+4∕Π2-4>β"m+5n2j

9、

∣（8∕√+10∕?2+4θ）=∣[8w2+2×（4m2-20）+4θ]=^-m2≥^-,

所以IPM+∣PMN楞=竽，即IPMI+1PNl的最小值為竽.

故答案為.延

3

11.若P,Q分別是拋物線χ2=y與圓(X-3)Oy2=ι上的點(diǎn)，則IPQl的最小值為.

【正確答案】√5-l∕-l+√5

【分析】設(shè)點(diǎn)P(XO,片)，圓心c(3,o),∣PQ∣的最小值即為ICpl的最小值減去圓的半徑，求

出ICPl的最小值即可得解.

【詳解】依題可設(shè)P(%,H),圓心c(3,θ),根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，

的最小值即為ICH的最小值減去半徑.

因?yàn)镮af=(XO_3)2+(X：_0)-=X；+X；_6XO+9,xeR,

設(shè)/(x)=?γ4÷x2-6x+9,

∕,(X)=4√+2X-6=2(Λ-∣)(2X2+2X+3),由于2丁+2x+3=2(x+g[+?∣>0恒成立，

所以函數(shù)/(x)在(-∞,1)上遞減，在(1,E)上遞增，即糯1="1)=5,

所以ICHmin=√5>1,即IPQl的最小值為?-1.

故石-1.

12.設(shè)函數(shù)/(x)=*3+(l+α)χ2+αr有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)為，演，且對(duì)不等式f(%)+/(&)≤0

恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【正確答案】(-8,-l]ug,2

【詳解】試題分析：因?yàn)椤唉?+∕(x2)≤。,故得不等式M+W+(l+c。儲(chǔ)+W)+α(%+%)40,

由于/<力=3工2+2(1+4)8+4,令廣(力=0得方程3犬+2(1+a)左+4=0,因

2,t、

玉÷X2=—(1+〃)

23

Δ=4(a-α+l)>0,故｛代入前面不等式,并化簡(jiǎn)得

xΛ=^

(1+〃)(2片一5〃+2)30,解不等式得α≤7或g≤α≤2,因止匕，當(dāng)α≤-1或g≤a42時(shí)，不等

式/(再)+/^/0成立,故答案為(-8,-1]=1,2.

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)；2、韋達(dá)定理及高次不等式的解法.

【思路點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、韋達(dá)定理及高次不等式的解法，屬

于難題.要解答本題首先利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)"x)的到函數(shù)，令尸(X)=O考慮判別式大于

零，根據(jù)韋達(dá)定理求出玉+々，再*2的值，代入不等式f(±)+∕(x2)≤0,得到關(guān)于。的高次不

等式，再利用“穿針引線”即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

二、單選題

13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1/)，且方向向量為(1,2)的直線方程是()

A.2x-y-l=0B.2x÷γ-3=0

C.x-2y+↑=0D.x+2y-3=0

【正確答案】A

【分析】由直線方向向量可得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.

【詳解】直線的方向向量為(1,2),，直線的斜率火=2,

???直線的方程為y—l=2(xT),即2x-y—1=0.

故選：A.

14.圓C:f+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+l=O距離為及的點(diǎn)有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【正確答案】B

【分析】求出圓心到直線的距離，再結(jié)合圖象分析可得結(jié)果.

【詳解1因?yàn)閺S+y^+2x+4y—3=O化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+1)一+(y+2廠=8,

所以圓心C(-1,-2),圓的半徑r=2夜,

1-1-2+11

又因?yàn)閳A心C到直線X+y+1=O的距離為d=J_萬(wàn)」0,

所以r—d=Λ∕2，

所以過(guò)圓心平行于直線χ+y+i=O的直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，另一條與直線尤+y+i=。的距離

為正的平行線與圓相切，只有1個(gè)交點(diǎn)，如圖所示,

所以圓C上到直線χ+y+l=O的距離為近的點(diǎn)共有3個(gè).

故選：B.

15.定義在區(qū)間-；,4上的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不IE項(xiàng)

A.函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞增B.函數(shù)〃x)在區(qū)間,別上單調(diào)遞減

C.函數(shù)“X)在X=I處取得極大值D.函數(shù)〃X)在X=O處取得極小值

【正確答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)

的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C、D的結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/S)在(0,4)上/'(X)>0,故函數(shù)在(0,4)上單調(diào)遞增，故A正確；

根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在xe(-g,O)時(shí)，/'(x)<0,

故函數(shù)F(X)在區(qū)間(-：,0)上單調(diào)遞減，故B正確；

由A的分析可知函數(shù)在(0,4)上單調(diào)遞增，故x=l不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間(-g,0)上單調(diào)遞減，在(0.4)上單調(diào)遞增，

故函數(shù)在X=O處取得極小值，故D正確，

故選：C

16.考慮這樣的等腰三角形：它的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓r：j+√=ι±,且其中恰有兩個(gè)頂

點(diǎn)為「的頂點(diǎn).這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)為()

