第7章 剛體力學(xué)

P261（習(xí)題）：7.1.3，7.2.2，7.3.3第七章部分習(xí)題第七章剛體力學(xué)(9學(xué)時(shí))§7.1剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§7.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量·轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

§7.6剛體的平衡§7.7自轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體:是受力時(shí)不改變形狀和體積的物體.

是一種理想模型.特點(diǎn)(1)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系（剛體可以看成由許多質(zhì)點(diǎn)組成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元.）(2)組內(nèi)任意兩質(zhì)元間的距離保持不變.剛體是一個(gè)不變的（連續(xù)分布）質(zhì)點(diǎn)系何為剛體？質(zhì)點(diǎn)系的相關(guān)定理和定律－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理－質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理－質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理－質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律§7.1剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.1.2剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)§7.1.1剛體的平動(dòng)§7.1.3角速度矢量§7.1.4剛體的平面運(yùn)動(dòng)§7.1.1

剛體的平動(dòng)O平動(dòng)——?jiǎng)傮w運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng).§7.1剛體運(yùn)動(dòng)的描述取參考點(diǎn)O

結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí),其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度.可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的運(yùn)動(dòng).O若剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),其上各質(zhì)元都在垂直于某一直線的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)且圓心在該直線上.這種運(yùn)動(dòng)稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng).該直線稱為轉(zhuǎn)軸.二、剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

(1)剛體上各點(diǎn)都在垂直于固定軸的平面內(nèi)(轉(zhuǎn)動(dòng)平面)做圓周運(yùn)動(dòng).其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線(轉(zhuǎn)軸)上.(2)剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直線在同樣的時(shí)間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度都相同.因而用角量描述剛體的運(yùn)動(dòng).1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特征

OO’xOp

稱角位置或角坐標(biāo).規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向

為正.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述(1)角坐標(biāo)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(2)角位移

為t時(shí)間內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過的角度.

=

(t)xOp(3)角速度在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,轉(zhuǎn)向只可能有兩個(gè)方向.取逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

>0，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

<0.每分轉(zhuǎn)n轉(zhuǎn)

角速度xOP(t)P(t+

t

)

+

(4)角加速度

可正可負(fù),當(dāng)

與

同號(hào)時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)加快,異號(hào)時(shí)減慢.角加速度勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)=常量與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式相對(duì)應(yīng).(5)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

=常量(6)角量與線量的關(guān)系線量——質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的位移r、速度v、加速度a

角量——描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)整體運(yùn)動(dòng)的注:r的原點(diǎn)必須在轉(zhuǎn)軸上.弧長線速度切向加速度法向加速度r

sOxy§7.1.3角速度矢量O

角速度是矢量，其方向沿轉(zhuǎn)軸且與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋系統(tǒng).

若剛體同時(shí)參與兩個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，則合成角速度按平行四邊形法則進(jìn)行合成.O注：角速度總是與無限小角位移相聯(lián)系,無限小角位移是矢量,所以角速度也是矢量.而有限角位移不是矢量.角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令轉(zhuǎn)軸與z

軸重合，有§7.1.4剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)——?jiǎng)傮w內(nèi)所有的點(diǎn)都平行于某一固定平面而運(yùn)動(dòng).如車輪滾動(dòng)等.1.剛體的平面運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：(1)每一質(zhì)元軌跡都是一條平面曲線，質(zhì)心始終落在一個(gè)平面上.(3)剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)狀況都相同.(2)轉(zhuǎn)軸總是保持平行，并與固定平面垂直.(4)可用與固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形來代表剛體.2.平面運(yùn)動(dòng)的方程剛體平面運(yùn)動(dòng)=B點(diǎn)平動(dòng)+繞B點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)

建立坐標(biāo)系Oxyz，使平面圖形在Oxyz面內(nèi),z軸與屏幕垂直.

