河北省衡水中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022-2023學(xué)年度高一年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合，則()A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，與是同一個(gè)函數(shù)的是()A. B.C. D.3.命題“有實(shí)數(shù)解”的否定是()A.無(wú)實(shí)數(shù)解 B.有實(shí)數(shù)解C.有實(shí)數(shù)解 D.無(wú)實(shí)數(shù)解4.已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖像是如圖所示的曲線，則的值為()x123230A.3 B.0 C.1 D.25.已知定義域?yàn)?，則定義域?yàn)?)A. B. C. D.6.下列說(shuō)法正確的是()A.不等式的解集為B.若，則函數(shù)的最小值為2C.若實(shí)數(shù)，，滿足，則D.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是7.因?yàn)橐咔樵颍承?shí)行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準(zhǔn)進(jìn)校園，某學(xué)生早上上學(xué)，早上他騎自行車(chē)從家里出發(fā)離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)出入證忘在家里了，于是回到家取上出入證，然后改為乘坐出租車(chē)以更快速度趕往學(xué)校，令x(單位：分鐘)表示離開(kāi)家的時(shí)間，y(單位：千米)表示離開(kāi)家的距離，其中等待紅綠燈及在家取出入證的時(shí)間忽略不計(jì)，下列圖象中與上述事件吻合最好的是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的值可能是()A.2 B. C. D.110.某校學(xué)習(xí)興趣小組通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：形如(，不同時(shí)為0)的函數(shù)圖象可以由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移變換而得到，則對(duì)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，下列表述正確的是()A.圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不可能為1B.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減11.已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是()A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為12.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個(gè)“奇怪函數(shù)”其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集．則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，正確的為()A.對(duì)任意，都有B.對(duì)任意，都存在，C.若，，則有D.存在三個(gè)點(diǎn)，，，使等腰直角三角形第Ⅱ卷(共90分)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.“”是“”的__________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)14.已知，若函數(shù)在上隨增大而減小，且圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則_______15.函數(shù)在區(qū)間上有，則___________.16.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，滿足對(duì)，，其中，都有，且，則不等式的解集為_(kāi)_______(寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式)四、解答題：(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求a的取值范圍.18.已知冪函數(shù)(實(shí)數(shù))的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且.(1)求的值及函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)值域?yàn)?，求a取值范圍.20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)二次函數(shù)的一部分，其圖象如圖所示．(1)求在上的解析式；(2)若函數(shù)，，求的最大值．21.某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)，某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)中()的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為50分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？(2)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；并求出的最小值.22.設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)、都有恒成立，已知，且時(shí)，(1)求與的值(2)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增(3)解不等式

2022-2023學(xué)年度高一年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意求出集合的交集即可.【詳解】由題意，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.下列函數(shù)中，與是同一個(gè)函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)，與函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)，與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.3.命題“有實(shí)數(shù)解”的否定是()A.無(wú)實(shí)數(shù)解 B.有實(shí)數(shù)解C.有實(shí)數(shù)解 D.無(wú)實(shí)數(shù)解【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可求解.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“有實(shí)數(shù)解”的否定是“無(wú)實(shí)數(shù)解”．故選:D．4.已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖像是如圖所示的曲線，則的值為()x123230A.3 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由的圖像求出，再由求解即可.【詳解】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖像，可得，則故選：A．5.已知定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域求解規(guī)則求解即可.【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?，的定義域?yàn)樾铦M足，解得.所以，的定義域?yàn)?故選：A6.下列說(shuō)法正確的是()A.不等式的解集為B.若，則函數(shù)的最小值為2C.若實(shí)數(shù)，，滿足，則D.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】C【解析】【分析】求出不等式的解集判斷A；由基本不等式等號(hào)成立的條件以及函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；利用不等式的性質(zhì)可判斷C；舉反例判斷D．【詳解】對(duì)于A，不等式的解集為或，故A不正確；對(duì)于B，令，則函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)無(wú)解，故取不到最小值2，所以函數(shù)的最小值不可能是2，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式恒成立，故D不正確．故選：C7.因?yàn)橐咔樵?，某校?shí)行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準(zhǔn)進(jìn)校園，某學(xué)生早上上學(xué)，早上他騎自行車(chē)從家里出發(fā)離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)出入證忘在家里了，于是回到家取上出入證，然后改為乘坐出租車(chē)以更快的速度趕往學(xué)校，令x(單位：分鐘)表示離開(kāi)家的時(shí)間，y(單位：千米)表示離開(kāi)家的距離，其中等待紅綠燈及在家取出入證的時(shí)間忽略不計(jì)，下列圖象中與上述事件吻合最好的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)它離家的距離與離開(kāi)的速度判斷．【詳解】中途回家取證件，因此中間有零點(diǎn)，排除AB，第二次離開(kāi)家速度更大，直線的斜率更大，只有C滿足．故選：C．8.已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由解析式得到在上單調(diào)遞增，由于，結(jié)合可得到在，恒成立，即可得到答案．【詳解】，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，所以，所以，即在，恒成立，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是故選：B二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的值可能是()A.2 B. C. D.1【答案】CD【解析】【分析】由題知，且，進(jìn)而解不等式即可得,再結(jié)合選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為增函數(shù)，則，且，解得，所以，實(shí)數(shù)的值可能是內(nèi)的任意實(shí)數(shù).故選：CD.10.某校學(xué)習(xí)興趣小組通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：形如(，不同時(shí)為0)的函數(shù)圖象可以由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移變換而得到，則對(duì)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，下列表述正確的是()A.圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不可能為1B.