2023年廣東省揭陽市普寧市高一年級下冊學期期末數(shù)學試題（含解析答案）

2023—2022高中一年級教學質(zhì)量測試

數(shù)學科真題

一、單項選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項

符合要求.

1.復數(shù)一2一的虛部為（）

1+31

311.3

A.-B.-C.——D.3-

5555

（答案）D

（解析）

（分析）利用復數(shù)的除法運算法則即可求解.

（詳解）由已知得

2_2（l-3i）_2-6i_l3.

l+3i-（l+3i）（l-3i）-10~5~5X，

133

則復數(shù)《一yi的虛部為Sg，

應選：D.

2.如圖是一個長方體的展開圖，如果將它復原為長方體，那么線段力8與線段CO所在的直線（）

A.平行B.相交C.是異面直線D.可能相交，也可能是異

面直線

（答案）C

（解析）

（分析）將展開圖復原成長方體，即可推斷

（詳解）如圖，將展開圖復原成長方體，易得線段AS與線段是異面直線，

D

應選：C

3.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他

們在講座前和講座后各答復一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確

率如圖，則（）

0

12345678910

居民編號

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的中位數(shù)大于85%

講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

（答案）B

（解析）

（分析）對于AB,依據(jù)中位數(shù)的定義求解推斷，對于C,依據(jù)數(shù)據(jù)的集中程度推斷，對于D,依據(jù)極差

的定義推斷

（詳解）對于A,10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率分別為65%,60%,70%,60%,65%,75%,

90%,85%,80%,95%,從小到大排列為60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,所以其中

70%+75%

位數(shù)為=72.5%>70%,所以A錯誤,

2

對于B,10名社區(qū)居民在講座后問卷答題的正確率分別為90%,85%,80%,90%,85%,85%,95%,100%,

85%,100%,則從小到大排列為80%,85%,85%,85%,85%,90%,90%,95%,100%,100%,所以其中位數(shù)

為85%+90%=875%>85%,所以B正確，

2

對于C,因為講座前問卷答題的正確率比講座后問卷答題的正確率的數(shù)據(jù)分散，所以講座前問卷答題的正

確率的標準差大于講座后正確率的標準差，所以C錯誤，

對于D,講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%,講座后問卷答題的正確率的極差

100%-80%=20%,所以講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，所以D錯誤，

應選：B

4.已知加，〃，/是三條不同的直線，a,0,7是三個不同的平面，則以下命題正確的選項是（

A.假設m±n,〃_!_/,則加J_/

B.假設。工4，01y,則ad.7

C.假設m///3,/?!/,則加〃/

D.假設mVa,n//m,尸，則a〃/7

（答案）D

（解析）

（分析）依據(jù)每項所提供的條件，思考可能的圖像，或者推理，逐項分析.

（詳解）對于A,即〃_L/w,〃_L/,假設力和/在一個平面內(nèi)，并且相交，

則〃垂直于例，所確定的平面，即/與/的夾角可以不等于90'，故A錯誤：

對于B,假設aP,如圖：

則a與7可平行，可相交，故B錯誤；

對于C,假設m〃尸，y,則必與/平行或相交，或歸片,故C錯誤;

對D,假設0"La,“〃〃？，則〃_La,又〃_L￡,則a〃/?,故D正確；

應選：D.

5.在口48。中，角A,B,。所對的邊分別是葭°,b=2,Z=%則cos八

（）

A.逅B,一逅或逅

cm

333T'-TT

（答案）A

（解析）

（分析）利用正弦定理求出sin8,再求cos8.

V6_2

則cos5=±^-i

【詳解）由正弦定理得一7=嬴萬，得sinB=>

sin—33

4

逅，所以A正確.

因為a>b,則力〉8,故cos4<cos8,則cos8

3

應選：A.

121

6.假設隨機事件48滿足尸（/8）=%，。（/）=§，P（8）=W，則事件A與8的關系是（

A.互斥B.相互獨立C.互為對立D.互斥且獨立

（答案）B

（解析）

（分析）利用獨立事件，互斥事件和對立事件的定義推斷即可

21

（詳解）解：因為尸（/）=],P（B）=',

又因為P（/8）=』N0,所以有尸（/8）=尸（4）尸（8）,所以事件A與5相互獨立，不互斥也不對立

應選：B.