在平面上任取一點(diǎn)B，稱為基點(diǎn)，以基點(diǎn)B為原點(diǎn)建各坐標(biāo)軸平行于Oxyz的動(dòng)坐標(biāo)系Bx′y′z′.BBB

AAA′A122′3.平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任意一點(diǎn)的速度平面上A點(diǎn)相對(duì)于Oxyz系的位置矢量剛體繞過基點(diǎn)的角速度4.無滑滾動(dòng)(純滾動(dòng))條件(1)有滑動(dòng)滾動(dòng)和無滑動(dòng)滾動(dòng)有滑滾動(dòng)——接觸面之間有相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)(摩擦力不夠大).無滑滾動(dòng)——接觸面之間無相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)(摩擦力足夠大)也稱純滾動(dòng).無滑滾動(dòng)條件:當(dāng)邊緣上一點(diǎn)P與支承面接觸的瞬時(shí)，[證]以圓柱體中心軸線上一點(diǎn)C為基點(diǎn),則邊緣上一點(diǎn)AxyOCP實(shí)際上,當(dāng)柱體繞中心轉(zhuǎn)動(dòng),其中心軸前進(jìn)的距離ryC2

r微分[例題]

如圖所示,初時(shí)方輪一尖角在鏈槽夾角處，經(jīng)轉(zhuǎn)過90°,相鄰尖角進(jìn)入相鄰尖槽。轉(zhuǎn)45°時(shí)，方形一邊中點(diǎn)恰好在鏈座最高點(diǎn)處.方形輪到中心A至鏈座支持面SS保持等距離.取方輪1/8，中心A與方輪的邊和鏈座曲線之切點(diǎn)的連線總與SS垂直.R=AB表示輪中心至其尖角的距離.求鏈座表面的曲線.xyOABETP

[解]

取鏈座某尖槽處為坐標(biāo)原點(diǎn)建立Oxy坐標(biāo)系.按已知條件，取A至切點(diǎn)T連線并延長至P，它垂直于x軸.因中心A總保持同樣高度，故(2)(1)故得所求曲線的方程用

表示角位移,它表示鏈座曲線為一懸鏈連.采用，（1）式變成取方程（2）變?yōu)橛梅e分表得回到原來變量y，有§7.2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§7.2.1剛體的質(zhì)心§7.2.2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§7.2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§7.2.1剛體的質(zhì)心在O-xyz坐標(biāo)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體,剛體是特殊質(zhì)點(diǎn)系，上述各式同樣適用于剛體.引入體密度

均質(zhì)物體[例題1]求質(zhì)量均勻，半徑為R的半球的質(zhì)心位置.[解]

設(shè)半球的密度為

，將半球分割成許多厚為dx的圓片，任取其一由對(duì)稱性得xROyzy[例題2]

在半徑為R的均質(zhì)等厚大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板,大小圓板相切,如圖所示.求余下部分的質(zhì)心.xyO[解]

由對(duì)稱性，yc=0余下部分設(shè)平板面密度為

,大圓板小圓板§7.2.2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體動(dòng)量質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)心加速度剛體的總質(zhì)量剛體所受的外力矢量和[例題3]一圓盤形均質(zhì)飛輪質(zhì)量為m=5.0kg，半徑為r=0.15m,轉(zhuǎn)速為n=400r/min.飛輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng).飛輪質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸d=0.001m，求飛輪作用于軸承的壓力.計(jì)入飛輪質(zhì)量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計(jì)算由于飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受重力對(duì)該壓力的影響）.[解]根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理P262習(xí)題7.2.3【分析】：設(shè)桿在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因桿在運(yùn)動(dòng)過程中，只受豎直向上的支承力和豎直向下的重力的作用，在水平方向無外力作用即質(zhì)心C無水平方向的移動(dòng)，只能沿y軸作加速直線運(yùn)動(dòng)，最后倒在桌面上。

【解】：建立O-XY坐標(biāo)系如圖所示上端點(diǎn)a:消去得：§7.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量·轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量§7.3.2剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理§7.3.4剛體的重心§7.3.5典型例子§7.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量·轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量1.轉(zhuǎn)軸為對(duì)稱軸zm1m2Or1r2

如圖,對(duì)O點(diǎn)因m1=m2=m故總角動(dòng)量2.轉(zhuǎn)軸為非對(duì)稱軸zm1m2O

2

1

如圖,對(duì)O點(diǎn)同樣有總角動(dòng)量與轉(zhuǎn)軸成

角.