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可得到結(jié)果.【詳解】，則函數(shù)的圖象可由的圖象先向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，∴圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不可能為1，A正確；圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，B正確；圖象與軸的交點(diǎn)為，C不正確；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,D正確..故選：ABD．11.已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是()A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】【詳解】因?yàn)槭钦龜?shù)，且，所以不等式可知，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)，所以的最大值為，所以A正確;因?yàn)槭钦龜?shù)，且，所以，且，所以，當(dāng)時(shí)有最小值為，所以B正確;由以上知，且，所以，因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)樗缘忍?hào)不成立，即，所以C錯(cuò)誤;因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)等號(hào)成立，即，所以的最小值為，所以D正確.故選:ABD.12.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個(gè)“奇怪的函數(shù)”其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集．則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，正確的為()A.對(duì)任意，都有B.對(duì)任意，都存在，C.若，，則有D.存在三個(gè)點(diǎn)，，，使為等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，則，此時(shí)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)任意時(shí)，存，則，故；當(dāng)任意時(shí)，存在，則，故，故對(duì)任意，都存在，成立，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)題意得函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)，時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，要為等腰直角三角形，只可能為如下四種情況：①直角頂點(diǎn)在上，斜邊在軸上，此時(shí)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無(wú)理數(shù)，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為無(wú)理數(shù)，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為無(wú)理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；②直角頂點(diǎn)在上，斜邊不在軸上，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無(wú)理數(shù)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無(wú)理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；③直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊在上，此時(shí)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立；④直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊不在上，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無(wú)理數(shù)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無(wú)理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等腰直角三角形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)推理與運(yùn)算等核心素養(yǎng)，是難題.本題D選項(xiàng)解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分直角頂點(diǎn)在上，斜邊在軸上；直角頂點(diǎn)在上，斜邊不在軸上；直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊在上；直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊不在上四種情況討論求解.第Ⅱ卷(共90分)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.“”是“”的__________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；詳解】解：由，即，解得，因?yàn)?，所以由推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立；所以“”是“”充分不必要條件；故答案為：充分不必要14.已知，若函數(shù)在上隨增大而減小，且圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則_______【答案】【解析】【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與參數(shù)之間的關(guān)系可得出的值.【詳解】若函數(shù)在上遞減，則.當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意.綜上所述，.故答案為：.15.函數(shù)在區(qū)間上有，則___________.【答案】【解析】【分析】令，由奇偶性定義可知為奇函數(shù)，由可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】令，，為定義在上的奇函數(shù)，又，，.故答案為：.16.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，滿足對(duì)，，其中，都有，且，則不等式的解集為_(kāi)_______(寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式)【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造，判定函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用賦值法得到，再通過(guò)單調(diào)性和奇偶性求得不等式的解集.【詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，令，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù),所以，所以是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，等價(jià)于或，所以或，即不等式的解集為.故答案：.四、解答題：(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)求出定義域，得到，進(jìn)而計(jì)算出及；(2)分與，列出不等式，求出a的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得：，所以集合.，∴，∴或，∴或；【小問(wèn)2詳解】，①當(dāng)時(shí)，，即，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由，得，解得：，綜上所述：a的取值范圍為.18.已知冪函數(shù)(實(shí)數(shù))的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且.(1)求的值及函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)由，得到，從而得到，又由，得出的值和冪函數(shù)的解析式；(2)由已知得到且，由此即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由題意，函數(shù)(實(shí)數(shù))的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且，所以在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，又由，且函數(shù)(實(shí)數(shù))的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以為偶數(shù)，所以，所以.(2)因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，所以不等式，等價(jià)于且，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式的求解，以及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，熟練應(yīng)用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)值域?yàn)?，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；(2)根據(jù)函數(shù)值域的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽，所以在R上恒成立，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，只需，所以a的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，要想函數(shù)值域?yàn)?，只需，綜上所述：a的取值范圍為.20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)二次函數(shù)的一部分，其圖象如圖所示．(1)求在上的解析式；(2)若函數(shù)，，求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)采用待定系數(shù)法，結(jié)合圖象可求得在時(shí)的解析式；由時(shí)，可求得；由此可得分段函數(shù)解析式；(2)首先確定解析式，分別在、和的情況下，根據(jù)單調(diào)性得到最大值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可設(shè)：，，，；當(dāng)時(shí)，，，又為偶函數(shù)，；綜上所述：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為；①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)，即