（福建專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第13課時 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課時闖關(guān)（含解析）

一、選擇題1．(2012·福州調(diào)研)一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移為s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，那么速度為零的時刻是()A．0秒 B．1秒末C．2秒末 D．1秒末和2秒末解析：選D.令s′＝t2－3t＋2＝0，則t＝1或2.故選D.2．以長為10的線段AB為直徑作圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A．10 B．15C．25 D．50解析：選D.設(shè)矩形的長和寬分別為x、y，面積為S.則S＝xy.又因?yàn)榫匦蝺?nèi)接于圓，則x2＋y2＝102＝100.所以S＝xeq\r(100－x2)，S2＝x2(100－x2)＝100x2－x4，令S2′＝0，則x2＝50.所以當(dāng)x2＝50時，Seq\o\al(2,最大)＝502，所以S最大＝50.故選D.3．(2012·泉州質(zhì)檢)函數(shù)y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值為()A．e B．1C．－1 D．－e解析：選C.函數(shù)y＝lnx－x的定義域?yàn)?0，＋∞)，又y′＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令y′＝0得x＝1，當(dāng)x∈(0,1)時，y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，e]時，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最大值－1，故選C.4．如圖是二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋a的部分圖象，則函數(shù)g(x)＝lnx＋f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2) D．(2,3)解析：選B.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0∈0，1,f1＝0))?b∈(1,2)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－ln2＋1－b＜0,g1＝2－b＞0))?g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上有一零點(diǎn)．選B.5．球的直徑為d，其內(nèi)接正四棱柱體積V最大時的高為()A.eq\f(\r(2),2)d B.eq\f(\r(3),2)dC.eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(2),3)d解析：選C.設(shè)正四棱柱的高為h，底面邊長為x，如圖是其組合體的軸截面圖形，則AB＝eq\r(2)x，BD＝d，AD＝h，∵AB2＋AD2＝BD2，∴2x2＋h2＝d2，∴x2＝eq\f(d2－h(huán)2,2).又V＝x2·h＝eq\f(d2－h(huán)2h,2)＝eq\f(1,2)(d2h－h(huán)3)，∴V′(h)＝eq\f(1,2)d2－eq\f(3,2)h2，令V′(h)＝0，得h＝eq\f(\r(3),3)d或h＝－eq\f(\r(3),3)d(舍去)，應(yīng)選C.二、填空題6．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，所以3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有兩個不同的實(shí)數(shù)解．所以Δ＝4a2－4(a＋2)>0，即a2－a－2>0,所以a>2或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價格P(元)之間的關(guān)系式為P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50000＋200x元，則當(dāng)利潤達(dá)到最大時，該廠每月應(yīng)生產(chǎn)________噸產(chǎn)品．解析：當(dāng)月產(chǎn)量為x噸時利潤為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋240000x－50000(x≥0)，f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000.令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200.(舍去)．因?yàn)閒(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個極大值點(diǎn)x＝200，故它就是最大值點(diǎn)．答案：2008．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，則a的值為________．解析：f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,x2＋a2)＝eq\f(a－x2,x2＋a2)，當(dāng)x>eq\r(a)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)－eq\r(a)<x<eq\r(a)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝eq\r(a)時，令f(x)＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\r(a)＝eq\f(\r(3),2)<1，不合題意．∴f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－1三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝eq\f(2,3)時，y＝f(x)有極值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在區(qū)間[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，當(dāng)x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①當(dāng)x＝eq\f(2,3)時，y＝f(x)有極值，則f′(eq\f(2,3))＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，∴f(1)＝3×1＋1＝4，∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝eq\f(2,3).當(dāng)x變化時，y′、y的取值及變化如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)1y′＋0－0＋y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減eq\f(95,27)單調(diào)遞增4∴y＝f(x)在區(qū)間[－3,1]上的最大值為13，最小值為eq\f(95,27).10．