數(shù)學(xué)-河南省焦作市博愛一中2023-2024學(xué)年高三（上）12月月考

焦作市博愛一中2023-2024學(xué)年高三（上）12月月考

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.開考前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，

并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑。如需要改動(dòng)，用橡皮檎干凈后，再涂選其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答

案寫在答題卡上。寫在試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知命題,命題qH/eR,x^-ax0-a<-3,若夕是g成立的必要不充分

條件，則區(qū)間?？梢詾椋ǎ?/p>

A.（-oo,-4）_（0,+co）B.（-<?,-6][2,+8）

C.（-6,2）D.[-4,0]

11__L

2.設(shè)a==°=仁12,則a"”的大小關(guān)系正確的是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

3.已知且sin2acos/?=2cos2a（l+sin/?）,則下列結(jié)論正確的

是（）

jrjr

A.2a-0=3B.2夕+/7=5

C.e+,=5D.=5

4.已知向量a=（l,2）"=（—左2,1）,MR,a"的夾角為。，若存在實(shí)數(shù)"使得

Wcos。-西”>0,則勿的取值范圍是（）

A.^-―,+℃^B.（0,+co）C.D,

22

5.已知雙曲線C:。-夕=1（?！?/〉0）的左焦點(diǎn)為耳，直線>=履（左>0）與雙曲線C

交于R0兩點(diǎn)，且NPKQ=女，尸耳?耳。=4,則當(dāng)心+與取得最小值時(shí)，雙曲線

32a

。的離心率為()

A.3B.6C.2D.41

6.已知點(diǎn)A(m,3),B(2m,m+4),C(〃?+l,2),D(1,O),且直線4?與直線切平行，則

實(shí)數(shù)力的值為()

A.1B.0C.0或2D.0或1

7.如圖,正六邊形A4CQE］耳的邊長(zhǎng)為2,取正六邊形A/CQE；4各邊的中點(diǎn)

4,生，。2,2,后2,4，作第二個(gè)正六邊形A?B2c2D2E2F2；然后再取正六邊形

A?B2c2D2E26各邊的中點(diǎn)A3,鳥，C3,。3,4,工，作第三個(gè)正六邊形A3B3c3D3E3耳；依

此方法一直繼續(xù)下去……，則第2022個(gè)正方形的面積為()

e

A.a>b>cB.0a>bC.b>a>cD.a>c>b

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.若存在實(shí)數(shù)a,b,。滿足等式9/+16b=81-24/折，9a?-168=8c,則c的值

可能為()

10.甲，乙兩樓相距20m,從乙樓底仰望甲樓頂?shù)难鼋菫?0。，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?/p>

30。，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.甲樓的高度為20?B.甲樓的高度為10國(guó)

C.乙樓的高度為竺如mD.乙樓的高度為10鬲

3

n.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，AB。-A4G2是棱長(zhǎng)為1的正方體，則（）

A.平面的一個(gè)法向量為（0,1,0）B.平面4。。的一個(gè)法向量為（1,1,1）

C.平面4cA的一個(gè)法向量為（1,1,1）D.平面的一個(gè)法向量為（0,1,1）

12.直線x+ay-a=o是曲線丁=皿的切線，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）

X

A.3JiB.JiC,-D.-

23

三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.

13.有一個(gè)裝有進(jìn)出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)出的水量是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開始

10分鐘內(nèi)只進(jìn)水，不出水，在隨后的30分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時(shí)間x（分）與水

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角0是以。為頂點(diǎn)，Ox軸為始邊，若角0的終邊過(guò)點(diǎn)

（3,T）,則sin,+￡|的值等于.

15.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米

依垣內(nèi)角，下周八尺,高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米

（如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺，問(wèn)米

堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.6立方尺,圓周率約為3,

估算出堆放的米約有斛.(精確到個(gè)位)

16.在空間直角坐標(biāo)系中，已知Q4=(3,2,l),05=(1,0,5),OC=(—1,2,—1),點(diǎn)〃為線段

四的中點(diǎn)，則=.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知函數(shù)/(x)=sin]]-dsinx-6'cos2x.

(1)求/(x)的最小正周期和最大值；

(2)討論了⑺在[工生]上的單調(diào)性.

18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛見｝滿足2后=4+1,其中S”是數(shù)列｛g｝的前

n項(xiàng)和.

⑴求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；

-1＜

(2)若對(duì)任意nGN+,且當(dāng)〃22時(shí)，總有了不+—7+—7----1-7；7九恒成立,求實(shí)

數(shù)4的取值范圍.

19.（12分）如圖，四棱錐p—ABCD的底面為正方形，po_L平面加0PD=AD=2，M

是側(cè)面PBC上一點(diǎn).

