蘇科版八年級數學下冊?？键c微專題提分精練專題15中點四邊形(原卷版+解析)

專題15中點四邊形【例題講解】問題背景：△ABC和△CDE均為等邊三角形，且邊長分別為a，b，點D，E分別在邊AC，BC上，點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，連接FG，GH，HI，IF猜想證明：(1)如圖①，判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形，并說明理由．(2)當a＝6，b＝2時，求四邊形FGHI的周長．拓展延伸：(3)如圖②，當四邊形FGHI是正方形時，連接AE，BD相交于點N，點N，H恰好在FC上．求證：△ABN和△DEN均為等腰直角三角形．解：（1）解：四邊形FGHI是菱形.理由：如圖①，連接AE,BD，∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴AC＝BC,EC＝DC，在△AEC和△BDC中，，∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴AE＝BD，∵點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，F(xiàn)G＝AE＝IH.FI＝BD＝CH.∴FG＝GH＝IH＝FI.∴四邊形FGHI是菱形；（2）解：如圖②，過點D作DM⊥EC于點M，∵△CDE為等邊三角形，∴MC＝EC＝×2＝1，∠C＝60°，∴BM＝BC－MC＝6－1＝5，在Rt△DMC中，DM＝，在Rt△BDM中，BD＝，∴GH＝BD＝，由(1)知四邊形FGHI是菱形，∴.四邊形FGHI的周長為4GH＝4.（3）解：∵點F為AB的中點，△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴直線CF為△ABC和△CDE的對稱軸.∴AN＝BN，DN＝EN，∵點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，∴FGAE，IHAE，F(xiàn)IBD，GHBD.∴.FGAEIH，F(xiàn)IBDGH，∵四邊形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均為等腰直角三角形.【綜合演練】1．四邊形ABCD，點M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點．(1)如圖1，順次連結M、N、P、Q得到四邊形ANPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(2)如圖2，若∠B＝∠C，AB＝CD，順次連結M、N、P、Q得到四邊形MNPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(3)如圖3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，設線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是______．2．定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點稱為和美四邊形中心．（1）寫出一種你學過的和美四邊形________；（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是________A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．無法確定（3）如圖1，點O是和美四邊形的中心，分別是邊的中點，連接，記四邊形的面積為，用等式表示的數量關系（無需說明理由）（4）如圖2，四邊形是和美四邊形，若，求的長．3．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．4．定義：對角線相等且所夾銳角為60°的四邊形叫“60°等角線四邊形”．如圖1，四邊形ABCD為“60°等角線四邊形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．判定探究：(1)下列語句能判斷四邊形是“60°等角線四邊形”的是．（填序號）①對角線所夾銳角為60°的平行四邊形；②對角線所夾銳角為60°的矩形；③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點所形成的四邊形是菱形的四邊形．(2)性質探究：以AC為邊，向下構造等邊三角形△ACE，連接BE，如圖2，請直接寫出AB＋CD與AC的大小關系；(3)請判斷AD＋BC與AC的大小關系，并說明理由；(4)學習應用：若“60°等角線四邊形”的對角線長為4，則該四邊形周長的最小值為．5．在數學興趣小組活動中,小明進行數學探究活動,將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.連接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要說明理由）(1)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，旋轉角為（30?﹤﹤180?）①連接DG,BE,求證：DG=BE且DG⊥BE；②在旋轉過程中，如圖3，連接BG,GE,ED,DB,求出四邊形BGED面積的最大值.(2)如圖4，分別取BG,GE,ED,DB的中點M,N,P,Q,連接MN,NP,PQ,QM,則四邊形MNPQ的形狀為，四邊形MNPQ面積的最大值是,6．閱讀下面材料：在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC．結合小敏的思路作答：（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由，參考小敏思考問題的方法解決一下問題；（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD．①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．7．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則∠BME=∠CNE（不需證明）．（溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點H，連接HE、HF，根據三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質，可證得∠BME=∠CNE．）問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，并說明理由；問題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并并說明理由．8．綜合與探究：如圖1，四邊形中，、、、分別是、、、的中點，順次連接、、、．(1)猜想四邊形的形狀是________（直接回答，不必說明理由）．