福建省寧德市松山中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

福建省寧德市松山中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)F1的弦AB長(zhǎng)為6，則△ABF2（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是（）A．12 B．14 C．22 D．28參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由雙曲線方程求得a=4，由雙曲線的定義可得AF2+BF2=22，△ABF2的周長(zhǎng)是（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB，計(jì)算可得答案．【解答】解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a=4，由雙曲線的定義可得AF2﹣AF1=2a，BF2﹣BF1=2a，∴AF2+BF2﹣AB=4a=16，即AF2+BF2﹣6=16，AF2+BF2=22．△ABF2（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB=22+6=28．故選

D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出AF2+BF2=22是解題的關(guān)鍵．2.小船以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為，則小船實(shí)際航行速度的大小為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則四面體的體積為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略4.甲、乙兩人從1，2，…，15這15個(gè)數(shù)中，依次任取一個(gè)數(shù)（不放回）．則在已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的情況下，甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】利用列舉法求出甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，甲、乙取到的數(shù)（a，b）共有42個(gè)，其中甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)的個(gè)數(shù)有27個(gè)，由此能求出已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的情況下，甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)的概率．【解答】解：甲、乙兩人從1，2，…，15這15個(gè)數(shù)中，依次任取一個(gè)數(shù)（不放回）．甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，則甲、乙取到的數(shù)（a，b）共有42個(gè)，分別是：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（5，11），（5，12），（5，13），（5，14），（5，15），（10，1），（10，2），（10，3），（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），（10，11），（10，12），（10，13），（10，14），（10，15），（15，1），（15，2），（15，3），（15，4），（15，5），（15，6），（15，7），（15，8），（15，9），（15，10），（15，11），（15，12），（15，13），（15，14），其中甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)的個(gè)數(shù)有27個(gè)，分別是：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（10，1），（10，2），（10，3），（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），（15，1），（15，2），（15，3），（15，4），（15，5），（15，6），（15，7），（15，8），（15，9），（15，10），（15，11），（15，12），（15，13），（15，14），∴在已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的情況下，甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)的概率是p==．故選：D．5.雙曲線＝1的一個(gè)焦點(diǎn)到它的漸近線的距離為（

）A．1

B． C． D．2參考答案：A略6.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn),那么函數(shù)的極大值為A.15

B.16

C.17

D.18參考答案：D7.四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有兩名相鄰，但三名女生不能連排，則不同的排法數(shù)有()A．3600

B．3200

C．3080

D．2880參考答案：D略8.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.

C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)奇偶性以及特殊值即可排除。【詳解】因?yàn)?，所以為奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD,因?yàn)?，所以排除A答案，選擇D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的判斷方法，常利用函數(shù)的奇偶性質(zhì)，特殊值法進(jìn)行排除，屬于中等題。9.已知且則的最小值為（

）A.6

B.12

C.25

D.36參考答案：C10.下列函數(shù)中，周期為的是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.lg+2lg2﹣（）﹣1=

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)各項(xiàng)，利用lg2+lg5=1化簡(jiǎn)求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案為：﹣1．12.從拋物線上一點(diǎn)引其準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，且，則的面積為_(kāi)________參考答案：

略13.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是

．①“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”；②“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”③“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”；④“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”參考答案：③【考點(diǎn)】C4：互斥事件與對(duì)立事件．【分析】根據(jù)已知中從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，我們易根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義，逐一對(duì)題目中的四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷，分析出每個(gè)結(jié)論中兩個(gè)事件之間的關(guān)系，即可得到答案．【解答】解：當(dāng)兩個(gè)球都為黑球時(shí)，“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”同時(shí)發(fā)生，故①中兩個(gè)事件不互斥；當(dāng)兩個(gè)球一個(gè)為黑，一個(gè)為紅時(shí)，“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”，故②中兩個(gè)事件不互斥；“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，也可以同時(shí)不發(fā)生，故③中兩個(gè)事件互斥而不對(duì)立；“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，但必然有一種情況發(fā)生，故④中兩個(gè)事件對(duì)立；故答案為：③14.等差數(shù)列-3，1，5……的第6項(xiàng)的值是

參考答案：17略15.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，則m= 參考答案：16.若x，y滿足約束條件則z=x+2y的最小值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=的截距最小，此時(shí)z最小，由，得，即C（3，0）此時(shí)z=3+2×0=3．故答案為：317.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，則異面直線BA1與AC1所成的角等于

