?？谑兄攸c中學2023年數(shù)學高二年級上冊期末考試模擬試題含解析

?？谑兄攸c中學2023年數(shù)學高二上期末考試模擬試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)圓G：(x-l『+(y-l)2=9和圓。2：(x+iy+(y+2)2=4交于A,B兩點,則線段4B所在直線的方程為。

A.2%+3y+4=0B.3%-2y+l=0

C.2x+3y-3=0D.3x-2y=0

2.已知cos〈a,8〉=-g,則下列說法錯誤的是()

A.若a,匕分別是直線心4的方向向量，則直線小4所成的角的余弦值是:

B.若a,分別是直線/的方向向量與平面1的法向量，則直線/與平面a所成的角的正弦值是g

C.若a,匕分別是平面a,2的法向量，則平面a,尸所成的角的余弦值是:

D.若a,匕分別是直線/的方向向量與平面a的法向量，則直線/與平面a所成的角的正弦值是范

3

3.已知m,n為異面直線，mJ_平面a,n_L平面口，直線1滿足1_Lm,1_Ln,/a民貝!|

()

A.a〃0且///aB.a_L0且/±p

Ca與0相交，且交線垂直于/D.a與0相交，且交線平行于/

4.已知耳,心是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且/耳盟=60。,歸娟=3歸4則C的離心率為()

AbR而

22

C.V7D.713

5.某綜合實踐小組設(shè)計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計思路是將某雙曲線的一部分(圖1中A,C之間的曲線)繞

其虛軸所在直線/旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：

A4]=13cm,BB}=12cm,CQ20cm,=15cm,4G=48cm,其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、

乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示

學生甲乙丙丁

估算結(jié)果（c加3）25200萬17409萬148897r13809萬

其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：/柱=?尺，，％錐=；"7?2立，

%臺=;仍（/+水+女））

圖1圖2

A.甲B.乙

C.丙D.T

6.過點P（L3）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程是（）

A.2x+y-5=0B.2x+y+5=0

C.x-2y-5=0D.x-2y+5=0

7.等差數(shù)列｛/｝的公差為2,若。2，。4，。8成等比數(shù)列，則5=（）

A.72B.90

C.36D.45

8.雙曲線土-9=1的左焦點到其漸近線的距離是（）

3

A.lB.2

C.3D.4

9.已知拋物線丁=2.（〃>0）,0為坐標原點，以。為圓心的圓交拋物線于A、3兩點，交準線于M、N兩點,

若|AB|=4夜，|MV|=26,則拋物線方程為（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=8xD.y2=10x

10.已知點尸是拋物線C:y2=8x上的動點，過點p作圓/：(%—2『+y2=i的切線，切點為Q,則戶。|的最小值

為()

A.lB.逝

C.-^3D.；

11.用3,4,5,6,7,9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有()

A.在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有480個

B.在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰的共有120個

C.在這樣的六位數(shù)中，4,6不相鄰的共有504個

D.在這樣六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有60個

12.直線y=x+l與圓x2+y2=l的位置關(guān)系為

A湘切

B.相交但直線不過圓心

C.直線過圓心

D.相離

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.拋物線/=一4x的焦點坐標為.

14.已知空間向量a=(-L,2,—4),/?=(%,-1,3),若打倒+B),則戶

15.將邊長為2的正方形ABC。繞其一邊A3所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓柱體積為.

16.已知拋物線爐=2px(p>0)的焦點為e，準線為/,過點歹的直線與拋物線交于A,5兩點(點8在第一象限),

與準線/交于點P.若AF=g用，AP=AAF，則4=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知點耳(T0),乙(L0).點M滿足M周+|M聞=4.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

112

(2)直線/經(jīng)過點2(-3,0),與軌跡。分別交于點Af、N,與直線3x+4=0交于點0,求證：1獷.

18.(12分)如圖，在長方體A3CD—A4G2中，AB=AD=2,M=4.點E在。。上，且。石=；。0

Di

（1）求證：Ml平面做c；

（2）求二面角與-AC-3的余弦值

19.（12分）如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路/,湖上有橋A3（A3是圓。的直徑）.

規(guī)劃在公路/上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路形、QA.規(guī)劃要求，線段P3、QA上的所有點到點。的距

離均不小于圓。的半徑.已知點A,3到直線/的距離分別為AC和（C,。為垂足），測得A3=10,AC=6,

BD=n（單位：百米）.

（1）若道路總與橋A3垂直，求道路PB的長；

（2）在規(guī)劃要求下，點。能否選在。處？并說明理由.

20.（12分）如圖，在直三棱柱ABC—A31cl中，平面45C，側(cè)面43用4,且4^=43=2.

（1）求證：AB±BC；

（2）若直線AC與平面ABC所成的角為?，請問在線段4C上是否存在點E,使得二面角A—BE—C的大小為主，

o3

若存在請求出E的位置，不存在請說明理由.

