四川省內(nèi)江市資中縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

資中縣第二中學(xué)高2025屆高二上12月月考數(shù)學(xué)試題本試卷共2頁(yè)，22題，全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．【注意事項(xiàng)】1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上．2．選擇題作答時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．非選擇題作答時(shí)，用黑色簽字筆將答案書寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題或超出答題區(qū)域書寫無(wú)效．5．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，直線的方程可化為，則，故，故選：C.2.關(guān)于橢圓，以下說(shuō)法正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B.焦距為C.離心率為 D.左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷.【詳解】橢圓中，，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距，離心率為，左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，故只有B正確.故選：B3.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面圓的半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】代入圓錐的側(cè)面公式，計(jì)算即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓錐的側(cè)面積為.故選：A.4.已知直線是圓的對(duì)稱軸，則的值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心在直線上可求得結(jié)果.【詳解】由圓方程得：圓心，直線是圓的對(duì)稱軸，圓心在直線上，即，解得：.故選：A.5.阿波羅尼斯（公元前262年—公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問(wèn)題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個(gè)著名問(wèn)題：已知平面上兩點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓．已知平面內(nèi)的兩個(gè)相異定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C，則軌跡C圍成圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)已知整理得出.即可得出點(diǎn)M的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，進(jìn)而求出圓的面積.【詳解】設(shè)，則，，由可得，，整理可得.所以，點(diǎn)M的軌跡為以為圓心，為半徑的圓.所以，軌跡C圍成圖形的面積是.故選：D.6.點(diǎn)到直線l：的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（）A.； B.；C.； D.；【答案】A【解析】【分析】求出直線過(guò)定點(diǎn).然后可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線l：的距離最大，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出最值.根據(jù)斜率公式，以及兩條直線的位置關(guān)系得出直線的斜率，代入整理即可得出答案.【詳解】將直線l：變形可得，解可得，所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線l：的距離最大，最大值為.又，直線的斜率為，所以，，解得，所以，直線的方程為，整理可得.故選：A.7.已知正四棱錐側(cè)面和底面的棱長(zhǎng)都為4，P為棱BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合已知求出.進(jìn)而證明平面，將點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.求出三棱錐的體積，即可根據(jù)等體積法得出答案.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)已知可得，平面.又，，在中，有.由已知可得，平面，平面，所以，平面.又，所以點(diǎn)到平面距離，即等于點(diǎn)到平面的距離.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.又，，所以，，所以，.故選：D.8.如圖，在直三棱柱中，，，，N為棱上的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N作平面ABM的垂線段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)為，連接，先根據(jù)已知證明平面，平面平面.過(guò)點(diǎn)作，說(shuō)明重合，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓的一部分.通過(guò)長(zhǎng)度關(guān)系，結(jié)合圖形關(guān)系推得扇形的圓心角，代入弧長(zhǎng)公式，即可得出答案.【詳解】取中點(diǎn)，連接，由已知可得，中點(diǎn)為，所以，.又N為棱上的中點(diǎn)，所以，.根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫妫?，所以，平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，平?又平面，平面，所以，重合.所以，，.所以，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓的一部分.當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到最高點(diǎn)，此時(shí)，，，，.所以，弧長(zhǎng).故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中正確的是（）A.若是空間任意四點(diǎn)，則有B.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D.任意空間向量滿足【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解；對(duì)于B，結(jié)合空間點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求解；對(duì)于C，結(jié)合空間向量的基本定理，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，即可求解．【詳解】，，，是空間任意四點(diǎn)，則，故A正確；點(diǎn),2,，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,,，故B正確；，滿足，故,,,四點(diǎn)共面，故C正確；表示與共線的向量，表示與共線的向量，二者不一定相等，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.彗星是太陽(yáng)系中具有明亮尾巴的天體，它們的運(yùn)行軌道是以太陽(yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．某彗星測(cè)得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最近的點(diǎn)）距太陽(yáng)中心約4個(gè)天文單位，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距太陽(yáng)中心約6個(gè)天文單位，且近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽(yáng)中心同在一條直線上，則軌道方程可以為（以“天文單位”為單位）（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知可得，，即可解得橢圓方程.【詳解】由已知可得，，則，，，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓方程為；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓方程為，即；故選：AC.11.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.的周長(zhǎng)為6B.若，則面積為C.橢圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)，使得D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】先求出，根據(jù)橢圓的定義即可判斷A；利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義及三角形的面積公式即可判斷B；求出的最大值即可判斷C；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合基本不等式中“1”的整體代換即可判斷D.