新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率學(xué)習(xí)任務(wù)1．結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握條件概率的兩種計算方法．(數(shù)學(xué)運算)3．利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)金融界的人經(jīng)常需要計算不同投資環(huán)境下獲利的概率，因此金融投資公司在招聘新員工時，通常會考查應(yīng)聘人員計算概率的能力．以下是某金融投資公司的一道筆試題，你會做嗎？從生物學(xué)中我們知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地認(rèn)為是12．如果某個家庭中先后(1)當(dāng)已知較大的小孩是女孩的條件下，較小的小孩是男孩的概率為多少？(2)當(dāng)已知兩個小孩中有女孩的條件下，兩個小孩中有男孩的概率為多少？知識點1條件概率的概念一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝_______為在事件_______發(fā)生的條件下，事件_______發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．P(B|A)讀作事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．(1)如果事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；(2)P(B|A)與P(A|B)意義不同，由條件概率的定義可知P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率；而P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率．知識點2乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則_____________．我們稱此式為概率的乘法公式．知識點3條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)，設(shè)P(A)>0，則(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(Ω|A)＝1；(3)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝___________________；(4)設(shè)B和B互為對立事件，則P(B|A)＝1－________________．(5)若事件A，B獨立，P(AB)＝____________________且P(A)>0，則P(B|A)＝P(B)，反之若P(B|A)＝P(B)且P(A)>0，則A與B相互獨立．(1)P(B|A)與P(AB)有何區(qū)別？(2)若事件A，B互斥，則P(B|A)是多少？1．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，則P(AB)＝2．已知P(AB)＝35，P(A)＝34，則P(B|A)＝3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝13，P(C|A)＝14，則P(B∪C|A)＝類型1求條件概率利用定義求條件概率【例1】現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．[嘗試解答][母題探究](變設(shè)問)本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到語言類節(jié)目的概率．利用定義計算條件概率的步驟(1)分別計算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝PABPA，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(源自人教B版教材)已知春季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為20%與18%，且兩地同時下雨的概率為12%．求春季的一天里：(1)已知甲地下雨的條件下，乙地也下雨的概率；(2)已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率．縮小樣本空間求條件概率【例2】(源自人教B版教材)擲紅、藍(lán)兩個均勻的骰子，設(shè)A：藍(lán)色骰子的點數(shù)為5或6；B：兩骰子的點數(shù)之和大于7．求已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率P(B|A)．[嘗試解答]利用縮小樣本空間法求條件概率的方法(1)縮：將原來樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為事件AB．(2)數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的樣本點．(3)算：利用P(B|A)＝nAB[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率．類型2概率乘法公式的應(yīng)用【例3】已知口袋中有4個黑球和6個白球，這10個球除顏色外完全相同，從中不放回地每次任取1個，連取2次．求：(1)第一次取到黑球的概率；(2)兩次取到的均為黑球的概率；(3)第一次取到白球而第2次取到黑球的概率．[嘗試解答][母題探究](變設(shè)問)本例條件不變，從中不放回地取球，每次各取一球，求第三次才取到黑球的概率．應(yīng)用乘法公式求概率的關(guān)注點(1)功能：是一種計算“積事件”概率的方法，即當(dāng)不容易直接計算P(AB)時，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．(2)推廣：設(shè)A，B，C為三個事件，且P(AB)>0，則有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)A，B為兩個事件，若事件A發(fā)生的概率為310，在事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為12，則事件A，B都發(fā)生的概率為類型3互斥事件的條件概率【例4】在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出6道題．若考生至少能答對其中的4道題即可通過；若至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對20道題中的10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀的概率．[思路導(dǎo)引]設(shè)出相關(guān)事件—[嘗試解答](1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計算較為簡單，但應(yīng)注意這個性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”．(2)為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次不放回地摸2個球，求在第1個球是紅球的條件下，第2個球是黃球或黑球的概率．1．(多選)下列說法正確的是()A．P(B|A)＝－0.2B．P(B|A)＝P(A|B)C．P(B|A)＝0說明事件A與事件B不能同時發(fā)生D．P(B|A)與P(B)有可能相等2．市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是()A．0.665B．0.564C．0.245D．0.2853．甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%，記P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．4．某人一周值班2次，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六值班的概率為________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．計算條件概率的常用方法是什么？2．P(B|A)與P(A|B)意義相同嗎？3．在什么條件下，才有P(B|A)＝P(B)?7.1.1條件概率[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識點1P(AB)P知識點2P(AB)＝P(A)P(B|A)知識點3(3)P(B|A)＋P(C|A)(4)P(B|A)(5)P(A)P(B)思考提示：(1)P(B|A)的值是事件AB發(fā)生相對于事件A發(fā)生的概率的大小；而P(AB)是事件AB發(fā)生相對于原來的總空間而言，一般來說，P(B|A)≠P(AB)．(2)A與B互斥，即A，B不同時發(fā)生，則P(AB)＝0，故P(B|A)＝0．課前自主體驗1．215[由P(B|A)＝P(AB)P(A)得P(AB)＝P(B|因為P(B|A)＝13，P(A)＝25，所以P(AB)＝22．45[由公式得P(B|A)＝P(3．712[因為B，C是互斥事件，所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝13[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB．(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，總的事件數(shù)n(Ω)＝A62＝根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有n(A)＝A41A所以P(A)＝n((2)因為n(AB)＝A42＝12，所以P(AB)＝(3)法一：由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)＝P(法二：因為n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n(母題探究解：設(shè)“第1次抽到舞蹈節(jié)目”為事件A，“第2次抽到語言類節(jié)目”為事件C，則第1次抽到舞蹈節(jié)目、第2次抽到語言類節(jié)目為事件AC．P(A)＝23，P(AC)＝8所以P(C|A)＝P(跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：記A：甲地下雨，B：乙地下雨，則由已知可得P(A)＝20%，P(B)＝18%，P(AB)＝12%．(1)P(B|A)＝P((2)P(A|B)＝P(例2解：用數(shù)對(x，y)來表示拋擲結(jié)果，其中x表示紅色骰子的點數(shù)，y表示藍(lán)色骰子的點數(shù)，則樣本空間可記為Ω＝{(x，y)|x，y＝1，2，3，4，5，6}，而且樣本空間可如圖所示直觀表示，圖中每一個點代表一個樣本點．樣本空間中，共包含36個樣本點．不難看出，A包含的樣本點即圖中矩形框中的點，共12個，因此P(A)＝1236B包含的樣本點即為圖中三角框中的點，AB共包含9個樣本點，從而P(AB)＝936因此P(B|A)＝P(跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15個，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9個，所以所求概率P＝915例3解：設(shè)事件A表示第一次取到黑球，B表示第二次取到黑球，則A表示第一次取到白球．(1)由題意知P(A)＝410(2)由題意知P(B|A)＝39根據(jù)乘法公式，有P(AB)＝P(A)P(B|A)＝25×1所以兩次取到的均為黑球的概率為215(3)由題意知，P(A)＝610＝35，P(B|A根據(jù)乘法公式得P(AB)＝P(A)P(B|A)＝35×4所以第一次取到白球而第2次取得黑球的概率為415母題探究解：設(shè)C表示第三次才取到黑球，由題意知，P(A)＝35，P(B|A)＝59，P(C|AB)根據(jù)乘法公式，有P(C)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝35×59所以從中不放回地取球，每次各取一球，第三次才取到黑球的概率為16跟進(jìn)訓(xùn)練3．320[由題意，P(A)＝310，P(B|A)＝所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝310×12例4解：設(shè)事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另一道題答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，而另2道題答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型概率計算公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C10P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A