7.在長方體/8CC-/4CQ中，已知片。與平面Z8CD和平面44/田所成的角均為30。，則（）

A.AB—2ADB.AB與平面AB.QD所成的角為30°

C.AC=CB、D.8Q與平面所成的角為45。

（答案）D

（解析）

（分析）依據(jù)線面角的定義以及長方體的結構特征即可求出.

（詳解）如下圖：

不妨設/3=d4。=6,/4=。，依題以及長方體的結構特征可知，用。與平面48CQ所成角為

.…。b

NBQB,回。與平面44乃田所成角為/。4/,所以5皿30=苒入=3；，即小=。，

D}UD}L)

BQ=2c=\la2+b2+c2，解得a=>/2c?

對于A,AB-a,AD-b,AB=6AD，A錯誤；

對于B,過8作BEIZA于E,易知8￡1平面ZqCQ，所以力區(qū)與平面力4G。所成角為/8ZE,

J5

因為tan/B/E=—c=二一，所以N8ZEw300，B錯誤；

a2

2212

對于C,AC-\Ja+Z>=y[?>cCB]-yjh+c~—y[2c?ACCBX,C錯誤；

對于D,BQ與平面88cle所成角為/。片。，sinZ￡Jfi.C=—=—=而0</Z>耳C<90'

BQ2c2

,所以ND8c=45°.D正確.

應選：D.

8.如圖，在△NB。中，AF=-JB,AE=-AC,BE交CF于點、P,AP=xAB+yAC,則二=

32y

B

3

A.2B.-

2

C.-D.y

32

（答案）A

（解析）

x

（分析）由三點共線的性質(zhì)得出一.

y

（詳解）因為8,P,￡三點共線，所以方=4萬+（1-丸）女=2萬+

因為廠,P,C三點共線，所以NA=tAF+（l-t）AC=-tAB+（1-t）AC

所以《3，解得4=1=3x=_2x±3=±1,y=]—13=_1

x1

—=-x4=2

y2

應選：A

二、多項選擇題：本大題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，局部選對的得2分.

9.已知復數(shù)z=（-l+i）i（i為虛數(shù)單位），對于復數(shù)z的以下描述，正確的有（）

A.|z|=2B.z2=2i

C.z的共軌復數(shù)為1+iD.z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限

（答案）BD

（解析）

（分析）先由z=（-l+i）i求出復數(shù)z,然后逐個分析推斷即可

（詳解）z=（—1+i）i=—i+i2=—1—i,

對于A,|z|=J（_l）2+（_1）2=0,所以A錯誤，

對于B,?=（-l-i）2=l+2i+i2=2i,所以B正確，

對于C,因為z=-l—i,所以三=-i+i，所以C錯誤，

對于D,因為z=-1-i,所以z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，所以D正確，

應選：BD

10.已知點O,N在△/8C所在平面內(nèi)，且|3彳|=|礪|=|碇I，福+福+配=6，則點o,N分別

是A4BC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

（答案）AC

（解析）

（分析）分析出點0到三角形的三個頂點的距離相等，所以。為口Z3C的外心；先證明點N在48邊的

中線上，同理可得點N在其他邊的中線上，所以點N為口N3C的重心.

（詳解）因為|必|=|礪|=|0心|,

所以點O到三角形的三個頂點的距離相等，

所以。為口/8C的外心；

由茄+血+標=0,得麗+麗=—近=麗，

由中線的性質(zhì)可知點N在工8邊的中線上,

同理可得點N在其他邊的中線上，

所以點N為口Z8C的重心.

應選：AC.

