(JM)-弱正則序列與(IJ)-弱余上有限模的綜述報告

(J，M)-弱正則序列與(I，J)-弱余上有限模的綜述報告引言：正則序列和上有限模在代數(shù)學(xué)中是兩個非常重要的概念。本文將會介紹弱正則序列和弱余上有限模，包括它們的定義，性質(zhì)，應(yīng)用以及與(I，J)-上有限模之間的關(guān)系。一、弱正則序列定義：設(shè)R是環(huán)，（a1，a2，…，an）是R的一個左理想，如果存在b1，b2，…，bn∈R，使得ai=aibi，bi=bi+1bi，其中1≤i<n，則稱（a1，a2，…，an）是一個弱正則序列。性質(zhì)：對于任意環(huán)R，弱正則序列是具有如下性質(zhì)的：1.對于任意的r∈R，若r(a1，a2，…，an)={(ra1，a2，…，an)，a2，…，an}，則r(a1，a2，…，an)和(a1，a2，…，an)r互素。2.若R是一個Noether環(huán)，則R的任何一個左理想都可以由一個弱正則序列生成。應(yīng)用：弱正則序列是一種強大的工具，可在很多不同的領(lǐng)域中應(yīng)用，如加減同構(gòu)問題、加性規(guī)則問題、同調(diào)代數(shù)等。在代數(shù)學(xué)中，弱正則序列可用于鏈復(fù)形和同調(diào)理論研究，可對模論和代數(shù)幾何的進一步發(fā)展做出重要貢獻。二、弱余上有限模定義：設(shè)R是環(huán)，M是R-模，如果對于M的一個子模N，存在一個有限生成的R-模Q，使得N+Q=M，且N∩J(Q)N，其中J(Q)表示Q的Jacboson根，則稱M是(I，J)-弱余上有限模。性質(zhì)：假定R是任意環(huán)，對于R-模M，其具有以下性質(zhì)：1.如果M是一個有限生成的模，則M是有限弱余上有限模。2.如果M是一個有限弱余上有限模，則M是一個余上有限模。3.如果M是一個有限余上有限模，則M是一個本質(zhì)有限模。應(yīng)用：弱余上有限模在代數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用，特別是在模和群表示論中。在模表示的分類問題中，本質(zhì)有限模是一個關(guān)鍵概念，而（I，J）-弱余上有限模是研究本質(zhì)有限模的重要工具。三、弱正則序列與弱余上有限模的關(guān)系弱正則序列與弱余上有限模之間存在著密切的聯(lián)系。在R是任意環(huán)的情況下，以下結(jié)論成立：1.如果R中有一個弱正則序列，則R是左定則環(huán)（即，滿足公式aa=a只有平凡解的環(huán)）。2.如果M是一個R-模，則M是一個有限弱余上有限模的充分必要條件是，存在一個弱正則序列（a1，a2，…，an），使得a1M+J(an-1)M=M。這兩個結(jié)論表明，弱正則序列是R左定則環(huán)的重要標(biāo)志，且R-模的弱余上有限性質(zhì)可以通過弱正則序列來描述。結(jié)論：弱正則序列和弱余上有限模是代數(shù)學(xué)中的重要概念，它們廣泛應(yīng)用于同調(diào)代數(shù)、模表示論等領(lǐng)域。尤其是，弱余上有限模提供了研究本質(zhì)有限模的有力工具，而弱正則序列與弱余上有限模之間的聯(lián)系則為理解