⑴過(guò)點(diǎn)Af作一個(gè)截面a，使得力與6。都與a平行.作出a與四棱錐尸—ABCD表面

的交線，并證明；

⑵設(shè)=43。+工3「，其中若陽(yáng)與平面就力所成角的正弦值為姮，求4

225

的值.

20.（12分）如圖，設(shè)夕是圓尤2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是點(diǎn)夕在X軸上的投影，M

4

為加上的一點(diǎn)，^.\MD\=-\PD\.

（1）當(dāng)點(diǎn)刀在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)"的軌跡。的方程;

（2）求過(guò)點(diǎn)（3,0）且斜率為|■的直線被曲線。截得的線段的長(zhǎng)度.

21.（12分）新高考實(shí)行“3+1+2”模式，其中“3”為語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，外語(yǔ)這3門必選科

目，“1”由考生在物理，歷史2門首選科目中選擇1門，“2”由考生在政治，地理，化學(xué),

生物這4門再選科目中選擇2門.已知武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為

物理,再選科目為化學(xué),生物至少1門.

（1）從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選

科要求的概率；

（2）假設(shè)甲，乙，丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的,求這三人中恰好有一

人的選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率.

22.（12分）已知函數(shù)〃x）=alnx-2?！海╝〉。）.

（1）若函數(shù)/（九）在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

—

/0、、八z*、丁口目A/2A/1A/3—A/H+1—\/H11

（2）設(shè)〃wN,證明：—---尸+」=----T=++,T=<—ln（n+l）.

V2+V1V3+V2VH+1+VH4'7

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.答案：A

解析：命題q：mx()eR,Xg—axQ—a<—3,則x；—ax。-a+3<0,

所以△=/—4(—。+3)20,解得a4—6或aN2

又夕是g成立的必要不充分條件，所以［2,+co)UD,

所以區(qū)間?？梢詾?-0T),(0,+8).

2.答案：C

111

函Y跖數(shù)y=爐是增函數(shù)，§2>二2，...([2gVj>1(-21>3

:.a>b,^.1>a>b

又仁]2=d>1,即

綜上可得，c>a>b,

故選:C.

3.答案：A

解析：有sin26zcos/?=2cos26z(l+sin)3),

得2sinacosacos尸=2cos2a(1+sin/?),sinccos/?-coscsin/?=cosa,

由于a,■卜所以口一/?=3-夕,

2a-B=%,故選A.

4.答案：C

角軍析：Wcos0-y/5m>0,則加<\b\cos0,a=(1,2),

貝1J忖=^l2+22=非,

咚巴警”=—F+2,,2,

故加<

'a-b'2

由題意可知，m<

5

V/max

故選:C.

5.答案：D

解析：不妨設(shè)夕位于第一象限，雙曲線。的右焦點(diǎn)為工，連接尸K，F(xiàn)2Q,

。為P。,耳月中點(diǎn)，.?.四邊形為平行四邊形，」.況二耳。，/甲風(fēng)=3；

設(shè)歸耳|=w，|PF,|=w(m,w>0),則7〃一〃=2a,

JT1

=mn9

由PFJ?片0=4得：PFi-PF2=mncos~解得：加〃=8；

在△。耳心中，閨鳥「=/2+/2加〃cos三=(m—n)2+mn=4a2+8=4c2

b2=c2—a2=29

2

lfl+^-=^L+4>2J——=2(當(dāng)且僅當(dāng)。2=2時(shí)取等號(hào))，

2a22a2飛2a2

.??當(dāng)L/+《取得最小值時(shí)，雙曲線。的離心率e==&?

2a2Va2

故選：D.

6.答案：D

解析：方法一：當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線N8與直線切的斜率都不存在，且不重合，此時(shí)直線

N8與直線5平行；當(dāng)mwO時(shí)，"B=S，心工由5=工，解得m=1,且

mmmm

兩直線不重合.綜上，加的值為0或I.

方法二：直線4?的一個(gè)方向向量為A8=(m,〃2+1),直線5的一個(gè)方向向量為

。。=（m,2）,因?yàn)橹本€N8與直線切平行，所以A3//DC,所以AB=2DC（Xw0）,即

（加,加+1）=（/1加,2/1）,所以4—'解得機(jī)=0或1,且直線46與5不重合.

m+l=22,

7.答案：C

解析：由題知第〃個(gè)正六邊形的面積組成一個(gè)等比數(shù)列{%},

其中q=6百，q=：,所以a“=6G[J，

,3、2021

故。2022=66義1小，

故選：C.