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知實(shí)數(shù)a滿足0＜a≤2，a≠1，設(shè)函數(shù)f（x）＝x3－x2＋ax．（Ⅰ）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝x3＋bx2－（2b＋4）x＋lnx（b∈R）的極小值點(diǎn)與f（x）的極小值點(diǎn)相同．求證：g（x）的極大值小于等于．參考答案：（Ⅰ）解:當(dāng)a＝2時(shí)，f′（x）＝x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）．

列表如下：x（－，1）1（1，2）2（2，＋）f′（x）＋0－0＋f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，f（x）極小值為f（2）＝．

…………………5分（Ⅱ）解：f′（x）＝x2－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）．g′（x）＝3x2＋2bx－（2b＋4）＋＝．即b＝，此時(shí)g（x）極大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)x＝1，則g（x）的極小值點(diǎn)為x＝1，由于p（x）＝0有一正一負(fù)兩實(shí)根，不妨設(shè)x2＜0＜x1，所以0＜x1＜1，即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．此時(shí)g（x）的極大值點(diǎn)x＝x1，有g(shù)（x1）＝x13＋bx12－（2b＋4）x1＋lnx1＜1＋bx12－（2b＋4）x1＝（x12－2x1）b－4x1＋1

（x12－2x1＜0）＜－（x12－2x1）－4x1＋119.（本小題滿分12分）某工廠用甲、乙兩種不同工藝生產(chǎn)一大批同一種零件,零件尺寸均在[21.7,22.3](單位:cm)之間,把零件尺寸在[21.9,22.1)的記為一等品,尺寸在[21.8,21.9)∪[22.1,22.2)的記為二等品,尺寸在[21.7,21.8)∪[22.2,22.3]的記為三等品,現(xiàn)從甲、乙工藝生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,所得零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示:(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表,根據(jù)此數(shù)據(jù)你是否有95%的把握認(rèn)為選擇不同的工藝與生產(chǎn)出一等品有關(guān)?

甲工藝乙工藝合計(jì)一等品

非一等品

合計(jì)

P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635(2)若一等品、二等品、三等品的單件利潤(rùn)分別為30元、20元、15元,求出上述甲工藝所抽取的100件產(chǎn)品的單件利潤(rùn)的平均數(shù).參考答案：(1)2×2列聯(lián)表如表:

甲工藝乙工藝合計(jì)一等品5060110非一等品504090合計(jì)100100200……4分K2=≈2.02<3.841,………6分所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為選擇不同的工藝與生產(chǎn)出一等品有關(guān).………7分(2)甲工藝抽取的100件產(chǎn)品中,一等品有50件,二等品有30件,三等品有20件,………9分所以這100件產(chǎn)品單件利潤(rùn)的平均數(shù)為(50×30+30×20+20×15)=24.………12分20.(12分)在中,,,將它沿對(duì)角線折起,使成角,求兩點(diǎn)間的距離.參考答案：因?yàn)槌?所以的夾角為或,又因?yàn)樗?所以兩點(diǎn)間的距離為.21.小明某天偶然發(fā)現(xiàn)班上男同學(xué)比女同學(xué)更喜歡做幾何題，為了驗(yàn)證這一現(xiàn)象是否具有普遍性，他決定在學(xué)校開(kāi)展調(diào)查研究：他在全校3000名同學(xué)中隨機(jī)抽取了50名，給這50名同學(xué)同等難度的幾何題和代數(shù)題各一道，讓同學(xué)們自由選擇其中一道題作答，選題人數(shù)如下表所示，但因不小心將部分?jǐn)?shù)據(jù)損毀，只是記得女生選擇幾何題的頻率是.

幾何題代數(shù)題合計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)

合計(jì)

（1）根據(jù)題目信息補(bǔ)全上表；（2）能否根據(jù)這個(gè)調(diào)查數(shù)據(jù)判斷有97.5%的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)？參考數(shù)據(jù)和公式：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879

，其中.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）有97.5%的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)【分析】（1）女生中選幾何題的有人，由此補(bǔ)全列聯(lián)表即可（2）計(jì)算的值，對(duì)照臨界值表下結(jié)論即可【詳解】（1）由已知女生共20人，所以女生中選幾何題的有（人），故表格補(bǔ)全如下：

幾何題代數(shù)題合計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220合計(jì)302050

（2）由列聯(lián)表知故有97.5%的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查能力，是基礎(chǔ)題22.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．參考答案：【考點(diǎn)】R6：不等式的證明．【分析】（1）a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，由累加法，再由三個(gè)數(shù)的完全平方公式，即可得證；（2）+b