(2)如圖2，在四邊形內一點，使，，，其他條件不變，試探究四邊形的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，，，，，求四邊形的面積．9．我們定義：有一組鄰角相等且對角線相等的凸四邊形叫做“鄰對等四邊形”．概念理解(1)下列四邊形中屬于鄰對等四邊形的有（只填序號）；①順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形；②順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形；③順次連接矩形各邊中點所得的四邊形；④順次連接菱形各邊中點所得的四邊形；性質探究(2)如圖1，在鄰對等四邊形ABCD中，∠ABC=∠DCB，AC=DB，AB＞CD，求證：∠BAC與∠CDB互補；拓展應用(3)如圖2，在四邊形ABCD中，∠BCD=2∠B，AC=BC=5，AB=6，CD=4．在BC的延長線上是否存在一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形？如果存在，求出DE的長；如果不存在，說明理由．10．【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．【應用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：．（只添加一個條件）（2）如圖③，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O．若AO=OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為．11．已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：（1）如圖1，若點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，且CE=DF，上述結論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”，不需要證明）（2）如圖2，若點E，F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎上，連接AE和BF，若點M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結論．專題15中點四邊形【例題講解】問題背景：△ABC和△CDE均為等邊三角形，且邊長分別為a，b，點D，E分別在邊AC，BC上，點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，連接FG，GH，HI，IF猜想證明：(1)如圖①，判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形，并說明理由．(2)當a＝6，b＝2時，求四邊形FGHI的周長．拓展延伸：(3)如圖②，當四邊形FGHI是正方形時，連接AE，BD相交于點N，點N，H恰好在FC上．求證：△ABN和△DEN均為等腰直角三角形．解：（1）解：四邊形FGHI是菱形.理由：如圖①，連接AE,BD，∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴AC＝BC,EC＝DC，在△AEC和△BDC中，，∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴AE＝BD，∵點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，F(xiàn)G＝AE＝IH.FI＝BD＝CH.∴FG＝GH＝IH＝FI.∴四邊形FGHI是菱形；（2）解：如圖②，過點D作DM⊥EC于點M，∵△CDE為等邊三角形，∴MC＝EC＝×2＝1，∠C＝60°，∴BM＝BC－MC＝6－1＝5，在Rt△DMC中，DM＝，在Rt△BDM中，BD＝，∴GH＝BD＝，由(1)知四邊形FGHI是菱形，∴.四邊形FGHI的周長為4GH＝4.（3）解：∵點F為AB的中點，△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴直線CF為△ABC和△CDE的對稱軸.∴AN＝BN，DN＝EN，∵點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，∴FGAE，IHAE，F(xiàn)IBD，GHBD.∴.FGAEIH，F(xiàn)IBDGH，∵四邊形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均為等腰直角三角形.【綜合演練】1．四邊形ABCD，點M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點．(1)如圖1，順次連結M、N、P、Q得到四邊形ANPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(2)如圖2，若∠B＝∠C，AB＝CD，順次連結M、N、P、Q得到四邊形MNPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(3)如圖3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，設線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是______．【答案】(1)四邊形MNPQ為平行四邊形，理由見解析(2)四邊形MNPQ為菱形，理由見解析(3)≤m≤【分析】（1）連結BD，根據三角形中位線的性質可得MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD，進而可得MQPN，MQ＝PN，根據平行四邊形的判定定理即可求解；（2）連結BD、AC，同理可得四邊形MNPQ為平行四邊形證明△ABC≌△DCB（SAS）得出AC＝BD，根據中位線的性質，即可得出MQ＝MN，根據平菱形的判定定理即可求解；（3）連結BD，取BD的中點P，連接QP、CP，得出PQ是△ABD的中位線，根據三角形三邊關系即可求解．（1）解：四邊形MNPQ為平行四邊形，連結BD∵點M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點.∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD∴MQPN，MQ＝PN∴四邊形MNPQ為平行四邊形．（2）四邊形MNPQ為菱形，連結BD、AC∵點M、N分別是邊AB、BC的中點.∴MN＝AC在△ABC與△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC＝BD∵點M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點.∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD∴MQMN，MQ＝PN∵四邊形MNPQ為平行四邊形

