集合的概念及其表示

集合的概念及其表示1第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月本章學習目標通過本章的學習，應達到如下目標：深入理解掌握集合的概念和不同的表示方法；理解集合間的關系和特殊集合，包括冪集等；熟練掌握集合的基本運算（交、并、補、差、對稱差等）；理解集合運算的規(guī)律和主要證明方法；了解集合的圖形表示法，能夠借助文氏圖直觀表示復雜的集合；2第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1集合論(settheory)十九世紀數(shù)學最偉大成就之一集合論體系樸素(naive)集合論公理(axiomatic)集合論（蔡梅羅(Zermelo))創(chuàng)始人康托(Cantor)GeorgFerdinand

PhilipCantor1845~1918德國數(shù)學家,集合論創(chuàng)始人。他在這一領域的貢獻包括實數(shù)集合不可數(shù)性的發(fā)現(xiàn)。

3第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是集合(set)集合：是一種原始概念，不能精確定義。一些具有某種特點的對象的整體就構(gòu)成集合，這些對象稱為元素(element)或成員(member)。用大寫英文字母A,B,C,…表示集合用小寫英文字母a,b,c,…表示元素aA：表示a是A的元素，讀作“a屬于A”

aA：表示a不是A的元素，讀作“a不屬于A”4第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是集合(set)（續(xù)）例：

(1)偶素數(shù)集合{2},稱為單元集。(2)二進制的基數(shù)集合{0,1}。(3)英文字母(大寫和小寫)的集合。(4)C#語言的基本字符構(gòu)成一個字符集。(5)計算機主存的全部存儲單元集合。(6)全體實數(shù)的集合。(7)廣工全體師生的集合。5第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月集合的性質(zhì)1（外延(extension)

公理）1.外延(extension)

公理--兩個集合A和B相等的充分必要條件是它們有相同的元素。I：互異性:一個集合的各元素是可以互相區(qū)分開的,即每一元素在一個集合中只出現(xiàn)一次。II：無序性:集合中元素排列次序無關緊要,即集合表示形式的不唯一性。例：{a,b}={b,a}III.確定性：任一元素是否屬于一個集合,回答是確定的。6第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月集合的性質(zhì)2（正則(regularity)公理）3.

對任何集合S,

有{S}

S；只能說S

{S}，不能說S={S}。（正則(regularity)

公理的推論）

從而規(guī)定了集合{S}與S的不同層次性。說明：1.集合與其成員是兩個截然不同的概念, 集合的元素可以是任何具體或抽象事物,包括別的集合,但不能是本集合自身。2.先有成員后才形成集合,所以一個正在形成中的集合并不能作為一個實體充當本集合的成員。7第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2數(shù)的集合表示N：自然數(shù)(naturalnumbers)集合，N={0,1,2,3,…}Z：整數(shù)(integers)集合，Z={0,

1,

2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…}Q：有理數(shù)(整數(shù)商Quotient:i/j,j

0)R：實數(shù)(Realnumbers)集合C：復數(shù)(complexnumbers)集合P：素數(shù)或質(zhì)數(shù)(Prime)集合8第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3集合的表示列舉法（枚舉法）描述法（特征法）9第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.列舉法(roster)列出集合中的全體元素，元素之間用逗號分開，然后用花括號括起來，例如A={a,b,c,d,…,x,y,z}B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}集合中的元素不規(guī)定順序。C={2,1}={1,2}集合中的元素各不相同。C={2,1,1,2}={2,1}10第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月用列舉法表示集合并不總是可能的。 例如,區(qū)間[0,1]中的所有實數(shù)的集合就不能用這種方法給出。從計算機的觀點看,列舉法是一種“靜態(tài)”表示法,若把全部列舉的數(shù)據(jù)都存儲在計算機中,那將占用大量的存儲空間。11第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.描述法(definingpredicate)也稱作特征法。以某個小寫英文字母表示該集合中的任意一個元素，并指出該類元素的共同特征。例:

