翻轉(zhuǎn)課堂之對(duì)變化進(jìn)行建模

翻轉(zhuǎn)課堂之對(duì)變化進(jìn)行建模第1頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們常見(jiàn)的模型玩具，飛機(jī)，火箭模型......實(shí)物模型地圖，電路圖，分子結(jié)構(gòu)圖......符號(hào)模型水箱中的艦艇，風(fēng)洞中的飛機(jī)......物理模型模型

是為了一定的目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行減縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物，而且集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。模型是對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的理想化，他可以幫助我們更好更快的了解一種行為或幫助我們規(guī)劃未來(lái)。因此，對(duì)變化進(jìn)行建模是十分必要的。第2頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例：航行問(wèn)題

甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是什么？解：用x表示船速，y表示水速，列出方程：（x＋y）×30=750（x－y）×50=750解得x=20y=5答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí)。第3頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟做出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）用符號(hào)表示有關(guān)量（x、y表示船速和水速）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）求解得到數(shù)學(xué)答案（x=20，y=5）回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）在我們?nèi)粘Ｉ钪?，各種各樣的實(shí)際問(wèn)題需要我們運(yùn)用模型來(lái)簡(jiǎn)化，以便于我們的研究發(fā)展除了航行問(wèn)題，還有汽車的剎車減速問(wèn)題、微生物的繁殖問(wèn)題、彩票中獎(jiǎng)等等第4頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月WHAT數(shù)學(xué)模型

對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)WHY

當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述，也就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。第5頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月HOW數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化模型分析數(shù)學(xué)結(jié)論翻譯預(yù)測(cè)/解釋檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)第6頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月簡(jiǎn)化多數(shù)模型簡(jiǎn)化了實(shí)際情形。一般說(shuō)，模型只能近似的表達(dá)實(shí)際行為。一種非常有利的簡(jiǎn)化關(guān)系就是比例關(guān)系。定義比例關(guān)系

兩個(gè)變量y和x是（一個(gè)對(duì)一個(gè)）成比例的，如果一個(gè)變量總是另一個(gè)變量的常數(shù)倍；即如果對(duì)某個(gè)非零常數(shù)k，有y=kx這個(gè)定義的含義就是y作為x的函數(shù)的圖形位于一條過(guò)原點(diǎn)的直線上。在測(cè)試給定的數(shù)據(jù)集是否合乎比例關(guān)系時(shí)，對(duì)圖形的觀察常常是有幫助的。如果比例關(guān)系是合理的，那么一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的圖示就應(yīng)近似位于一條過(guò)原點(diǎn)的直線上。第7頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

先聯(lián)系一下我們密切相關(guān)的校園從同和樓到北苑有一個(gè)坡度很大的下坡路，如果校車司機(jī)在下坡時(shí)不控制車速，或者及時(shí)反映采取剎車等必要措施，很有可能造成不同程度的危險(xiǎn)。那么我們?cè)撛鯓雍?jiǎn)化這一過(guò)程呢？例1、（測(cè)試司機(jī)反映距離的比例關(guān)系）在驚慌之余的緊急停車過(guò)程中，汽車司機(jī)必須對(duì)緊急情況作出反應(yīng)，然后剎車，并把車停下來(lái)。什么是汽車司機(jī)的安全緊隨距離呢？為回答這個(gè)問(wèn)題，知道在剎車前車輛以給定速度走了多遠(yuǎn)是有幫助的（司機(jī)反映距離）。美國(guó)公路局對(duì)一大批汽車司機(jī)采集了反映距離和剎車距離的數(shù)據(jù)。表中x是以每小時(shí)英里數(shù)（mph）計(jì)的汽車速度，而y是以英尺（ft）計(jì)的剎車前汽車走過(guò)的距離。x（mph）20253035404550556065707580y（ft）22283339445055616672777788司機(jī)反應(yīng)距離第8頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月反應(yīng)距離對(duì)速度的圖示從數(shù)據(jù)采集情況來(lái)看，假定緊急情況作出反應(yīng)所需要的時(shí)間近似不變，那么反應(yīng)期間走過(guò)的距離和速度成比例，圖中的點(diǎn)位于過(guò)原點(diǎn)的一條直線上，所以比例性假設(shè)是有依據(jù)的。我們可以通過(guò)圖形估計(jì)比例常數(shù)，近似求得該直線的斜率。y=1.1x速度距離XY第9頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月驗(yàn)證模型我們過(guò)去通過(guò)把函數(shù)圖形重疊到散點(diǎn)圖上來(lái)測(cè)試方程擬合該數(shù)據(jù)有多好，另一種方法就是考察誤差和殘差。殘差=觀察值-預(yù)測(cè)值也就是真實(shí)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的差值作為判斷模型的合適性以及獲得如何改進(jìn)模型的洞察力的一種強(qiáng)有力的方法就是做出殘差對(duì)自變量的圖形，然后觀察誤差的相對(duì)大小。第10頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型構(gòu)建過(guò)程模型構(gòu)建的步驟第一步識(shí)別問(wèn)題