21.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，且S"=2a「3"(〃eN*)

(1)證明數(shù)列｛q+3｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)在a“與?！?1之間插入〃個數(shù)，使得包括凡與火用在內(nèi)的這〃+2個數(shù)成等差數(shù)列，其公差為勿，求數(shù)列:的

前“項和方

22

22.(10分)已知曲線C：--------匚=1.

2+mm+1

(1)若曲線。是雙曲線，求加的取值范圍；

(2)設(shè)加=0,已知過曲線。的右焦點傾斜角為(的直線/交曲線。于A,B兩點,求

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.

【詳解】設(shè)4%,%),3(孫冉)，

因為圓G：(x-l)2+(y-l)2=9①和圓。2：(x+iy+(y+2)2=4②交于A,3兩點

所以由①-②得：T龍—6y—8=0,

即2x+3y+4=0,

故A4,%),B(X2,%)坐標滿足方程2x+3y+4=0,

又過AB的直線唯一確定，

即直線AB的方程為2x+3y+4=0.

故選：A

2、D

【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項即可判斷作答.

【詳解】對于A,因a*分別是直線的方向向量，且cos〈a,0〉=-g,直線乙4所成的角為凡貝！I

cos8=|cos〈Q,Z?〉|=g,A正確；

對于B,D,因凡。分別是直線/的方向向量與平面a的法向量，且cos〈a,b〉=-g,直線/與平面夕所成的角為9,

則有sine=|cos〈a,b〉|=g,B正確，D錯誤；

對于C,因a,Z?分別是平面生，的法向量，且cos〈a,b〉=-g,平面a,，所成的角為4，

則仇不大于90，cos〃=|cos〈a,Z?〉|=g,C正確.

故選：D

3、D

【解析】由加，平面a,直線/滿足/，加，且/aa,所以///a,又〃，平面￡,/，”,/?/7,所以〃〃？，由直

線為異面直線，且/“_L平面/〃，平面￡,則a與夕相交，否則，若a//6則推出相〃〃，與私”異面矛盾，

所以。，分相交，且交線平行于/,故選D

考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論

4、A

【解析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出「可|,|正月|,結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因為|尸耳|=3|尸發(fā)由雙曲線的定義可得|尸閭=2|尸用=2a,

所以|?居|=a,|尸制=3a；

因為/耳尸區(qū)=60。,由余弦定理可得4c2=9/+/一2x3a?a?cos60°，

整理可得4c2=7/,所以e2=S=Z,即6=立.

a242

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立，，。間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

5、D

【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.

【詳解】可將幾何體看作一個以§4=12cm為半徑，高為4G+A耳=48+15=63cm的圓柱，

再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為20-12=8cm,13-12=1cm,高分別為48cm,15cm,

%柱=兀X122義63=9072兀(cn?),

腺錐二g兀義(82x48+Fxl5)=1029(cm3)，

3

所以花瓶的容積90727rcm3<V<lOlORcm,

故最接近的是丁同學的估算，

故選：D

6、A

【解析】根據(jù)所求直線垂直于直線x-2y+3=0,設(shè)其方程為2x+y+m=0,然后將點P(l,3)代入求解.

【詳解】因為所求直線垂直于直線x-2y+3=0,

所以設(shè)其方程為2x+y+m=0,

又因為直線過點P(l,3),

所以2xl+3+m=0,

解得m=-5

所以直線方程為：2x+y—5=0,

故選：A.

7、B

【解析】由題意結(jié)合出，。4，。8成等比數(shù)列，有%2=(%-4)(%+8)即可得知，進而得到%、%，即可求S9.

【詳解】由題意知：a2=a4-4,必=%+8，又生，%，。8成等比數(shù)列，

。4~=(。4-4)(&+8)>解之得。4=8,

，q=g-3d=8—6=2,則%=q+(加一l)d=2n,

=9x(2+2x9」o,

92

故選：B

【點睛】思路點睛：由其中三項成等比數(shù)列，利用等比中項性質(zhì)求項，進而得到等差數(shù)列的基本量

1、由冊,外,4成等比，即。/=為"%；

2、等差數(shù)列前n項和公式S"="⑷的應(yīng)用.

〃2

8、A

【解析】求出雙曲線焦點坐標與漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.

2_________

【詳解】在雙曲線'—丁=1中，。=也,b=l,0=，/+/=2,

所以，該雙曲線的左焦點坐標為（一2,0）,漸近線方程為>=±/x，即》±石?=0,

,2,

因，該雙曲線的左焦點到漸近線的距離為〃=萬『=1.

V1+3

故選：A

9、C

【解析】設(shè)圓。的半徑為乙根據(jù)已知條件可得出關(guān)于P的方程，求出正數(shù)。的值，即可得出拋物線的方程.