A.8B.12C.16D.20

【正確答案】D

【分析】對(duì)橢圓頂點(diǎn)連線是等腰三角形的腰還是底，進(jìn)行討論即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為1+9=1,所以A(-3,0)'B2(OJ),

圖1

如圖1連接4員，當(dāng)A4為等腰三角形的底時(shí),

作A員的垂直平分線交橢圓于H。兩點(diǎn)，

連接QA、QB[、尸4、PB],

則此時(shí).04與、必生為等腰三角形，滿足題意;

同理當(dāng)人名、44、A圈為等腰三角形的底時(shí),

也可以各作出2個(gè)滿足題意的等腰三角形；

如圖2連接4線，當(dāng)A層為等腰三角形的腰時(shí),

以鳥(niǎo)為圓心，AJ為半徑作圓,

則圓的方程為/+3-1)2=10,

x2+(y-l)^=10x=-

聯(lián)立，解得

y=0

即圓與橢圓交于A、M、N,連接MA、MB2、NAl.NB2,

則此時(shí)MAIBrNAB2為等腰三角形，滿足題意；

同理當(dāng)兒與、A2B1,A4為等腰三角形的腰時(shí)，

也可以各作出2個(gè)滿足題意的等腰三角形；

③

如圖③，以層為圓心，B聲?為半徑作圓，

同理可以證明圓與橢圓交于四、S、T,

連接5月、SBeTBpTB2,

則此時(shí)S8∣層“鳥(niǎo)為等腰三角形，滿足題意;

如圖④，以耳為圓心，耳生為半徑作圓,

同理可以作出2個(gè)等腰三角形；

⑤因?yàn)橛捎跈E圓性質(zhì)知A4為橢圓最長(zhǎng)弦，所以它不能為等腰三角形的腰;

綜上所述滿足題意的等腰三角形的個(gè)數(shù)有20個(gè).

故選：D.

多種情況的題目需要對(duì)情況進(jìn)行詳細(xì)討論，做到不重不漏.

三、解答題

17.若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)42,-3)和5(-2,-5),且圓心C在直線x-2y-3=0上，求圓C的方程.

【正確答案】(x+l)2+(y+2)2=10

【詳解】因?yàn)轫浦悬c(diǎn)為(0,-4),所以AB中垂線方程為y+4=—2x,即2x+y+4=0,

解方程組「…7「伏得」」

∣x-2y-3≡0w[y■-2.

所以圓心C為(一1,-2).根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑片、/正，

因此，所求的圓C的方程為(x+l)2+0+2)2=10.

18.設(shè)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)戶作直線/與C交于A、B兩點(diǎn).

(1)若弦長(zhǎng)I陰=8,求直線/的方程；

(2)求證：當(dāng)直線X軸時(shí)，/08的面積最小.

【正確答案](l)χ±y-l=O

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)聯(lián)立直線與拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式可求得結(jié)果.

(2)由韋達(dá)定理及三角形面積公式可得2屈U,轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值即可.

設(shè)A(Xl,y∣),β(x2,y2),

因?yàn)橹本€/過(guò)焦點(diǎn)F(LO),

所以直線/的方程為χ=%y+l,

?x=my+\,

聯(lián)乂［2?n?-4歿-4=0,

Iv=4χ

所以y+%=4"?,Xy2=-4,

所以玉+X?=m（yi+為）+2=Anr+2,

由拋物線的定義知，∣A8∣=X∣+%+2=4M+4,

又因?yàn)楱OAM=8,

所以4>+4=8,解得："?=±1,

所以直線/的方程為?χ±y-i=o

（2）如圖所示，

證明：由(1)知，y+%=4m,yiy2=-4,

B22

所以SΔΛ0=；IOFiIyI-必l=^7(y1+y2)-4yly2=2√m+l≥2,

所以當(dāng)機(jī)=0時(shí)，△A08的面積取得最小值2,此時(shí)直線/_LX軸.

22

19.設(shè)士3分別是橢圓E：0+4=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G的直線交橢圓E于

ah

A,B兩點(diǎn)，I前1=3忸用

(1)若IAM=4,AABg的周長(zhǎng)為16,求網(wǎng);

3

(2)若cos∕4入8二,，求橢圓E的離心率.

【正確答案】(1)5；(2)也.

2

【詳解】試題分析:(1)由題意］耳I=3國(guó)耳∣AB∣=4可以求得IA^=3,國(guó)@=1,而AAB^的

周長(zhǎng)為16,再由橢圓定義可得4α=16,∣A耳∣+∣A勾=為=8.故∣A周=2α-∣A耳|=8-3=5.(2)

設(shè)出恒耳=k,則無(wú)>O且IA^=3/AB∣=4A根據(jù)橢圓定義以及余弦定理可以表示出a,k的

關(guān)系(α+Z)(a-3Z)=0,從而q=3Z,∣A刃=3∕=∣A用,∣B周=5/,則怛EF=IEAF+∣，

故KAJ.工4,ΔA耳行為等腰直角三角形.從而C=正α,所以橢圓E的離心率e=￡=1.

