2021年圓板塊五圓的規(guī)劃問題學生版高中數(shù)學必修題庫

板塊五板塊五.圓規(guī)劃問題典例分析典例分析如果實數(shù)、滿足，則最大值為（）A． B． C． D．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】選取【核心字】無【解析】等式有明顯幾何意義，它表坐標平面上一種圓，圓心為，半徑，（如圖），而則表達圓上點與坐標原點連線斜率．如此以來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點在覺得圓心，覺得半徑圓上移動，求直線斜率最大值，由圖可見，當在第一象限，且與圓相切時，斜率最大，經(jīng)簡樸計算，得最大值為【答案】D；若集合，集合且，則取值范疇為______________．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】填空【核心字】無【解析】，顯然，表達覺得圓心，以3為半徑圓在軸上方某些，（如圖），而則表達一條直線，其斜率，縱截距為，由圖形易知，欲使，即是使直線與半圓有公共點，顯然最小逼近值為，最大值為，即【答案】試求圓（為參數(shù)）上點到點距離最大（小）值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】分析運用兩點間距離公式求解或數(shù)形結合求解．解法一設是圓上任一點，則．因此．由于，因此，因而當時，．當時，．解法二將圓代入普通方程得．如圖所示可得，、分別是圓上點到距離最小值和最大值．易知：，．闡明⑴在圓參數(shù)方程（為參數(shù)）中，為圓心，為半徑，參數(shù)幾何意義是：圓半徑從軸正向繞圓心按逆時針方向旋轉到所得圓心角大?。粼c為圓心，常慣用來表達半徑為圓上任一點．⑵圓參數(shù)方程也是解決某些代數(shù)問題一種重要工具．【答案】最大值為，最小值為．已知，，點在圓上運動，則最小值是．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】填空【核心字】無【解析】設，則．設圓心為，則，∴最小值為．【答案】．已知圓，為圓上任一點，求最大、最小值，求最大、最小值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】辦法一由知，可設坐標為，是參數(shù)．則，令，得，．因此，．即最大值為，最小值為．此時．因此最大值為，最小值為．辦法二表達點與點連線斜率，其中點為圓上動點，結合圖象知，規(guī)定斜率最值，只須求出過點圓切線斜率即可，設過點直線方程為：．由，得，因此最大值為，最小值為．令，同理兩條切線在軸上截距分別是最大、最小值．由，得．因此最大值為，最小值為．【答案】最大值為，最小值為．求函數(shù)值域．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】填空【核心字】無【解析】，于是，其幾何意義為單位圓上任一點與點連線斜率．結合圖象知：過點與單位圓相切直線斜率為，，連線斜率取值范疇為，從而此函數(shù)值域為．【答案】設，，求最小值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】填空【核心字】無【解析】分析式子幾何意義，它表達兩點與距離平方，前者在半圓上，后者在直線上，結合簡圖知：半圓上點到該直線距離最小值為，從而所求最小值為．【答案】實數(shù)滿足，求最大值與最小值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】辦法一變形得：，此方程表達一條直線．又∵滿足，故直線與圓有公共點．故，解得．由于直線與圓無公共點，因而，為所求．即最大值為，最小值為．辦法二設，，則，①幾何意義為單位圓上點與點連線斜率，求過點單位圓切線斜率：，，從而最大值為，最小值為．②由此式得，從而，解得，因而最大值為，最小值為．【答案】最大值為，最小值為．已知圓，為圓上動點，求最大、最小值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】辦法一由圓原則方程．可設點坐標為（是參數(shù)）．則（其中）．因此，．辦法二是圓上點到原點距離平方，∴規(guī)定最值，即求圓上距離原點距離最遠和近來點．結合圖象知：距離最大值等于圓心到原點距離加上半徑，距離最小值等于圓心到原點距離減去半徑．因此，．【答案】最大值為，最小值為．若，求函數(shù)最小值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】解答【核心字】無【解析】，先求點與直線距離為，．【答案】．設點是圓是任一點，求取值范疇．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】解答【核心字】無【解析】辦法一設，則有，，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．辦法二依照幾何意義求解幾何意義是過圓上一動點和定點連線斜率，運用此直線與圓有公共點，可擬定出取值范疇．由得：，此直線與圓有公共點，故點到直線距離．∴，解得：．此外，直線與圓公共點還可以這樣來解決：由消去后得：，此方程有實根，故，解之得：．【答案】．已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數(shù)取值范疇．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】辦法一∵右上方面點滿足：，結合圖象知，要圓上任一點坐標都滿足，只需直線在如圖所示切線左下方，圖中切線縱截距，故只需，即即可．辦法二分析設圓上一點，問題轉化為運用三角函數(shù)求范疇．解設圓上任一點，∴，，∵恒成立，∴恒成立，即恒成立．∴只須不不大于最大值．設，∴即．【答案】．實數(shù)、滿足，求取值范疇．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】解答【核心字】無【解析】辦法一設，方程可化為，由得：辦法二方程表達圓心為、半徑為圓，表達原點與該圓上點連線斜率．設方程為，由點到距離得：∴所求取值范疇是．【答案】已知點在圓上運動．