四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)高三一模文科數(shù)學(xué)試題

瀘縣五中高2021級(jí)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（文史類）本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件利用韋恩圖反應(yīng)的集合運(yùn)算直接計(jì)算作答.【詳解】韋恩圖的陰影部分表示的集合為，而全集，集合，，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）（為虛數(shù)單位）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)已知式子化簡(jiǎn)求出復(fù)數(shù)，從而可求出其虛部【詳解】由，得，所以的虛部為，故選：B3.已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是（）A.a2<－ab B.|a|<|b|C. D.【答案】C【解析】【分析】由特殊值法可以排除選項(xiàng)A,B,D，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知選項(xiàng)C正確.【詳解】法一：當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，滿足a>0>b，此時(shí)a2＝－ab，|a|＝|b|，，所以A，B，D不一定成立．因?yàn)閍>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以，所以一定成立，故選C.法二：因?yàn)閍>0>b，所以，所以一定成立，故選：C.【點(diǎn)睛】對(duì)于不等式的判定，我們常取特殊值排除法和不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷，另外對(duì)于指數(shù)式，對(duì)數(shù)式，等式子的大小比較，我們也常用函數(shù)的單調(diào)性．4.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】，故選：B5.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與軸平行,則點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先設(shè),再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得由已知得，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè),由題得所以,∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)函數(shù)求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是.6.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】從各項(xiàng)圖象的區(qū)別，確定先判斷函數(shù)奇偶性(對(duì)稱性)，再求導(dǎo)研究的符號(hào),判斷單調(diào)性即可.【詳解】，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)AB.當(dāng)時(shí)，，則，由，，故存在使得，即函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，排除D.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)后可得所求的值．【詳解】因?yàn)?，所以，而，故選：B．8.天文學(xué)中，用視星等表示觀測(cè)者用肉眼所看到的星體亮度，用絕對(duì)星等反映星體的真實(shí)亮度.星體的視星等，絕對(duì)星等，距地球的距離有關(guān)系式（為常數(shù)）.若甲星體視星等為，絕對(duì)星等為，距地球距離；乙星體視星等為，絕對(duì)星等為，距地球距離，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得的值.【詳解】由已知可得，上述兩個(gè)等式作差得，因此，.故選：A.9.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于的說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為 B.最小值為C.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D.圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】先由題意求出，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤，最大值為2，最小值為，所以B錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以C錯(cuò)誤，因?yàn)椋詧D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確，故選：D10.設(shè)函數(shù)其中.若在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函數(shù)在兩分段區(qū)間均為增函數(shù)，只需右段函數(shù)圖像的最低點(diǎn)不低于左段函數(shù)的最高點(diǎn)，建立的不等量關(guān)系，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，即可求出結(jié)論.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，在和上函數(shù)均為增函數(shù)，若在R上是增函數(shù)，則只需滿足即可.構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，且，故由，得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，注意分段函數(shù)各段有相同的單調(diào)性合并單調(diào)區(qū)間的條件，構(gòu)造函數(shù)解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且的圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則的最小值為（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用平移變換得出，再由對(duì)稱軸的性質(zhì)得出，，結(jié)合得出的最小值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線所以，解得，，又所以當(dāng)時(shí)，取最小值，為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用對(duì)稱軸的性質(zhì)結(jié)合得出的最小值.12.已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出最大值，由已知條件列不等式即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，，∵?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，又∵存在，使得成立，∴，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則.故答案為．【點(diǎn)睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．14.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則的值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】由為奇函數(shù)且可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).可將轉(zhuǎn)化為，由奇函數(shù)特點(diǎn)可得，在中，令，可得，問(wèn)題得解．【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).所以，又，在中，令，可得，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、等價(jià)變換的能力，還考查了賦值法，屬于中檔題．15.已知在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件確定的外接圓圓心，及三棱錐的外接球球心O、AC邊中點(diǎn)H的位置關(guān)系四邊形為矩形，進(jìn)而應(yīng)用正弦定理、側(cè)面外接圓半徑與外接球半徑、點(diǎn)面距之間的關(guān)系，求外接球半徑，即可求球的表面積.【詳解】如圖分別為的外心.由，即為中點(diǎn)，取中點(diǎn)則，又面面，面面，面，即面設(shè)球心為，則平面∴，又，面，面面，面面，∴平面，又平面.