剛體繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上任一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度方向相同.一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角.§7.3.2剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量設(shè)剛體繞Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體角動(dòng)量在z軸的投影剛體對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)z軸角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二轉(zhuǎn)動(dòng)剛體發(fā)生完全非彈性碰撞角動(dòng)量守恒質(zhì)量連續(xù)分布的剛體其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度.轉(zhuǎn)軸的位置;質(zhì)量分布.總質(zhì)量；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的決定因素：[例1]求均質(zhì)圓盤(m,R)過圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

.[解]xyzrdr盤由許多環(huán)組成2.幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓筒圓環(huán)I=mR2ωRmO′

O圓柱ωR2R1細(xì)圓棒ωR圓球球殼ωR(1)平行軸定理ABCdxmi

i

i

i

對(duì)CA軸平行C軸（質(zhì)心軸）對(duì)A由圖故：——平行軸定理4.反映轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)的定理(2)垂直軸定理（正交軸定理）mi

ixyzyixiO(3)可疊加原理

若一個(gè)復(fù)雜形狀的物體是由許多簡單形體組成，則這個(gè)復(fù)雜物體的對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各簡單形體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之疊加.§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量角動(dòng)量定理微分形式角動(dòng)量定理積分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)I=常量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理說明：驗(yàn)證剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理的演示實(shí)驗(yàn)§7.3.4剛體的重心重心——?jiǎng)傮w處于不同方位時(shí),重力作用線都要通過的那一點(diǎn).

如圖,被懸掛剛體處于靜止,C為重心,因C不動(dòng),可視為轉(zhuǎn)軸.因?yàn)閯傮w靜止,所以諸體元重力對(duì)C軸合力矩為零.xzCyABDWCCABDW則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)同，但概念不同.質(zhì)心是質(zhì)量中心，其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理.重心是重力合力作用線通過的那一點(diǎn).若取§7.3.5典型例子[例題2]如圖(a)表示半徑為R的放水弧形閘門，可繞圖中左方質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，總質(zhì)量為m,質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸處，閘門及鋼架對(duì)質(zhì)點(diǎn)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,可用鋼絲繩將弧形閘門提起放水，近似認(rèn)為在開始提升時(shí)鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為a=0.1g，g為重力加速度,不計(jì)摩擦,不計(jì)水浮力.圖(a)（1）求開始提升時(shí)的瞬時(shí)，鋼絲繩對(duì)弧形閘門的拉力和質(zhì)點(diǎn)對(duì)閘門鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門[圖(b)]需拉力是多少？圖(b)xyO圖(a)[解]（1）以弧形閘門及鋼架為隔離體，受力如圖(a)所示.建立直角坐標(biāo)系Oxy，向x及y軸投影得根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理起動(dòng)時(shí)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即起動(dòng)瞬時(shí)繩對(duì)閘板的拉力為，質(zhì)點(diǎn)O對(duì)閘門鋼架的支承力豎直向上，大小等于29mg/90.圖(b)(2)用表示提升平板形閘門所用的拉力，對(duì)閘門應(yīng)用牛頓第二定律，得：比較上面結(jié)果，可見提升弧形閘門所用的拉力較小.[例題3]如圖表示一種用實(shí)驗(yàn)方法測量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置。待測剛體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，線的一端繞在轉(zhuǎn)動(dòng)架的輪軸上，線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線的另一端通過定滑輪懸掛質(zhì)量為m的重物，已知轉(zhuǎn)動(dòng)架慣量為I0

，并測得m自靜止開始下落h高度的時(shí)間為t,求待測物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，不計(jì)兩軸承處的摩擦，不計(jì)滑輪和線的質(zhì)量，線的長度不變.hII0rm[解]分別以質(zhì)點(diǎn)m和轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)I+I0

作為研究對(duì)象，受力分析如圖.xyO§7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.4.1力矩的功§7.4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.4.3剛體的重力勢能對(duì)有限角位移作用于剛體的外力的功，可用外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩所做的功來計(jì)算.力矩的功率：§7.4.1力矩的功剛體中P點(diǎn)在力的作用下位移則力元功OzP