正奇數(shù)集合Odd={m|m=2n+1且n

N}。例:[0,1]上的所有連續(xù)函數(shù)所形成的集合可記成:C[0,1]={f(x)|f(x)在[0,1]上連續(xù)}。12第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月描述法(definingpredicate)描述法也稱作謂詞法，性質(zhì)描述法。用謂詞P(x)表示x具有性質(zhì)P，用{x|P(x)}表示具有性質(zhì)P的集合，例如P1(x):

x是小寫英文字母A={x|P1(x)}={x|x是英文字母}={a,b,c,d,…,x,y,z}P2(x):

x是十進制數(shù)字B={x|P2(x)}={x|x是十進制數(shù)字}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}13第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月描述法（續(xù)）兩種表示法可以互相轉(zhuǎn)化，例如E={2,4,6,8,…}//列舉法={x|x>0且x是偶數(shù)}//描述法

={x|x=2(k+1)，k為非負整數(shù)}={2(k+1)|k為非負整數(shù)}有些書在列舉法中用:代替|,例如{2(k+1):k為非負整數(shù)}14第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4集合之間的關系子集、真子集（包含關系與相等關系）空集、全集冪集15第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月子集：設A和B是兩個集合,若A中的每一個元素都是B的元素,則稱A是B的子集(subset),

也稱B包含(include)A,記作A

B(或B

A)。真子集：若A為B的子集,且A

B,則稱A為B的真子集(propersubset),

或稱B真包含A,記作A

B,B稱為A的超集(superset)。集合的包含關系：子集與真子集16第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月子集、真子集(舉例)設A={England國家足球隊全體成員}B={England國家足球隊前鋒成員}C={歐文,魯尼}則有B

A,CB,CA也有B

A,C

B,C

A17第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月子集(舉例)設A={a,b,c},B={a,b,c,d},C={a,b},則AB,CA,CB，C

A

BACBabcdefghij…………18第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例：N

Q

R

C。例：臺灣人都是中國人,臺灣人真包含于中國人,即{臺灣人}

{中國人}。“

”與“

”“

”的區(qū)別:符號“

”表示元素與集合間的隸屬關系;例：

1

N/*

1

{N}，正確與否？*/“

”“

”是集合之間的包含關系,“

”“

”的兩邊均是集合,地位平等。集合之間可以沒有任何關系。真子集(舉例)19第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月包含關系的性質(zhì)設A、B、C為3個集合,由定義可知集合的包含關系有如下性質(zhì)：(1)A

A。 (自反性)(2)若A

B且B

A,則A=B。(反對稱性)(3)若A

B且B

C,則A

C。(傳遞性)20第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月“”傳遞性證明若AB,且BC,則AC證明:因為AB，所以對于任意屬于A的元素x，都有xB；又因為BC，則xC；任何屬于A的元素都屬于C。即：AC21第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月“”傳遞性證明若AB,且BC,則AC證明:要證AC，即證AC并且AC首先證明ACABAB并且ABAB同理BCBC,所以AC.反證法證明AC假設A=C,則BCBA,

又AB,故A=B,此與AB矛盾,所以A=C不成立，因而AC成立.所以,AC.

22第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月相等關系定義1：由外延公理,集合A與集合B的元素完全相同時,A=B。相等關系判定定理：

設A和B是任意兩個集合,若A

B且B

A,則稱A與B相等,記作A=B。集合的相等關系23第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月集合的相等關系有如下性質(zhì)：(1)A=A。 (自反性)(2)若A=B,則B=A。 (對稱性)(3)若A=B且B=C,則A=C。 (傳遞性)兩個相等的集合并不意味著它們是用同樣的方式定義的。例：設集合A是方程x2–x=0的解的集合, A={x|x2–x=0}; x2–x=0的解為0和1B={0,1}; 則A=B。24第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月空集(emptyset)空集:不包含任何元素的集合稱為空集(emptyset),

記作

,或{}。例：方程x2+1=0的實根集合是空集。這說明空集是客觀存在的。空集的引入,可以使許多問題的敘述得到簡化。下列命題成立：

；

{

}25第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：判斷下列命題的真假:(1)