∴平行四邊形MNPQ是菱形．（3）解：如圖，連結BD，取BD的中點P，連接QP、CP，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10，∵點P是BD的中點，∴CP＝BP＝CP＝BD＝5，∵點Q是AD的中點，點P是BD的中點，∴PQ是△ABD的中位線，∴PQ＝AB＝，在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ，∴＜m＜，∵點C、點Q是定點，點P是動點，∴當點C、P、Q三點共線，且點Q在線段CP上時，m取得最小值，當點C、P、Q三點共線，且點Q在射線CP上時，m取得最大值，綜上，m的取值范圍為：≤m≤．【點睛】本題考查了中點四邊形，菱形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，三角形三邊關系，三角形中位線的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．2．定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點稱為和美四邊形中心．（1）寫出一種你學過的和美四邊形________；（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是________A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．無法確定（3）如圖1，點O是和美四邊形的中心，分別是邊的中點，連接，記四邊形的面積為，用等式表示的數量關系（無需說明理由）（4）如圖2，四邊形是和美四邊形，若，求的長．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4）【分析】（1）根據正方形的對角線互相垂直解答；（2）根據矩形的判定定理解答；（3）根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；（4）根據和美四邊形的定義、勾股定理計算即可．【詳解】解：（1）正方形是學過的和美四邊形，故答案為：正方形；（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是矩形，故選：A．（3）由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，則∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴△AOE的面積＝△BOE的面積，△BOF的面積＝△COF的面積，△COG的面積＝△DOG的面積，△DOH的面積＝△AOH的面積，∴S1+S3＝△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積＝S2+S4；（4）如圖2，連接AC、BD交于點O，則AC⊥BD，∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD=．【點睛】本題考查的是和美四邊形的定義、矩形的判定、勾股定理的應用，正確理解和美四邊形的定義、掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．3．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．【答案】(1)證明見解析；(2)菱形，證明見解析.【分析】（1）如圖1中，連接BD，根據三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．【詳解】（1）如圖1中，連接BD．∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，∴EH∥BD，EHBD．∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，∴FG∥BD，F(xiàn)GBD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．（2）四邊形EFGH是菱形．理由如下：如圖2中，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD．在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵點E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點，∴EFAC，F(xiàn)GBD．∵AC=BD，∴EF=FG．∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定等知識，解題的關鍵是靈活應用三角形中位線定理，學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．4．定義：對角線相等且所夾銳角為60°的四邊形叫“60°等角線四邊形”．如圖1，四邊形ABCD為“60°等角線四邊形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．判定探究：(1)下列語句能判斷四邊形是“60°等角線四邊形”的是．（填序號）①對角線所夾銳角為60°的平行四邊形；②對角線所夾銳角為60°的矩形；③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點所形成的四邊形是菱形的四邊形．(2)性質探究：以AC為邊，向下構造等邊三角形△ACE，連接BE，如圖2，請直接寫出AB＋CD與AC的大小關系；(3)請判斷AD＋BC與AC的大小關系，并說明理由；(4)學習應用：若“60°等角線四邊形”的對角線長為4，則該四邊形周長的最小值為．【答案】(1)②③(2)(3)(4)【分析】（1）根據定義即可求解．（2）證明四邊形是平行四邊形，根據即可求解；（3）過作交的延長線于點，求得中間量，根據，結合不等式的性質即可求解；（4）根據（2）（3）的結論代入數據即可求解．(1)對角線所夾銳角為60°的平行四邊形的對角線不一定相等，則不能判①是“60°等角線四邊形”；②對角線所夾銳角為60°的矩形，對角線相等，且所夾銳角為60°，故②是“60°等角線四邊形”；③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點所形成的四邊形是菱形的四邊形，則四邊形的對角線相等，故③是“60°等角線四邊形”．故答案為：②③；(2)△ACE是等邊三角形，，，四邊形是平行四邊形中，即；(3)如圖，過作交的延長線于點，；(4)若“60°等角線四邊形”的對角線長為4，則由（2）（3）可得，．該四邊形周長的最小值為．【點睛】本題考查了四邊形綜合問題，新定義問題，含30度角的直角三角形的性質，平行四邊的性質與判定，中點四邊形性質，掌握特殊四邊形的性質與判定是解題的關鍵．5．在數學興趣小組活動中,小明進行數學探究活動,將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.連接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要說明理由）(1)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，旋轉角為（30?