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(a,x)－3lnx.(1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝2x＋eq\f(2,x)－3lnx，f′(x)＝2－eq\f(2,x2)－eq\f(3,x)＝eq\f(2x2－3x－2,x2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－eq\f(1,2)(∵x>0，∴舍去負(fù)值)．列表：x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)5－3ln2∴當(dāng)a＝2時，函數(shù)f(x)的最小值為5－3ln2.(2)∵f′(x)＝eq\f(ax2－3x－a,x2)，令h(x)＝ax2－3x－a＝a(x－eq\f(3,2a))2－eq\f(9＋4a2,4a)，要使f(x)在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)，只需f′(x)在[1，e]內(nèi)滿足：f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且等號只在孤立的點(diǎn)取得．∵h(yuǎn)(1)＝－3<0，∴h(e)＝ae2－3e－a≤0，∴a≤eq\f(3e,e2－1).①當(dāng)0≤a≤eq\f(3e,e2－1)時，f′(x)≤0恒成立．②當(dāng)a<0時，x＝eq\f(3,2a)?[1，e]，∴h(x)<0(x∈[1，e])，∴f′(x)<0，符合題意．綜上可知，當(dāng)a≤eq\f(3e,e2－1)時，f(x)在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)．一、選擇題1．(2012·廈門調(diào)研)內(nèi)接于半徑為R的半圓的矩形，周長最大時的邊長為()A.eq\f(R,2)和eq\f(3R,2)B.eq\f(\r(5)R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)C.eq\f(4R,5)和eq\f(7R,5)D.eq\f(4R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)解析：選B.如圖，設(shè)∠COB＝αeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，則矩形的邊長分別為Rsinα和2Rcosα，則周長l＝2(Rsinα＋2Rcosα)＝2R(sinα＋2cosα)，由l′＝2R(cosα－2sinα)＝0，得cosα＝2sinα，解得cosα＝eq\f(2,\r(5))，sinα＝eq\f(1,\r(5)).又函數(shù)l＝2R(sinα＋2cosα)為單峰函數(shù)，故邊長分別為eq\f(\r(5)R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)，選B.2．當(dāng)x≥2時，lnx與x－eq\f(1,2)x2的大小關(guān)系為()A．lnx>x－eq\f(1,2)x2 B．lnx<x－eq\f(1,2)x2C．lnx＝x－eq\f(1,2)x2 D．不確定解析：選A.構(gòu)造函數(shù)F(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－x，則F′(x)＝eq\f(1,x)＋x－1＝eq\f(x2－x＋1,x).因?yàn)閤≥2，所以F′(x)>0，所以F(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)．又因?yàn)镕(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0,所以F(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，即lnx＋eq\f(1,2)x2－x>0，所以lnx>x－eq\f(1,2)x2.二、填空題3．若函數(shù)f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c在區(qū)間(m，m＋1)上為不單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是________．解析：f′(x)＝eq\f(2,x)＋2x－5＝eq\f(2＋2x2－5x,x)＝eq\f(2x－1x－2,x)，令f′(x)＝0得x＝eq\f(1,2)或x＝2.列表如下：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大極小由表判定得：x＝eq\f(1,2)為極大值點(diǎn)，x＝2為極小值點(diǎn)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間(m，m＋1)上為不單調(diào)函數(shù)，所以m<eq\f(1,2)<m＋1或m<2<m＋1，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))∪(1,2)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))∪(1,2)4．給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函數(shù)的是________．①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝x·ex.解：∵中f′(x)＝ex＋xex，∴f″(x)＝ex＋ex＋xex＝(2＋x)ex.∵f″(1)＝3e，不滿足條件，∴4式不滿足條件．答案：④三、解答題5．已知f(x)＝ae－x＋cosx－x(0<x<1)．(1)若對任意的x∈(0,1)，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：e－x＋sinx<1＋eq\f(x2,2)(0<x<1)．解析：(1)由f(x)<0，得a<(x－cosx)·ex，記g(x)＝(x－cosx)·ex，則g′(x)＝(1＋sinx)·ex＋(x－cosx)·ex＝(1＋sinx－cosx＋x)·ex.∵0<x<1，∴sinx>0,1－cosx>0，ex>0，∴g′(x)>0，則g(x)在(0,1)上為增函數(shù)．∴－1<g(x)<(1－cos1)·e，故a≤－1.(2)證明：構(gòu)造函數(shù)h(x)＝e－x＋sinx－1－eq\f(x2,2)(0<x<1)，可知h(0)＝0.則h′(x)＝－e－x＋cosx－x.由(1)知：當(dāng)a＝－1時，f(x)＝－e－x＋cosx－x<0(0<x<1)．∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，∴h(x)<h(0)＝0，即e－x＋sinx<1＋eq\f(x2,2)(0<x<1)．6．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)＝3700x＋45x2－10x3(單位：萬元)，成本函數(shù)為C(x)＝460x＋5000(單位：萬元)，又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)的定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(提示：利潤＝產(chǎn)值－成本)(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x