為估計(jì)安全緊隨距離，我們決定先估算司機(jī)的反應(yīng)距離第二步對(duì)要包括那些變量以及這些變量間的關(guān)系作出假設(shè)反應(yīng)距離依賴于包括速度、能見(jiàn)度、天氣以及司機(jī)的年齡等許多因素。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)反映距離只依賴于速度。我們還進(jìn)一步假設(shè)反映距離和速度成比例。第三步求一個(gè)滿足這些關(guān)系的函數(shù)或圖形我們通過(guò)確定反映距離對(duì)速度的散點(diǎn)圖是否近似于沿一條過(guò)原點(diǎn)的直線來(lái)測(cè)試成比例關(guān)系的假設(shè)。因?yàn)榇_實(shí)如此，所以我們可以計(jì)算該直線的斜率，它就是比例常數(shù)。第四步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治鰵埐畹拇笮『湍Ｊ降?1頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)驗(yàn)建模：抓住所收集數(shù)據(jù)的趨勢(shì)在例1中，我們假設(shè)了因變量和自變量之間的一種關(guān)系。另一種構(gòu)建模型的方法是采集數(shù)據(jù)并找到能抓住數(shù)據(jù)趨勢(shì)的模型。這種經(jīng)驗(yàn)方法既有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)第12頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2（求預(yù)測(cè)種群水平的曲線）我們可能要預(yù)測(cè)某個(gè)種群未來(lái)數(shù)量的大小，例如漁場(chǎng)的鮭魚(yú)和鯰魚(yú)的數(shù)目。下表展示了酵母細(xì)胞在營(yíng)養(yǎng)物中隨時(shí)間增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)。時(shí)間X01234567生物量Y9.618.32947.271.1119.1174.6257.3散點(diǎn)圖顯示了比較光滑的且有一種向上彎曲的趨勢(shì)。我們可以試圖利用多項(xiàng)式（例如，二次多項(xiàng)式y(tǒng)=ax2+bx+c）或冪函數(shù)(y=ax^b)或指數(shù)函數(shù)(y=ae^bx)來(lái)擬合這個(gè)趨勢(shì).第13頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用計(jì)算器可以擬合一個(gè)二次模型y=6.10x2-9.28x+16.43，這個(gè)模型恰當(dāng)?shù)臄M合了所采集的數(shù)據(jù)，利用這個(gè)模型，我們就可以對(duì)未來(lái)的變化情況做出預(yù)測(cè)，同時(shí)用實(shí)際的觀測(cè)值與模型的預(yù)測(cè)值相比較，從而計(jì)算出殘差，進(jìn)一步檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型的擬合程度。時(shí)間0123456789101112131415161718觀測(cè)值9.618.32947.271.1119.1174.6257.3350.7441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.8預(yù)測(cè)值16.213.422.543.677.7122.3188.2255.2333.2422.4533.5655.2788.1922.41088.51255.61433.71622.81827.3第14頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，上述模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值有較大的偏差，為什么二次模型不能預(yù)測(cè)更精確的值呢？問(wèn)題在于預(yù)測(cè)的能力及范圍超出了用來(lái)建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄?shù)據(jù)的范圍，當(dāng)所選的模型不是由某種建議這種形式模型的根本性的理由所支持的時(shí)候，這種外推特別危險(xiǎn)，在例2中，為什么我們要預(yù)測(cè)二次函數(shù)作為基本的種群增長(zhǎng)模型呢？為什么不是指數(shù)函數(shù)？面對(duì)這些問(wèn)題，我們應(yīng)該怎樣預(yù)測(cè)將來(lái)的值呢？這就需要用運(yùn)到微積分第15頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在建模中應(yīng)用微積分微積分的