8.答案：B

解析：a=1+tan（-0.2）,A=l+ln0.8,c=e”，

IJllj-c=1+In0.8-e-02，令/（x）=1+Inx-ex-1,xe（0,l）,

則/，（x）=--exl在無(wú)e（0,1）上遞減,則/（%）>/（I）=0,

所以/（可在X￡（0,l）上遞增，則〃x）<〃l）=0,即

則6z-c=l+tan（-0.2）-e-02,令g（x）=l+tanx-e”,%￡（0,l）,

貝！Jg（九）=—\---e"在xe（0,1）上遞減，貝!Jg'（x）vg'（0）=0,

COSX-

所以g（尤）在尤e（0,1）上遞減,則g（x）<g（0）=0,即a<c,

故選:B

二、多項(xiàng)選擇題

9.答案：ACD

解析：由式9。4+166=81-24/萬(wàn)，可得（3/+4歷=81,

3a2+4>Jb=9,則3/=9-4^/^,4^/F=9—3t?2,

所以9a2=27-12揚(yáng)，16揚(yáng)=36-12],

又9a2—16揚(yáng)=8c,則c=%「T66,

8

21a2-3627-28#

..c—，c—，

88

a2>0,4b>0,<c<—,

28

則c的值可能為-？，.

288

故選：ACD.

10.答案：AC

解析：解：如圖所示，/XABC中，AC=20〃z,NB4c=90。,

AB^AC-tan60°=20^m,BC=40m,△BCD中，

ZBCD=3Q°,BC=4Qm,ZCBD=3Q°,ZD=120°,

由正弦定理得一^^=.2,

sin120sinZCBD

一40x14073

所以CD=G=—7根故選：AC.

~2

n.答案：AC

解析：由題意，知A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),耳(1,0,1),Q(1,1,1),

D1(0,1,1).AD=(0,1,0),AD_L平面AB"。,故A正確；

CD=(-1,0,0),5.(1,1,1)?(-:,0,0)=-1^0,.?.(1,1,1)不是平面耳C。的法向量，故B

不正確；

5^=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(Ll,l).(0,LT)=0,(1,1,1)(-1,0,1)=0,又

Beco1=c,.?.(1,1,1)是平面4c2的一個(gè)法向量，故C正確；

BQ=(0,1,1),且(0,l,l>(0,Ll)=2w0,.?.(0,1,1)不是平面A3G。的法向量，故D不

正確.

12.答案：AB

解析：設(shè)切點(diǎn)為。伍,先),.,直線x+ay-a=0恒過(guò)定點(diǎn)(0,1),

sin九°

,xcosx-sinx1.

y=------------------,/.x0_x0cosx0-sinx0,

X5X：

sinx0-x0=x0cosx0-sinx0,/.2sin/二%（1+cosx。）,

x0wO,...可取/=（2^-l）7c（^eZ）,

sinx0]

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，x0_sinx0-x0_1,

x0XQa

疝［（24_1）兀］-（24-1）冗_(dá)1-（201）j1

［（24-1）班一/［（24-1）兀］2（201）兀a

所以a=(2左一1)兀，左eZ

二當(dāng)左=1時(shí),a=兀；當(dāng)左=2,。=3兀，故人,8正確,C,D不正確.故選：AB.

三、填空題

2%,0<%<10

13.答案:y=\l50

-x+—,10<%<40

133

解析：當(dāng)0Wx<10時(shí)，直線段過(guò)點(diǎn)0(0,0),4(10,20),

kOA——=2,此時(shí)方程為y=2x.

30-201

當(dāng)10WxW40時(shí)，直線段過(guò)點(diǎn)4（10,20）,6（40,30）,k

AB40-10-3

.?.止匕時(shí)方程為y—20=g(x—10).即安氐+三.

2%,0<%<10

故答案為:y=\150

-X+—,10<x<40

133

14.答案：--/——5/2

1010

解析：6的終邊過(guò)點(diǎn)（3,T）,貝iJsinO=-cos6=|,

sin1：4V23x/272

------X----------1-----X---------------------

525210

故答案為：-京.

15.答案：22

解析：根據(jù)可設(shè)四分之一圓錐的底面圓半徑為r,

即工*2〃=8,可得廠=電尺；

471

根據(jù)錐體的體積公式可得四分之一圓錐的為丫=l*［兀嚴(yán)*5=當(dāng)立方尺;

343兀

又1斛米的體積約為1.6立方尺,所以共當(dāng)x工士22斛.

3711.6

故答案為：22.

16.答案：A/26

解析：因?yàn)椤?=（3,2,1）,05=0,0,5）,點(diǎn)〃為線段4?的中點(diǎn),

所以O(shè)M=g（0A+03）=（2,l,3）,

所以CM=-OC=（3,-1,4）,

所以=#+（—1）2+42=726，

故答案為：底.