11.一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，2個白球，每次從中隨機摸出1個

球，則以下結論中正確的選項是（）

3

A.假設不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為g

3

B.假設不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為一

10

C.假設不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為g

IQ

D.假設有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為自

（答案）ACD

（解析）

（分析）依據(jù)給定條件，用古典概型的概率公式推斷ABD,用條件概率公式推斷C即可

C2C'3

（詳解）對于A,假設不放回的摸球3次，則恰好2次摸到紅球的概率為一^^=三，所以A正確，

對于B,因為裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，所以不放回的摸球2次，則第一次摸到

3

紅球的概率所以B錯誤，

對于C,設事件A為第一次摸到紅球,事件5為第二次摸到紅球,則尸⑷=|,P（AB）=W亮,

3

所以0⑶加畿告

所以假設不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸

5

到紅球的概率為所以C正確，

33218

對于D,假設有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為一x—x—=——，所以D正確,

555125

應選：ACD

12.在正方體/BCD—aACQ中，44=2,點P在線段8G上運動，點0在線段上運動，則以下

說法中正確的有（）

A.當尸為BG中點時，三棱錐尸-"84的外接球半徑為

B.線段尸。長度的最小值為2

C.三棱錐D「APC的體積為定值

D.平面8P。截該正方體所得截而可能為三角形、四邊形、五邊形

（答案）ABC

（解析）

（分析）A：易知三棱錐尸-力84的外接球球心為中點，據(jù)此即可求解推斷；B：依據(jù)幾何圖形即可推

斷線段尸。長度的最小值為48；C：易知七）「we=為定值；D：作出平面8P。與正方體各個面的

交線即可推斷其形狀.

（詳解）對于A,當尸為8G中點時,

V8CG片是正方形，??.B]P±BC[,

平面3CG4，B/u平面BCC[B],；"BLBF，

,：ABDBC,=B,AB、3，1<=平面482，，4尸，平面/即》,

?.,4尸（2平面/241,二平面/「分，平面482

易知心△48。外接圓圓心為4P中點，RtZ\/P與外接圓圓心為〃耳中點，

則過R&BP外接圓圓心作平面ABP的垂線，過RtA4PB1外接圓圓心作平面4PBi的垂線，易知兩垂線

交點為/4中點，則三棱錐尸4的外接球球心即為/片中點，外接球半徑即為等=a,故A正

確；

對于B,如圖過尸作PGJ_8C于G,過0作0E_LPG于E,

易知PQNQE=AG力AB,故線段尸。長度的最小值為/8=2,故B正確;

對于C,

BC\//AD{,AD,u平面ACD],BC,(X平面/C",，BCt〃平面ACD1,

?:PWBC、，故尸到平面NC"的距離為定值，又用為定值，則=為定值，故c正確:

對于D,易知，截面8P。與平面8CG4的交線始終為BG，連接易知BC"/AD】,過。作。尸〃

交4A于凡連接下￡、QB,則BObG即為截面，其最多為四邊形:

當0與4重合，P與G重合，此時截面8P0為三角形:

平面BPQ截該正方體所得截面不可能為五邊形，故D錯誤.

應選：ABC.

（點睛）此題綜合考察空間中的點、線、面的關系，A選項的關鍵是找到外接球球心，B選項利用幾何關

系即可推斷，C選項利用三棱錐等體積法即可推斷，D選項需充分利用空間里面的平行關系作出截面形狀

進行推斷.

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.

13.已知向量3=（-1,6）,則向量￡的單位向量的坐標是.

（解析）

（分析）現(xiàn)依據(jù)同=必丁求卜|,再代入向量］的單位向量為符運算求解.

（詳解）0=（-1,V3）,則同=4—1）2+（G）2=2

.z（1⑸

二向量4的單位向量為尸［=-

HI22）

…x（1⑻

故答案為：一二，一丁?

22

14.為了解某地居民的月收入情況，一個社會調(diào)查機構調(diào)查了20000人，并依據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率

分布直方圖如下圖（最后一組包含兩端值，其他組包含最小值，不包含最大值）.現(xiàn)按月收入分層，用分層

隨機抽樣的方法在這20000人中抽出200人進一步調(diào)查，則月收入在3000,4000）（單位：元）內(nèi)的應

（解析）

（分析）依據(jù)頻率分布直方圖求出3000,4000）的頻率，從而可求出應抽取的人數(shù)

（詳解）月收入在3000,4000）的頻率為1一（0.0001+0.00025x2+0.00015+0.00005）x1000=0.2,

故應抽取200x0.2=40（人）.

故答案為：40

15.正四面體相鄰兩側面所成二面角的正弦值是

（答案）走

3

（解析）

（分析）由已知中正四面體的全部面都是等邊三角形，取CC的中點E,連接ZE,8E,由等腰三角

形"三線合一”的性質(zhì)，易得N4E8即為相鄰兩側面所成二面角的平面角，解三角形N8E即

可得到正四面體（全部面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側面所成二面角的余弦值和正弦

值.

（詳解）取。的中點E,連接如以下圖所示：

設四面體的棱長為2,則A￡=8E=Ji

^.AEVCD,BEVCD,則即為相鄰兩側面所成二面角的平面角，

“A-…AE1+BE2-AB21

在/\ABE中，cosZAEB=-----------------=—,

2AEBE3

故正四面體（全部面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側面所成二面角的正弦值是迪.