【詳解】設(shè)圓。的半徑為廠，拋物線的準線方程為x=-由勾股定理可得廠=但+5，

2\4

因為|A4=40,將丁=±2&代入拋物線方程得2P尤=8,可得x=q,

,4廣）,,[16—+5=^4+8

不妨設(shè)點A-,2V2,則廠=。4=二+8,所以，4p-,解得p=4,

I。J[p>0

因此，拋物線的方程為/=8x.

故選：C.

10、C

【解析】分析可知圓M的圓心為拋物線。的焦點，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得忸。|的最小值.

【詳解】設(shè)點P的坐標為（加,“），有〃2=8%

由圓”的圓心坐標為（2,0）,是拋物線C的焦點坐標，有1PMi=m+222,

由圓的幾何性質(zhì)可得PQ±QM,

又由|PQ|=yl\PMf-\QMf=—1>e―1=6,可得|PQ|的最小值為73

故選：C.

11、A

【解析】A選項，特殊位置優(yōu)先考慮求出這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)個數(shù)；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相

鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.

【詳解】用3,4,5,6,7,9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位為3,5,7,9中的一位，有A：種，其余五個數(shù)

位上的數(shù)字進行全排列，有8種，綜上：在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有A：6=480個，A正確；

在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有闋=144

個，B錯誤；

在這樣的六位數(shù)中,4,6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列,再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有/用=480

個，C錯誤；

在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有冬=30個，D錯誤.

4

故選：A

12、B

【解析】求出圓心到直線的距離d,與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，同時判斷圓心是否在直

線上，即可得到正確答案

解：由圓的方程得到圓心坐標（0,0）,半徑

1110

則圓心（0,0）到直線y=x+l的距離d=-/=f======^<r=l,

Vl2+（-1）2

把（0,0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心

所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心

故選B

考點：直線與圓的位置關(guān)系

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13^t-l.ji

【解析】根據(jù)拋物線方程求得P，則根據(jù)拋物線性質(zhì)可求得拋物線的焦點坐標.解：拋物線方程中p=2,.?.拋物線焦

點坐標為（-1,0）故填寫l：5

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).屬基礎(chǔ)題

14、7

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標運算，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，易知a+沙=(X-1,1,—1)，因為a，(a+。)，所以a-(a+b)=O,

即(x_1)x(_1)+1x2+(—1)x(-4)=0,解得％=7

故答案為：7

15、871

【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據(jù)圓柱的體積公式計算可得；

【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑廠=2,高h=2,所以V=;rr2〃=萬x22x2=8;r;

故答案為：8?

16、-3

【解析】過點A作A4'，/,垂足為4,過點3作班'，/,垂足為3',然后根據(jù)拋物線的定義和三角形相似的關(guān)系

可求得結(jié)果

【詳解】過點A作A4'，/,垂足為A,過點3作班'，/,垂足為3',

由拋物線的定義可知|AA'|=仙耳，忸陰=忸同，

不妨設(shè)|AF|=X,因為=所以|EB|=2x,

因為△如ASAMB',所以|PA局|I=AA扇I=\兩AF=\子I

即1—%—]=|2=」，所以|B4|=3x,

|PA|+|AB|\PA\+3X211

因為AP與AF反向，所以a=一3.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

（2）證明見解析

【解析】（1）根據(jù)已知得點M的軌跡C為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得方程；

（2）直線/的方程設(shè)為丁=左（工+3）,與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及線段長公式進行計算即可.

【小問1詳解】

由橢圓定義得，點M的軌跡C為以點耳、鳥為焦點，長軸長為4的橢圓，

22

設(shè)此橢圓的標準方程為=+與=1,則由題意得。=2,0=1乃=石，

ab

22

所以C方程為土+乙=1;

43

【小問2詳解】

設(shè)點M、"的坐標分別為（…,%）、（%2，%），

由題意知直線/的斜率一定存在，設(shè)為左，則直線/的方程可設(shè)為丁=左（％+3）,

22

1聯(lián)立可得（3+45）%2

與橢圓方程工+工+24左2^+36左2—12=0,

43

A>0

-24k2

由韋達定理知＜

1

-3+4左2

36/一12

1123+4公

所以尸M=Jl+12k-(-3)|=Jl+12k+3|,

PN=&+左2,-(-3)|=,1+12昆+3|,

又因為再>—3,x2>—3,

11_11_1]

所以PM+PN，1+42昆+3廣，1+42昆+3|Jl+，(％+3)+J1+42伍+3)

/、

1+6

1_12

%1+%2+63+4k

&+公(-24左2、

<X1X2+3(X1+X2)+9；J1+k236左2—12

+9,

、3+4k2+(3+4左2j

_1186

7T7FU5JsTiTF

4

又由題知XQ=——,

所以PQ=Vl+F|-|-(-3)…+3”

26

所以式=—/，

PQ5V1+V

112

所以麗+麗=瓦’得證?