2a2

(1)由IA用=3∣^B∣,∣AB∣=4,得IA用=3,1耳同=1.因?yàn)棣叫的周長(zhǎng)為16,所以由橢圓定義

可得44=16,∣A用+∣A同=2α=8.故IMl=2α-∣A用=8-3=5.

⑵設(shè)舊網(wǎng)=3則A>0且IMl=3%,|陰=4&.由橢圓定義可得|A&=2a—3憶|3勾=2α-Z.

在ΔABK中，由余弦定理可得∣A8∣2=∣Ag∣2+∣BEF-2kEHB^cosNAE8,即

22

(4?)=(2a-3幻2+(2α-fc)-∣(2a-3k)-(2a-k),化簡(jiǎn)可得(α+k)(a-3Q=0,而4+%>0,

故α=3h于是有IA刃=3%=IAGj眶∣=5Z.因此忸6|2=后Af+∣AB∣2,可得耳AL?M,故

MZ-F2為等腰直角三角形.從而C=顯a,所以橢圓E的離心率e=￡=也.

2a2

1.橢圓的定義；2.橢圓的離心率求解.

20.已知函數(shù)y=lnx和y=,"(x-g)(∕"GR).

(1)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求證：X=I是方程In尤=的唯一實(shí)根；

(2)若對(duì)任意Xe(I,口)，函數(shù)y=〃?卜-Jl的圖像總在函數(shù)y=lnx圖像的上方，求實(shí)數(shù)〃?的

取值范圍.

【正確答案】(1)詳見(jiàn)解析；

QMS；

【分析】(1)先利用導(dǎo)數(shù)求得〃(X)=InX-(X-J(X>0)有唯一零點(diǎn)χ=l,進(jìn)而證得x=l是

方程InX=〃(尤_/)的唯一實(shí)根；

(2)先將題給條件轉(zhuǎn)化為加卜-T)-InX>0在(1,一)上恒成立，按〃？分類討論并利用導(dǎo)數(shù)

求得=InX(x>l)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【詳解】(1)令九(X)=InX-(X-J卜x>0),

則〃'。)=，一1一」=一(，一，]--<0.

XX2U2)4

則〃(X)在(0,+∞)上為減函數(shù)，χA(l)=lnl-fl-∣J=O,

則MX)=O有唯一零點(diǎn)4=1,則當(dāng)m=1時(shí)，

X=I是方程InX="?(X-B)的唯一實(shí)根.

(2)對(duì)任意χ∈(l,+8),函數(shù)y=〃?1-!!的圖像總在函數(shù)y=ln尤圖像的上方,

則〃z(x-j-InX>°在(l,+oo)上恒成立，

令/(x)=-L)-InX(X>1),

,,、(,1、1mx1—x+m,,、

r∣jl∣]∕(x)=w1+———=-------；----。>1)，

<XJXx^

若，"≤0Π寸，/'。)<0在(l,+∞)上恒成立，

則/(x)在(1,物)上單調(diào)遞減，又/⑴=0,

則/(x)<0恒成立，這與/(x)>0在(1,4W)上恒成立矛盾，不符合題意；

若>0時(shí)，方程mx2-x+∕"=0的判別式△=1-4療

當(dāng)加≥5即△≤0時(shí)，Znr2—χ+w7>0在(l,+∞)上恒成立，

則/'(X)='叱…'”>0在(L+∞)上恒成立，

X

則/(X)在(1,"0)上單調(diào)遞增，X/(1)=0,

則/(X)>O在(l,y)上恒成立，即對(duì)任意Xe(1,4W),

函數(shù)V=〃?卜-B)的圖像總在函數(shù)y=Inx圖像的上方；

當(dāng)0<機(jī)<5即A>0時(shí)，方程-X+?7=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,

1C

一，，.Xi+??=—>2

設(shè)兩根為不天，且為<工2，則J"m,

xlx2=1

則方程一工+機(jī)=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，且OVxl<1<A?

IWC1-x+m八

Pl1J當(dāng)X￡(1,W)時(shí)，如2—X+mV0,∕r(x)=--------；------<0

則/(X)在(1,Λ2)上單調(diào)遞減，又/⑴=O,

則在(1,W)上/(X)<0,這與/(χ)>0在(L+∞)上恒成立矛盾，不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為w≥:?

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，耳，居分別為雙曲線八/-丁=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。為

線段K。的中點(diǎn)，直線MN過(guò)點(diǎn)"且與雙曲線右支交于Ma,X),N(Λ2,%)兩點(diǎn)，延長(zhǎng)Ma

ND,分別與雙曲線「交于P、Q兩點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)M(3,√7),求點(diǎn)。到直線MN的距離；

(2)求證：Aly2-/Y=2(%-y)；

(3)若直線Λ∕MP。的斜率都存在，且依次設(shè)為玩匕試判斷3是否為定值，如果是，請(qǐng)求出

勺的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

k?

【正確答案】(1)亞