§7.4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和.任意質(zhì)元的動(dòng)能為：1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理

作用于剛體的外力對(duì)固定軸的力矩所做的功等于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的改變量.§7.4.3剛體的重力勢能

剛體的重力勢能與質(zhì)量集中在質(zhì)心上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢能相同.剛體的重力勢能[例題1]裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m1，半徑為R，重錘質(zhì)量為m2

，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動(dòng)柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落h高度時(shí)的速率v，不計(jì)阻力，不計(jì)繩的質(zhì)量及伸長.hR[解]方法1.利用質(zhì)點(diǎn)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理求解.由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理由剛體動(dòng)能定理約束關(guān)系聯(lián)立得方法2.利用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解將轉(zhuǎn)動(dòng)柱體、下落物體視作質(zhì)點(diǎn)系由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理約束關(guān)系聯(lián)立得[例題2]均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為l,一端為光滑的支點(diǎn).最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動(dòng)，如圖所示.（1）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，其下端點(diǎn)的線速度v；（2）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，桿對(duì)支點(diǎn)的作用力.O[解](1)由機(jī)械能守恒得聯(lián)立得CEp=0(2)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理分量式桿處于鉛直位置時(shí)不受力矩作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理，角加速度為零，所以方向向上.又§7.5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.5.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程§7.5.2作用于剛體上的力§7.5.3剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能§7.5.4滾動(dòng)摩擦力偶矩§7.5.5汽車輪的受力汽車的極限速度§7.5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.5.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程平面運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)+定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1.求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律m—?jiǎng)傮w的質(zhì)量.—所有外力的矢量和,剛體作平面運(yùn)動(dòng)，受力必是平面力直角坐標(biāo)系中的分量式(7.5.1)2.剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)在質(zhì)心系中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

選質(zhì)心坐標(biāo)系Cx’y’z’,設(shè)z’為過質(zhì)心而垂直于固定平面的軸.在質(zhì)心系中

M外i’—外力對(duì)質(zhì)心的力矩,又

M慣=0M慣—慣性力對(duì)質(zhì)心力矩.

即剛體相對(duì)于質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同樣服從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律.式(7.5.1)和(7.5.2)稱剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程.(7.5.2)§7.5.2作用于剛體上的力1.作用于剛體上力的兩種效果·滑移矢量(1)施于剛體的力的特點(diǎn)作用力通過質(zhì)心，對(duì)質(zhì)心軸上的力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動(dòng).力作質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度.施于剛體的某個(gè)點(diǎn)的力,決不可以隨便移到另一點(diǎn)去.AB(2)施于剛體的力是滑移矢量

右圖中,施于A點(diǎn)的力F′可用施于B點(diǎn)的力F′′代替,即力可沿作用線滑移.ABC作用于剛體的力的三要素：大小、方向和作用線.2.力偶和力偶矩力偶:大小相等方向相反彼此平行的一對(duì)力.大小與參考點(diǎn)的選擇無關(guān).Odm1m2

一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對(duì)質(zhì)心軸的力矩.§7.5.3剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能動(dòng)能動(dòng)能定理

如果剛體不太大，若剛體在運(yùn)動(dòng)中只有保守力作功，則系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒.[例題1]如圖，固定斜面傾角為

，質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無滑滾動(dòng)，求圓柱體質(zhì)心的加速度ac及斜面作用于柱體的摩擦力F.x

yOCx′y′[解]根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理y軸上投影對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理無滑滾動(dòng)[例題2]質(zhì)量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉(zhuǎn)動(dòng).前后輪相距L，與地面的摩擦因數(shù)為

.汽車質(zhì)心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為l.求前后車輪對(duì)地面的壓力.OCxyx′y′[解]

汽車受力如圖.y軸投影對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由上面方程可解出根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對(duì)地面的壓力大小分別為FN1、FN2

，但方向向下.[例題3]

在例題1中，設(shè)圓柱體自靜止開始滾下，求質(zhì)心下落高度h時(shí)，圓柱體質(zhì)心的速率.x

yOCx′y′[解]

因?yàn)槭菬o滑滾動(dòng)，靜摩擦力F不做功，只有重力W做功，機(jī)械能守恒.無滑滾動(dòng)條件§7.5.4滾動(dòng)摩擦力偶矩

滾動(dòng)摩擦發(fā)生的原因：是物體與接觸面處的非彈性形變引起.