﹤﹤180?）①連接DG,BE,求證：DG=BE且DG⊥BE；②在旋轉過程中，如圖3，連接BG,GE,ED,DB,求出四邊形BGED面積的最大值.(2)如圖4，分別取BG,GE,ED,DB的中點M,N,P,Q,連接MN,NP,PQ,QM,則四邊形MNPQ的形狀為，四邊形MNPQ面積的最大值是,【答案】(1)①證明見解析;②四邊形BGED面積的最大值為6+4;（2）正方形,3+2.【分析】（1）①由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等，利用全等三角形對應角相等得DG=BE，∠AGD=∠AEB，如圖所示，EB交AG于點H，利用等角的余角相等得到∠GMH=90°，利用垂直的定義即可得DG⊥BE；②根據①可知旋轉過程中，DG=BE且DG⊥BE；當BE取得最大值，即點A,B,E在同一條直線上時，四邊形BGED面積有最大值.(2)根據中點四邊形的性質可知四邊形MNPQ是正方形，邊長的最大值為四邊形MNPQ面積的最大值是：【詳解】(1)①∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=，AG=AE，∠DAB+∠GAB=∠GAB+∠GAE∠DAG=∠BAE在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD=∠AEB，DG=BE,如圖所示，EB交AG于點H，在△AEH中,∠AEH+∠AHE=，∠AEH=∠BHG,∴∠AGD+∠BHG=，在△HGM中,∠AGD+∠BHG+∠GMH=，∴∠GMH=，則DG⊥BE；②根據①可知旋轉過程中，DG=BE且DG⊥BE；當BE取得最大值，即點A,B,E在同一條直線上時，四邊形BGED面積有最大值.此時：DG=BE四邊形BGED面積(2)連接BE,DG，根據中位線的性質可得,,四邊形MNPQ是正方形，邊長的最大值為四邊形MNPQ面積的最大值是：故答案為正方形,3+2.【點睛】考查正方形的性質，中位線的性質，全等三角形的判定與性質等，綜合性比較強，難度較大.6．閱讀下面材料：在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC．結合小敏的思路作答：（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由，參考小敏思考問題的方法解決一下問題；（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD．①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．【答案】（1）是平行四邊形，理由見解析；（2）①AC=BD；證明見解析；②AC⊥BD．【分析】（1）如圖2，連接AC，根據三角形中位線的性質及平行四邊形判定定理即可得到結論；（2）①由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，于是得到當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，即可得到結論；②若四邊形EFGH是矩形，則∠HGF=90°，即GH⊥GF，又GH∥AC，GF∥BD，則AC⊥BD．【詳解】解：（1）是平行四邊形．理由如下：如圖2，連接AC，∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）①AC=BD．理由如下：由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，∴當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，∴平行四邊形EFGH是菱形；②當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形．理由如下：同（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四邊形EFGH為矩形．【點睛】此題主要考查了中點四邊形，熟練掌握三角形中位線定理及平行四邊形、菱形及矩形的判定是解題的關鍵．7．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則∠BME=∠CNE（不需證明）．（溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點H，連接HE、HF，根據三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質，可證得∠BME=∠CNE．）問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，并說明理由；問題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并并說明理由．【答案】(1)△OMN為等腰三角形，理由見解析；（2）△AGD是直角三角形，理由見解析．【詳解】試題分析：（1）作出兩條中位線，根據中位線定理，找到相等的同位角和線段，進而判斷出三角形的形狀．（2）利用平行線和中位線定理，可以證得三角形△FAG是等邊三角形，再進一步確定∠FGD=∠FDG=30°，進而求出∠AGD=90°，故△AGD的形狀可證．試題解析：：（1）取AC中點P，連接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN為等腰三角形．（2）判斷出△AGD是直角三角形．證明：如圖連接BD，取BD的中點H，連接HF、HE，∵F是AD的中點，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等邊三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等邊三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．考點：1．三角形中位線定理；2．角平分線的性質；3．等腰三角形的判定；4．勾股定理的逆定理．8．綜合與探究：如圖1，四邊形中，、、、分別是、、、的中點，順次連接、、、．(1)猜想四邊形的形狀是________（直接回答，不必說明理由）．(2)如圖2，在四邊形內一點，使，，，其他條件不變，試探究四邊形的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，，，，，求四邊形的面積．【答案】(1)平行四邊形(2)菱形，見解析(3)【分析】(1)連接AD，利用三角形中位線定理，證明EH=FG，且EH∥FG即可得證．(2)連接AD，BC，證明，得到AD=CB，結合三角形中位線定理，得到四邊形EFGH的四邊相等，即可得到菱形EFGH．(3)連接AD，BC，交點為M，設BC與EH的交點為Q，AD與EF的交點為O，證明，判定四邊形EOMQ是平行四邊形，證明∠HEF=60°，連接，過點作，垂足為，求得EH，HN的長度即可．（1）平行四邊形．