⑴求最大值與最小值；⑵求最大值與最小值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】⑴設，則表達點與點連線斜率．當該直線與圓相切時，獲得最大值與最小值．由，解得，∴最大值為，最小值為．⑵設，則表達直線在軸上截距．當該直線與圓相切時，獲得最大值與最小值．由，解得，∴最大值為，最小值為．【答案】⑴最大值為，最小值為⑵最大值為，最小值為．若集合，集合，且，則取值范疇是．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】是一種圓心在原點，半徑為半圓（不涉及端點），代表斜率為，截距為直線．原問題相應幾何問題為：若直線與圓有交點，則直線截距范疇是多少?如圖，容易得到是截距極限位置，通過計算求出，．于是取值范疇是．【答案】．解集為，求取值范疇．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】函數(shù)可化為，因此表達圓心為，半徑為圓在軸上方某些，于是．表達斜率為，截距為直線．如圖，為極限位置，此時，因此取值需要滿足為，解之得取值范疇是．【答案】．求函數(shù)值域．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】解答【核心字】無【解析】解法1定義域為．配方，有，設，即，有，即．于是．當時，為增函數(shù)，因此；當時，，為減函數(shù)，因此．綜上，值域為．解法2同解法1，將函數(shù)化為．以原點為圓心，為半徑作圓，設在軸上運動，則時，如圖中位置，過作圓切線，切點為，顯然，，分析，當位于時最小，為，于是；時，如圖中位置，過作圓切線，切點為，顯然，，分析，有（當位于時，最大，為，于是；綜上，值域為．解法3定義域為．設，則可以涉及實數(shù)對轉化為滿足解，由得．由范疇，可以求得值域為．解法4定義域為或求導，有．當時，，因此原函數(shù)為增函數(shù)，取值范疇為；當時，，∴，原函數(shù)為減函數(shù)，取值范疇為．從而，原函數(shù)值域為．解法5設，，則．，于是（），其幾何意義是中心在雙曲線在軸上方某些．是過原點，斜率為一條直線．如圖，為雙曲線一條漸近線，方程為，，顯然．當時，，隨著越來越小，到距離越來越小，于是到距離越來越大（之間距離為定值），從而越來越大，取值范疇為；當時，隨著越來越大，也越來越大，取值范疇為；綜上，原函數(shù)值域為．【答案】．設，為內一點，且，，過任意作一條直線分別交射線、于點、，求最大值．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】5星【題型】填空【核心字】無【解析】如圖1，作內切圓，設其半徑為，則，問題轉化為內切圓半徑最大值．分析圖形可得當在上時，內切圓半徑最大，設此時半徑為，如圖2．若否則，設在某情形下半徑不不大于，那么點將會在內，這與是內切圓矛盾（如圖3，圓心只能在射線上運動）．顯然，此時點為切點．設，而，于是，即，化簡有∴從而題中所求為．【答案】設，為內一點，且，，過任意作一條直線分別交射線、于點、，求：⑴最大值與函數(shù)關系式；⑵當在內變化時，求取值范疇．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】6星【題型】解答【核心字】無【解析】⑴求得⑵設，則．；．于是．由于，因此，．如圖，當時，獲得最小值，此時，，，；當時，獲得最大值，此時或，，，．【答案】⑴求得⑵已知實數(shù)、滿足，則最大值是．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】可看作是過點與直線斜率，其中點在圓上，當直線處在圖中切線位置時，斜率最大，最大值為．【答案】無論為什么實數(shù)，直線與曲線恒有交點，則實數(shù)取值范疇是．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】題設條件等價于點在圓內或圓上，或等價于點到圓圓心距離半徑，∴．【答案】如果實數(shù)、滿足，則最大值為．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】實數(shù)、滿足方程，即點軌跡是圓心為，半徑為圓．此時，為連接點與直線斜率．這樣，該代數(shù)問題可轉化為如下幾何問題：圓圓心為，半徑為，動點在圓上移動，求直線斜率最大值．過作圓切線，設為第一象限切點，當動點在位置時，直線斜率最大．容易在中求出：，．于是，最大值為．顯然，當動點在位置時，取最小值為．【答案】函數(shù)最大值為________，最小值為________．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】表達點與點連線斜率取值范疇，點在單位圓上，如圖，過作單位圓切線、．易知，為斜率最大值和最小值，那么最大值為，最小值為．【答案】最大值為，最小值為．若直線與曲線有兩個不同交點，則實數(shù)取值范疇是___________．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】表達傾斜角為，縱截距為直線，而則表達覺得圓心，覺得半徑圓在軸上方某些（涉及圓與軸交點），如圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線縱截距，即．明確方程幾何意義，在同一坐標系中畫出相應幾何圖形，依照直線系特點，由圖形研究直線與半圓位置關系．【答案】曲線與直線有兩個交點時，實數(shù)取值范疇是．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】曲線，即，為如圖所示半圓；直線，表達過定點直線系；要使半圓與直線有兩個交點，則只能在之間移動，設斜率分別為，則．解得，，從而．【答案】過點直線將圓提成兩段弧，當劣弧所對圓心角最小時，直線斜率【考點】圓規(guī)劃問題【難度】2星【題型】填空【核心字】無【解析】由圖形可知點在圓內部，圓心為，要使得劣弧所對圓心角最小，即被圓截得弦長最短，只能是直線，因此．對于直線與圓位置關系以及某些有關夾角、弦長問題，往往要轉化為點到線距離問題來解決．【答案】．一束光線從點發(fā)出，經(jīng)軸反射到圓上，其最短路程是（）A． B． C． D．【考點】圓規(guī)劃問題【難度】3星【題型】選取【核心字】無【解析】設光線與