3

故答案為：述

3

（點睛）（1）此題主要考查二面角的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）二面角

的求法方法一：（幾何法）找一作（定義法、三垂線法、垂面法）—證（定義）一指一求（解三角

___\m*ri\___

形）.方法二：〔向量法）首先求出兩個平面的法向量機,〃；再代入公式cosa=±K3（其中〃?，〃分別

網(wǎng)〃I

是兩個平面的法向量，a是二面角的平面角.）求解.〔注意先通過觀察二面角的大小選擇“土”號）

16.某市為了緩解交通壓力，實行機動車限行政策，每輛機動車每周一到周五都要限行一天，周六和周日

不限行.某公司有A,B,C,D,E五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛.己知E車周四限行，B車

昨天限行，從今天算起，A,。兩車連續(xù)四天都能上路行駛，￡車明天可以上路，由此可推測出今天是

星期.

（答案）四

（解析）

（分析）從4c考慮，它們只能在前三天限行，考慮到昨天8行，還有4c的限制，今天是周四.

（詳解）由題意，4c只能在每周前三天限行，

又昨天B限行,￡車明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，

因此今天是周四.這樣周一、周二4c限行，周三8限行，周四E限行，周五。限行.滿足題意.

故答案為：四.

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知q=（l,2）,b=（-3,1）

（1）設Z，3的夾角為。，求COS。的值；

（2）假設向量￡+左B與［一片B相互垂直，求左的值

（答案）（1）包

而

（2）k=±旦.

2

（解析）

（分析）（1）依據(jù)平面向量的夾角公式即可解出：

（2）依據(jù)平面向量的坐標運算以及垂直的坐標表示即可解出.

（小問1詳解）

--1-11_1_ab_lx（-3）+2xl-1V2

因為eb第仰cos，，所以co，”a麗二^^扃匕=瓦胡二一而.

（小問2詳解）

由。=（1,2）,3=（—3,1）可得2+父=（1,2）+左（-3,1）=（1—3%,2+左），

a—kb=（1,2）—左（一3,1）=（1+3左,2—%）,因為向量q+kg與。_左6相互垂直，

所以,+悶?（￡—悶=（1—3左）（1+3左）+（2+左）（2—左）=0,即2左2=1，解得：k=+—.

18?在口/BC中，acosB+bcosA=42ccosC-

⑴求C；

[2]假設b=6,口工8。的面積為6,求c的值.

IT

（答案）（1〕c=-

4

（2）c=2舊

（解析）

（分析）（1）結合正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡整理可得cosC=在，進而結合特別角的三角函

2

數(shù)值即可求出結果；

（2）利用三角形的面積公式可以求出邊進而結合余弦定理即可求出結果.

（小問1詳解）

acosB+bcosA=V2ccosC，

結合正弦定理可得sin/cos8+sin8cosZ=0sinCeosC，

即sin（/+8）=sinC=V^sinCcosC,又Ce（0/）,sinCwO,

故cosC=-->C~-.

24

（小問2詳解）

由6=6,口28c的面積為6,

c=—absinC=—xax6x——=6>故a=2加，

°ABC222

/y

由=/+〃—2McosC=8+36—2x20x6xJ=20,

2

可得c=25/5.

19.圓柱OP如下圖，NC為下底面圓的直徑，DE為上底面圓的直徑，底面/8C,AB=2,

AD=AE,AC=BD.

（1）證明：8P〃面NEC.

（2）求圓柱OP的體積.

（答案）（1）見解析（2）40兀

（解析）

（分析）（1）連接3。，OE,OP,依據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得OP〃BD,證明四邊形。尸08為平行

四邊形，從而可得PE〃0B,再證明四邊形PEQ8為平行四邊形，可得PB〃OE,再依據(jù)線面平行的

判定定理即可得證；

（2）連接NP,證明?！阓!.平面NP。，從而可得即可求得圓柱的底面圓的半徑和高，再依據(jù)

圓柱的體積公式即可得解.