【詳解】由橢圓C：，得，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，對(duì)于A，的周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B，在中，由余弦定理得，，即，則，所以，所以的面積為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓得上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓得上下頂點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)為等邊三角形，故的最大值為，所以橢圓C上不存點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD.12.已知圓C：，直線l：，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線分別切圓C于點(diǎn)A，B．則下列說(shuō)法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為B.最短時(shí)，弦的長(zhǎng)為C.M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為D.直線過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】利用切線的性質(zhì)計(jì)算可判定A，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可判定B，利用圓的性質(zhì)結(jié)合“將軍飲馬”可判定C，利用公共弦方程可判定D.【詳解】易知，半徑，對(duì)于A項(xiàng)，易知四邊形的面積，顯然切線長(zhǎng)最短時(shí)，該四邊形面積最小，又，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，易知，由上可知時(shí)最短，此時(shí)，由等面積法可知，故B正確；作N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)P，易知，設(shè)，所以，故C錯(cuò)誤；設(shè)，易知四點(diǎn)共圓，為直徑，圓心，半徑，故該圓的方程為而直線為兩圓的公共弦，故其方程為，又，化簡(jiǎn)得，令，即直線過(guò)定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.兩平行線與間的距離為______．【答案】【解析】【分析】直接利用平行直線的距離公式得到答案.【詳解】?jī)善叫芯€與間的距離為故答案為：14.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，其圓的方程為，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，則該橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義求出，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因?yàn)闄E圓的蒙日?qǐng)A方程為，所以，所以，所以該橢圓的離心率.故答案為：.15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】方程表示一個(gè)圓，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的平方，再根據(jù)定點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題即可得解.【詳解】由，得，則方程表示以為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的平方，設(shè)點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離為，則，所以最大值為.故答案為：.16.如圖，兩個(gè)正方形，的邊長(zhǎng)都是8，且二面角為，M為對(duì)角線AC靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，N為對(duì)角線DF的中點(diǎn)，則線段______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知得出.然后表示可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，可得，代入求解即可得出答案.【詳解】由題意可知，，，所以為的平面角，所以，.因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所?所以，，所以，.因?yàn)?，所以，所以?故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知直線l經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn)P．（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組得出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知設(shè)出直線l的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，求解即可得出答案；（2）分直線過(guò)原點(diǎn)以及不過(guò)原點(diǎn)，兩種情況，設(shè)出直線的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，求解即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立可得，，所以點(diǎn).由已知可設(shè)直線l的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)有，解得，所以，直線l的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)有，解得，所以直線l的方程為，整理可得；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)有，解得，所以，直線l的方程為.綜上所述，直線l的方程為或.18.已知圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，．（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程的斜率．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓C的方程為，利用待定系數(shù)法求出即可得解；（2）設(shè)切線方程為，再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑即可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓心，半徑，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線的距離為，不符題意，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得或，綜上所述，切線方程的斜率為或．19.已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)C在AB邊上的中線CM上和直線AC與高線BH垂直求解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)B在BH上和AB的中點(diǎn)M在直線CM上求解；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．20.已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積．（O為原點(diǎn)）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）求出直線方程，設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離為，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，解得，所以橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】，則直線的方程為，即，聯(lián)立，消得，，設(shè)，則，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，AD中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，PB與平面ABCD所成角為45°，求平面PFB與平面EFD夾角的余弦值．【答案】21.證明見解析22.【解析】【分析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，證明即可；（2）利用向量法求出兩個(gè)平面的法向量，再利用平面與平面的夾角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為中點(diǎn)，連接，又分別是中點(diǎn)，所以，，又底面是正方形，所以，，故四邊形為平行四邊形，則，由平面，平面，則平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻B與平面ABCD所成角為45°，所以，以為原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由于，則，所以，所以，令為平面的一個(gè)法向量，則，令，即，令為平面的一個(gè)法向量，則，令，即，所以，即平面與平面夾角的余弦值．22.如圖，在圓上任取一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線段QD，D為垂足．線段QD上一點(diǎn)C滿足．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的方程；（2）已知，過(guò)點(diǎn)的直線l與軌跡相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），直線的斜率分別，試判斷是否為定值．若是，求出該定值