18、(1)證明見解析

⑵-

3

【解析】(1)建立空間直角坐標系，分別寫出BE，AB},AC的坐標，證明5E_LA5i，BEVAC,即可得證；

(2)由(1)知，陰。的法向量為BE，直接寫出平面ABC法向量，按照公式求解即可.

【小問1詳解】

在長方體A3CD-4用012中，以A為坐標原點，4氏4。,9所在直線分別為％軸，V軸，z軸建立如圖所示空間

直角坐標系

因為AB=AD=2,A4)=4,DE=—DD

4y

所以4(0,0,0),5(2,0,0),磯0,2,1),C(2,2,0),4(。，。，4)，嗎(2,0,4)

則3E=(-2,2,1),做=(2,0,4),AC=(2,2,0),

所以有BE-M=0,BEAC=0>則5E，A3I，BEVAC,又A3"AC=A

所以Ml平面鉆c

小問2詳解】

由（1）知平面世C的法向量為跖=（一2,2,1）,而平面ABC法向量為“=（0,0,1）

BEn11

所以cos(BE,〃)=

BE-\n74+4+1x13'

由圖知二面角B.-AC-B為銳二面角，所以二面角B.-AC-B的余弦值為1

19、(1)15(百米)

（2）點。選在D處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析

【解析】（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，得圓。及直線收的方程，進而得解.

（2）不妨點。選在。處，求A。方程并求其與圓的交點，在線段A。上取點不符合條件，得結(jié)論.

【小問1詳解】

如圖，過。作OHJJ,垂足為H.

以。為坐標原點，直線為y軸，建立平面直角坐標系.

因為A3為圓。的直徑，AB=10,所以圓。的方程為必+丁2=25.

AC+BD

因為AC=6,應(yīng)）=12,所以?！?=9,故直線/的方程為y=9,

2

則點A,3的縱坐標分別為3,-3

從而4(4,3),B(-4-3),

3

直線"的斜率為

4

因為。所以直線網(wǎng)的斜率為-一，

3

425

直線尸5的方程為y=——令*=—13,得y=9,P(-13,9),

所以PB=J(-13+4『+(9+3『=15.

因此道路總的長為15(百米).

【小問2詳解】

若點。選在。處，連結(jié)AD,可求出點。(-4,9),又4(4,3),

3

所以線段AD：y=—Z%+6(—4<x<4).

fx2+y2=25?

,24

由3解得》=4或戶丁，

y=-±x+625

I4

故不妨?。?3,得到在線段A。上的點

因為OAf<々+42=5，

所以線段上存在點到點。的距離小于圓0的半徑5.

因此點。選在。處不滿足規(guī)劃要求.

20、(1)證明見解析

(2)存在，點E為線段中點

【解析】(1)通過作輔助線結(jié)合面面垂直的性質(zhì)證明側(cè)面445與，從而證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，再求相關(guān)的向量坐標，求平面衛(wèi)鉆的法向量，利用向量的夾角公式求

得答案.

【小問1詳解】

證明：連接AB1交AB1于點。,

因明=AB,則AD_LA3

由平面ABC,側(cè)面4AB51，且平面ABC側(cè)面AA34=A3,

得A。，平面ABC,又BCu平面ABC,所以ADLBC

三棱柱ABC-AgC是直三棱柱，則M，底面ABC,所以3c.

又知AD=A,從而側(cè)面445瓦，

又AB1側(cè)面A}ABBi,故AB，6c.

【小問2詳解】

由（1）.AD，平面\BC,則NAC￡＞直線AC與平面\BC所成的角，

所以NACD=工，又AD=叵，所以AC=20,8c=2

6

假設(shè)在線段AC上是否存在一點E,使得二面角A-班-C的大小為g27r,

由ABC-451cl是直三棱柱，所以以點A為原點，以AC、A4所在直線分別為尤，z軸，以過A點和AC垂直的直線

為y軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-孫z,

如圖所示，則4（0,0,2）,C（20,0,0）,3（2,2,0）,耳（2,2,2）

且設(shè)4石=彳4。(0＜彳＜1),43=(20,0,—2),

得用2屆,0,2—24)

所以AE=(2&,0,2—22),A5=(2,2,0)

設(shè)平面E45的一個法向量4=(x,y,z),由AB,勺得:

2&x+(2-2/l)z=0_L,履)

\，取々=1,-1,——,

2%+2y=0(^-1J

由（1）知AB］，平面ABC,所以平面C班的一個法向量M=（2,2,2）,

I2V22I

2%

所以cos——1/1-11解得力

3I網(wǎng)時