理由如下：如圖1，連接AD，∵、、、分別是、、、的中點，∴EH∥AD，EH=，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G=，∴EH=FG，且EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形．（2）菱形.理由：如圖2，連接，.∵，∴，即.又∵，，∴，∴.∵、、、分別是、、、的中點，∴、、、分別是、、、的中位線，∴，，，，∴，∴四邊形是菱形.（3）連接AD，BC，交點為M，設BC與EH的交點為Q，AD與EF的交點為O，∵，，∴是等邊三角形.∵是中點，∴平分，，∴，點、、共線.在中，，在中，，∴.∵，∴，∴.∵，，∴四邊形EOMQ是平行四邊形，∴.在中，，，∴菱形的面積.【點睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握菱形的判定和性質，靈活運用三角形中位線定理是解題的關鍵．9．我們定義：有一組鄰角相等且對角線相等的凸四邊形叫做“鄰對等四邊形”．概念理解(1)下列四邊形中屬于鄰對等四邊形的有（只填序號）；①順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形；②順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形；③順次連接矩形各邊中點所得的四邊形；④順次連接菱形各邊中點所得的四邊形；性質探究(2)如圖1，在鄰對等四邊形ABCD中，∠ABC=∠DCB，AC=DB，AB＞CD，求證：∠BAC與∠CDB互補；拓展應用(3)如圖2，在四邊形ABCD中，∠BCD=2∠B，AC=BC=5，AB=6，CD=4．在BC的延長線上是否存在一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形？如果存在，求出DE的長；如果不存在，說明理由．【答案】（1）④；（2）見解析；（3）存在這樣一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形，DE＝【分析】（1）根據中點四邊形的特征，結合鄰對等四邊形的定義求解即可；（2）延長CD至E，使CE=BA，根據“SAS”可證△ABC≌△ECB，從而BE=CA，∠BAC=∠E．利用等量代換可證BD=BE，從而∠BDE=∠E，然后可證明結論成立；（3）在BC延長線上取一點E，使得CE=4，連接DE，四邊形ABED即為鄰對等四邊形．連接AE，BD，由等腰三角形的性質和三角形外角的性質可證∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．通過證明CE≌△BCD，可證BD=AE，從而四邊形ABED為鄰對等四邊形．通過證明△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性質可求出DE的長.【詳解】（1）①順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，平行四邊形不具備一組鄰角相等且對角線相等，故不是鄰對等四邊形；②順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，平行四邊形不具備一組鄰角相等且對角線相等，故不是鄰對等四邊形；③順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形，菱形不具備一組鄰角相等且對角線相等，故不是鄰對等四邊形；④順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，矩形具備一組鄰角相等且對角線相等，故是鄰對等四邊形；故答案為④；（2）∵AB＞CD，故可延長CD至E，使CE=BA，在△ABC與△ECB中，，∴△ABC≌△ECB．∴BE=CA，∠BAC=∠E．∵AC=DB，∴BD=BE．∴∠BDE=∠E．∴∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°．即∠BAC與∠CDB互補．（3）存在這樣一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形，如圖2，在BC延長線上取一點E，使得CE=4，連接DE，四邊形ABED即為鄰對等四邊形．理由如下：連接AE，BD，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∵∠BCD=2∠B，∴∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．在△ACE與△BCD中，，∴△ACE≌△BCD．∴BD=AE，四邊形ABED為鄰對等四邊形．∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED，∴△ABC∽△DEC．∴，∴.【點睛】本題考查了信息遷移，中點四邊形的特征，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握各知識點并理解“鄰對等四邊形”的含義是解答本題的關鍵.10．【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．【應用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：．（只添加一個條件）（2）如圖③，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O．若AO=OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為．【答案】[探究]平行四邊形；[應用]（1）添加AC=BD；（2）【分析】[探究]利用三角形的中位線定理可得出HG=EF、EFGH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；[應用]（1）添加條件AC=BD，同[探究]的方法判斷出FG=BD，即可判斷出EF=FG，即可得出結論；（2）先判斷出S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，進而得出S四邊形EFGH=，再判斷出OM=ON，進而得出S陰影=S四邊形EFGH即可．【詳解】解：[探究]平行四邊形．理由：如圖1，連接AC，∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，∴EFAC，EF=AC，同理HGAC，HG=AC，綜上可得：EFHG，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形．[應用]（1）添加AC=BD．理由：連接AC，BD，由（1）知，EF=AC，∵G是CD的中點，F(xiàn)是BC的中點，∴FG=BD，∵AC=BD，∴EF=FG，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形；故答案為AC=BD；（2）如圖2，由[探究]得，四邊形EFGH是平行四邊形，∵F，G是BC，CD的中點，∴FGBD，F(xiàn)G=BD，∴△CFG∽△CBD，∴，∴S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，∵四邊形ABC