(2)

(3)

{

} (4)

{

}Solution：(2)為假;其余均為真。例2：

列出B={

}和C=

的全部(真)子集。

Solution：

{

}且{

}

{

}；

B有兩個子集:

和{

}；

B只有一個真子集

:

。

C,所以C只有一個子集

,沒有真子集。例3:是否存在集合A和B,使得A

B且A

B。Solution：存在。例A={a},B={a,{a}}。26第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）

空集是一切集合的子集。（2）空集是唯一的。proof

若存在空集合

1和

2,由（1）知

1

2和

2

1, 根據(jù)集合相等的定義

1=

2。 對于每個非空集合S,至少有兩個不同的子集,即

S和S

S。 我們稱

和S自身是S的平凡子集?？占男再|(zhì)27第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月全集全集:如果限定所討論的集合A都是某個集合U的子集,則稱集合U是全集。某些書上也記作E。全集是相對的,視情況而定,因此不唯一.全集只包含與討論有關的所有對象,并不一定包含一切事物。例：討論(a,b)區(qū)間里的實數(shù)性質(zhì)時,可以選U=(a,b),U=[a,b),U=(a,b],U=[a,b],U=(a,+),U=(-,+)等28第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月冪集(powerset)冪集:設A是集合，A的全體子集組成的集合,稱為A的冪集,記作P(A)，或者2A。A稱作P(A)的指標集。P(A)={x|xA}注意:xP(A)xA。也就是說，P(A)中的每一個元素都是集合，這些集合中的元素全部都只能來自集合A。例：A={a,b},P(A)={,{a},,{a,b}}.29第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月集合的基基：也稱作“勢”。集合A中元素的個數(shù)。基數(shù)是有限數(shù)的集合稱為有限集,否則稱為無限(infinite)集。一般僅對有限集討論其基的值。定理：設A是有限集，且|A|=n，則A的冪集的基|P(A)|=2n。例：A={a,b},P(A)={,{a},,{a,b}}.|A|=2，則|P(A)|=430第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月給定一個有限集,要保證不重復和不遺漏地寫出它的全部子集,辦法之一就是將子集按基數(shù)由小到大地分類,相同基數(shù)類的子集再按字母數(shù)字順序逐個地寫出。例:求出集合S={a,b,c}的所有子集。n=3Solution:0元子集,只有一個C30個:

; 1元子集,有C31個:{a},,{c}；

2元子集,有C32個:{a,b},{a,c},{b,c}；

3元子集,有C33個:{a,b,c}。 共有子集數(shù):C30+C31+C32+C33=(1+1)3=23=831第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月子集與二進制數(shù)通過建立子集與二進制數(shù)的關系，求出集合的所有子集。A={a1,a2,…,an},|A|=na1a2a3…an0/10/10/1…0/1101…1011…0={a2,a3}A的子集與n位二進制數(shù)一一對應={a1,a3,an}B1010…01B0110…0032第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月子集與二進制數(shù)（舉例）例：設A={a,b,c},|A|=3,P(A)={B0=B000=

,

B1=B001={c},

B2=B010=,

B3=B011={b,c},

B4=B100={a},

B5=B101={a,c}

B6=B110={a,b},

B7=B111=a,b,c}}abc子集B000

B001{c}B010B011{b,c}B100{a}B101{a,c}B110{a,b}B111{a,b,c}33第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月若|A|=n，A的任一子集都可用n位二進制數(shù)中的某個數(shù)來表示;反之,若給出2n－1中的任何一個值,就能夠確定A相應的子集。我們只用下標來確定子集的各元素,而字母B則是無關緊要的。若使用十進制數(shù)作為子集的下標,則轉(zhuǎn)換為A的基數(shù)位數(shù)的二進制數(shù)后同樣處理。34第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例:

設S={a1,a2,...,

a8},由B17

和B31所表示的S的子集各是什么?應如何表示子集{a1