（小問1詳解）

證明：連接60,OE,OP,

可得。P_L平面ABC,

5。，平面48C,

：.0P//BD,

,/OP=BD,

：.四邊形OPDB為平行四邊形，

DP//OB,

：.PE〃OBiLPE=OB,

四邊形PEOB為平行四邊形，

PB//OE,

OEU平面AEC,BP<z平面AEC,

，BP//平面AEC-,

（小問2詳解）

解：連接ZP,

VAD^AE,：.APIDE,

?.?。夕垂直上底面，,。。_1。后,

VAP,OPu平面/PO,APoOP=P,

：.DE1平面APO,

又ZOu平面ZPO,

DEVAO,

?：DE//BO,：.BOLAC,

.?.□NBC為等腰直角三角形，AC=BD=2g，

圓柱OP的體積為2萬x2夜=4夜萬.

20.（中國制造2025）是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領，制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立

國之本、興國之器、強國之基.開展制造業(yè)的根本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設制造強國的生命

線某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進行技術升級改造，為了分析改

造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項質(zhì)量

指標值，依據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）

[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

質(zhì)量指標值[75,85)[85,95)

產(chǎn)品6010016030020010080

（1）估量產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值的70百分位數(shù).

（2）估量這組樣本的質(zhì)量指標值的平均數(shù)嚏和方差52（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）;

⑶設國表示不大于X的最大整數(shù)，｛》｝表示不小于X的最小整數(shù)，S準確到個位，4=5-

V*_1_MS

b"=5--y—,〃eN*，依據(jù)檢驗標準，技術升級改造后，假設質(zhì)量指標值有65%落在［q,4］內(nèi)，則

可以推斷技術改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定；假設有95%落在［4，打］內(nèi)，則可以推斷技術改造后的產(chǎn)品質(zhì)

量穩(wěn)定，可認為生產(chǎn)線技術改造成功.請問：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估量，是否可以判定生產(chǎn)線的技術改造是成功

的？（參考數(shù)據(jù)：7171?13.V241?16）

（答案）（1）69（2）平均數(shù)61和方差241

（3）不能判定生產(chǎn)線技術改造成功

（解析）

60100160300200

（分析）（1）由-------F-------F-------F+（x-65）-=0.7可求得結果;

10001000100010001000x10

（2）依據(jù)平均值和方差公式求解即可得解：

（3）依據(jù)定義求出力再依據(jù)頻率分布表可求出結果.

（小問1詳解）

60100160300200

設產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值的70百分位數(shù)為x,則----------F-------F----------F+（x-65）-0.7

10001000100010001000x10

，解得x=69.

所以估量產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值的70百分位數(shù)為69.

（小問2詳解）

由題，可知

x=30x0.06+40x0.1+50x0.16+60x0.3+70x0.2+80x0.1+90x0.08=61?

?=（30-61）2X0.06+（40-61）2X0.1+（50-61）2X0.16+（60-61）2X0.3+（70-61）2X0.2+（80-61）2

X0.1+（90-61）2X0.08=241.

（小問3詳解）

由1=241知,5?16,

皿u[61-161公於匚「61+161”

則q=5x<-1=45,4=5x-=75,

該抽樣數(shù)據(jù)落在［45,75］內(nèi)的頻率約為0.16+0.3+0.2=66%>65%；

<［61-2x161....「61+2x16］on

又的=5x<----------->=30,D2=5x------------=90,

該抽樣數(shù)據(jù)落在［30,90］內(nèi)的頻率約為1一0.03-0.04=0.93=93%<95%,

；?可以推斷技術改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術改造成功.

21.以下圖，直線。E與口的邊N5,/C分別相交于點。，E.設4B=c,BC=a,CA=b,

NADE=8,請用向量方法證明:a-cos（5-（9）+Z>-cos（J+/9）=c-cos^.

（答案）證明見詳解

（解析）

（分析）依據(jù)圖形易得瓦i=宓+B，結合數(shù)量積可得詼=萬萬?前1+萬斤?爹，依據(jù)數(shù)量積的定

義屋B=同同cose代入運算整理即可，注意向量夾角的分析理解.

（詳解）'-'BA=BC+CA>則。E84=OE（8C+C4）,即歷衣=瓦.前+歷后

又DE?8/=15/1|cosZ.EDA=c|/）￡|cos6

瓦.元=|喝明cos（8_e）=a國cos（8叫

瓦石=|聞倒cos（N+e）=b國cos（4+e）

/.c|D￡1|cos^=a|z）￡|cos（5-0）+d|D￡||cos（^4+^）

即a?cos（3-8）+b.cos（/+e）=c?cos。

22.重慶是我國著名的“火爐〃城市之一，如圖，重慶某避暑山莊。為吸引游客，打算在門前兩條小路

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O/和之間修建一處弓形花園，使之有著類似“