P-正則半群上的同余的中期報告

P-正則半群上的同余的中期報告本文將介紹P-正則半群上的同余的研究進(jìn)展，并給出一些相關(guān)定理的證明。首先，我們先介紹P-正則半群和同余的概念。P-正則半群是一個滿足以下條件的半群：1.對于任意的元素a，存在一個唯一的元素a'，使得aa'a=a和a'aa=a。2.對于任意的元素a和b，如果ab=1，則ba=1。同余是半群中的一種等價關(guān)系。如果對于半群中的任意元素a和b，如果存在元素c，使得ac=bc，則認(rèn)為a和b是同余的。同余關(guān)系將半群劃分成一個等價類族?，F(xiàn)在我們來研究P-正則半群上的同余。首先，我們可以證明以下定理：定理1：在P-正則半群中，同余關(guān)系是一個等價關(guān)系。證明：對于關(guān)系的自反性，顯然對于任意的元素a，它和自己同余；對于關(guān)系的對稱性和傳遞性，也可以通過簡單的代換證明。因此，同余關(guān)系在P-正則半群中是一個等價關(guān)系。接下來，我們可以定義同余類：定義：在P-正則半群S中，元素a的同余類是所有與a同余的元素組成的集合[a]={x|ax=xa}。由定理1可知，同余類構(gòu)成了一個劃分P-正則半群S的等價類，即P-正則半群S是以上同余類的并。接下來我們來研究同余的性質(zhì)：定理2：在P-正則半群中，同余類是一個子半群。證明：對于同余類中的任意兩個元素a和b，我們有：(a'a)b=a'(ab)=a'ba因此，a和b的同余類中的元素乘積也在這個類中。定理3：在P-正則半群中，同余類是一個正則的、且完全分界的理想。證明：同余類中的任意元素都是相互同余的，因此這個集合滿足正則性。而對于完全分界性質(zhì)，我們可以先證明以下引理：引理：在P-正則半群中，如果a是一個正則元素，那么a的同余類對于所有的元素都是一個分界點(diǎn)。證明：設(shè)a的同余類是[A]，而元素b不在A中，則存在元素c使得ac≠bc（否則b∈A）。令d=a'c，由P-正則半群的定義可知，d滿足ad=a，bd=b。因此，對于任意的元素x∈[A]，我們都有ax=xa和bx=xb，因此：a(xd)=(ax)d=xdb(xd)=b(xa')c=(bx)a'c=bx=b因此，xd在a的同余類中，但是不在b的同余類中，因此a和b的同余類是完全分界的。對于定理3，我們可以利用引理來證明。由于每個同余類都是完全分界的，因此它們構(gòu)成P-正則半群中的一個理想。最后，我們給出一個結(jié)論：定理4：在P-正則半群中，同余類的個數(shù)不超過P-正則半群中任意正則元素的個數(shù)。證明：設(shè)P-正則半群中正則元素的個數(shù)為n，我們對這n個元素依次考慮它們的同余類。對于第一個正則元素，它的同余類一定是一個子半群。對于第二個正則元素，它的同余類要么和第一個正則元素的同余類相交，要么和第一個正則元素的同余類不相交。如果它的同余類和第一個正則元素的同余類相交，則它的同余類一定是第一個正則元素的同余類的子集（因為同余類是完全分界的）。如果它的同余類和第一個正則元素的同余類不相交，那么它的同余類也是一個子半群。以此類推，對于第i個正則元素，它的同余類要么和前面的i-1個同余類相交，要么和前面i-1個同余類不相交。如果前面i-1個同余類的并的大小小于等于n，那么第i個正則元素的同余類也是一個子半群。反之，第i個正則元素的同余類