四、解答題

17.（10分）答案：（1）最小正周期為兀,最大值為1-立

2

（2）在口，型］單調(diào)遞增，在［學(xué),單調(diào)遞減

612J\_123_

解析：(1)/(x)=sin-xjsinx-A/3COS2X

=sinxcosx-j3cos2x

1.c仄1+cos2x

=-sin2尤一，3------------

22

=sinf2x-—,

I3j2

則/(x)的最小正周期為T9=R,

當(dāng)2x-1=3+2ht,keZ,即x=1+E,左wZ時(shí)，/(x)取得最大值為1-；

(2)當(dāng)時(shí)，2元一三￡［0,兀］,

_63J3L」

則當(dāng)2x-0金,即/工時(shí)，/(“為增函數(shù)；

當(dāng)2x-色p7l時(shí)，即時(shí)，“X)為減函數(shù)，

??./(%)在憶回單調(diào)遞增，在戶，女］單調(diào)遞減.

v71612J\_123J

18.(12分)答案：(1)%=2〃—1

⑵［1,+00).

解析：⑴2后=4+1,.21空］

當(dāng)”=1時(shí)，Si=q=(Wj，解得4=1.

當(dāng)〃22時(shí),g=S.—Sa=(鋁j—J,

即(4+%T)(%-%-2)=0,

%+1w0,?，.an—an_x—2=0,

」.數(shù)列｛g｝是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,

/.an=2及一1.

(2)因?yàn)?。?2〃-1,所以S“="(1+；"_11=*

1

當(dāng)〃22時(shí),1_1_ipn

n2-1(n-l)(n+l)2\n—\n+\)

1111

--------F------------1--------------1-------F

41

11

—+—

42

11

—+—

42

2>1,

二.實(shí)數(shù)4的取值范圍為［1,+oo)?

19.(12分)答案：(1)答案和證明見解析

⑵

4

解析：(1)過(guò)點(diǎn)〃作比的平行線，分別交故必于點(diǎn)區(qū)區(qū)

過(guò)E作孫的平行線,交四于點(diǎn)N,過(guò)N作優(yōu)1的平行線交切于點(diǎn)Q,

則截面跖0V為所求截面a，證明如下：

因?yàn)镻AHEN，PA.截面a,石Nu截面a，所以K4//截面a，

因?yàn)?C//NQ,截面a,NQu截面a，所以〃截面a.

(2)因?yàn)?口，平面/閱9,為，￡>Cu平面四。所以PDLZM，PD±DC

且ZMLDC，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA>DC>為x，-2軸建系如圖，

則。(0,0,0),C(0,2,0),3(2,2,0),P(0,0,2)

所以3乙=(—2,0,0),BP=(—2,—2,2),DC=(0,2,0)

所以=ABC+-BP=(-22,0,0)+(-1,-1,1)=(-22-1,-1,1),

2

又因?yàn)镈M=(1—24,1,1),所以〃(1—22,1,1),

設(shè)平面JO的法向量為機(jī)=(%y,z)，

匚廠IDCm=2y=0人

所以<令x=l,y=0,z=2A—1

DM-m=(1-2A)x+y+z=0

所以加=(1,0,22—1)，

設(shè)期與平面的力所成角為。，

,?BP-m|22-2|_V15

貝!!sin0=cos<BP,m>\=---n—

11BP\\mMJ422—4x+25

整理得8萬(wàn)+24-1=0,解得X=-g(舍)，2

22

20.(12分)答案：(1)—+^-=1

2516

解析：(1)設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是，,

因?yàn)槭菆A公+>2=25上的動(dòng)點(diǎn),

|、25,

所以V+

22

所以點(diǎn)〃的軌跡，的方程是爭(zhēng)rL

44

⑵過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率k=-的直線Z:y=-(x-3),

設(shè)直線/與曲線C交于點(diǎn)A(X],yJ,B(x2,y2),

將直線/與曲線c的方程聯(lián)立，消去人得卷+公匚=1，

化簡(jiǎn)得光之—3x-8=0,

解得工3-ax.3+V41

解付芯——，x2——,

所以|AB|=J1+左2忖—引=《,

即截得的線段的長(zhǎng)度是色.

5

21.（12分）答案：（1）—

12

（2）至245

576

解析：（1）用a,6分別表示“選擇物理”，“選擇歷史”，用c,de,/?分別表示選擇

“選擇化學(xué)”，“選擇生物”，“選擇政治”，“選擇地理”，則所有選課組合的樣本空

間為O={acd,ace,ode,adf,aef,bed,bee,bef,bde,bdf,bef],則n（Q）=12,

設(shè)〃為選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求，

貝1]M={acd,ace,acf,ade,adf},n（M）=5,

所以選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率為P（M）=型皿=-