設(shè)滾輪在接觸區(qū)無形變，地面有非彈性形變.OO

OM滾如圖對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生反向力矩——滾動(dòng)摩擦力矩M滾

——摩擦因數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測.M滾

使物體角速度減小，則接觸面各點(diǎn)有向前滑動(dòng)趨勢，從而產(chǎn)生反向摩擦力（滾動(dòng)摩擦）使物體減速.滾動(dòng)阻力因數(shù)

′

r是輪半徑.路面類型

′良好的瀝青或混凝土路面0.010~0.018一般的瀝青或混凝土路面0.018~0.020坑洼的卵石路面0.035~0.050泥濘土路（雨季或解凍）0.100~0.250結(jié)冰路面0.010~0.030表7.2常見汽車輪在幾種典型路面上的

′值滾動(dòng)摩擦<<滑動(dòng)摩擦CM滾CA設(shè)滾子勻速滾動(dòng)，則阻力和阻力矩分別為聯(lián)立得若滾子勻速平動(dòng)表7.2與表3.2相比，有§7.5.5汽車輪的受力汽車的極限速度CM滾M驅(qū)M滾驅(qū)CM滾驅(qū)動(dòng)輪被動(dòng)輪汽車牽引力[例題4]桑塔納汽車勻速行駛,汽車橫截面積為S=1.89m2,空氣阻力因數(shù)Cv=0.425.發(fā)動(dòng)機(jī)功率為P發(fā)=60kW,設(shè)經(jīng)內(nèi)部傳動(dòng)機(jī)構(gòu)能量損失10%,空氣密度

=1.2258N·s2/m4.汽車行駛所受空氣阻力求汽車沿水平路面行駛的最高速率vmax[解]取發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒物以外的整個(gè)汽車為質(zhì)點(diǎn)系功功率

P外=P發(fā)+滾動(dòng)摩擦力偶矩功率+空氣阻力功率P阻

不計(jì)滾動(dòng)摩擦力偶矩功率估算滾動(dòng)摩擦力偶矩的功率滾動(dòng)摩擦力偶矩的功率,W為總車重取得滾動(dòng)摩擦力偶矩的功率7.0kW影響最高速度的主要因素是空氣阻力.§7.6剛體的平衡§7.6.1剛體的平衡方程§7.6.2桿的受力特點(diǎn)§7.6剛體的平衡§7.6.1剛體的平衡方程無平動(dòng)（對(duì)某定點(diǎn)如A）剛體平衡的充要條件無轉(zhuǎn)動(dòng)

當(dāng)兩條件滿足時(shí)，外力對(duì)任何定點(diǎn)的力矩的矢量和也為零.是力對(duì)z軸力矩的代數(shù)和為零,z是垂直于Oxy面的任意軸.其中剛體平衡方程的其它形式(1)諸力對(duì)任意軸的力矩和為零.在力的作用平面內(nèi)選O和O′兩個(gè)參考點(diǎn)，OO′連線不與Ox軸正交(2)在力的作用平面內(nèi)選O、O′和O′′三個(gè)參考點(diǎn)，

O、O′和O′′

三點(diǎn)不共線§7.6.2桿的受力特點(diǎn)在下面三個(gè)條件下，可認(rèn)為桿僅受兩力而平衡.1.桿件兩瑞與其它物體的聯(lián)結(jié)是光滑鉸鏈聯(lián)結(jié).對(duì)光滑鉸鏈聯(lián)結(jié),只有通過節(jié)點(diǎn)的壓力.節(jié)點(diǎn)——鉸銷中心.2.負(fù)荷對(duì)桿的作用力過節(jié)點(diǎn).3.桿的自重與負(fù)荷相比可忽略不計(jì).[例題1]如圖表示小型火箭發(fā)射架.火箭重量為W=1.5kN，重心在C處.導(dǎo)軌重量為