∴，即四邊形為矩形.由正弦定理知：，即，∴若外接球半徑R，則，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用面面垂直、等腰直角三角形的性質(zhì)，應(yīng)用三棱錐側(cè)面外接圓半徑、外接球半徑、點(diǎn)面距之間的幾何關(guān)系，結(jié)合正弦定理求外接球半徑，進(jìn)而求表面積.16.若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，證明函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)即可求得a的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，①若，則，所以在上單調(diào)遞增，在不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；②若，由得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處有最大值，設(shè)，，所以在定義域上為減函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以，即，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)中的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，屬于較難題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù).（1）求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間可得結(jié)果；（2）由得到，由可得，再根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】（1），由，得，則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由得，即，由，，可得，則，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)將拆為已知角和特殊角是本題解題關(guān)鍵.18.已知函數(shù)(，，)的部分圖象如圖所示，為圖象與軸的交點(diǎn)，，分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，的面積.（1）求的角的大小；（2）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小正周期及的值.【答案】（1）；（2）最小正周期為，.【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用余弦定理和三角形面積公式，易得，即求解.由，利用余弦定理可得，進(jìn)而得到函數(shù)的最小正周期為，然后由在函數(shù)的圖象上，求得即可.【詳解】（1），由余弦定理得，又，，即，，.由題意得，，由余弦定理，得，即，設(shè)邊與軸的交點(diǎn)為則為正三角形，且，函數(shù)的最小正周期為，，又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，即，即，即又，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的對(duì)稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．（3）求最小正周期時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，則最小正周期為T＝；（3）奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式．19.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出的值，再驗(yàn)證即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在是的最值，由求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：∵,所以，又在處取得極值，∴，解得.經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極值.所以；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，∴的極值點(diǎn)為，將，，在內(nèi)的取值列表如下：0(0，1)1(1，2)2－0＋b單調(diào)遞減極小值b－2單調(diào)遞增b＋2∵在內(nèi)有零點(diǎn)，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，與均為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)在線段上且，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）6【解析】【分析】（1）連接，交于，連接，根據(jù)題意易證，，從而得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可證明平面平面.（2）由題意易得：平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)，得到，再根據(jù)體積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，交于，連接，如圖所示：由于，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，所以四邊形為正方形，可得，又△與△均為等邊三角形，可得，在等腰△中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，，，平面.所以平面，又平面，所以平面平面．【小問(wèn)2詳解】由，△與△均為等邊三角形，四邊形為正方形，與相交于點(diǎn)，可知，在中，，為中點(diǎn)，則.則.在中，，，，所以.又平面平面，平面與平面交于，所以平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，又，所以，，.所以，三棱錐的體積為．21.已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)；（2）若，且，求的最小值和最大值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解，（2）由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得最小值，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而可得最大值.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)，時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴，故是上的增函數(shù)，同理是上的減函數(shù)，，，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，∴滿足條件.同理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，∴滿足條件，綜上.【小問(wèn)2詳解】由已知①當(dāng)時(shí)，由，可知，∴；②當(dāng)時(shí)，由，可知，∴；③當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，上遞增，∴當(dāng)時(shí)，，而，設(shè)，∵（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴在上單調(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，∴即.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的方程為，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l過(guò)原點(diǎn)O且與曲線C1交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C2上且OP⊥AB．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程并證明為常數(shù)；（2）若直線l平分曲線C1，求△PAB的面積．【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）寫出的極坐標(biāo)方程，設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，代入的方程，利用韋達(dá)定理證明為定值；（2）直線l平分曲線得直線l的方程，因?yàn)?，得直線OP的方程，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算三角形面積.【小問(wèn)1詳解】的一般方程為，由，，得的極坐標(biāo)方程為，證明：設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)，，將代入，得，為方程的