【數(shù)學(xué)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

課堂小結(jié)3.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問(wèn)題,體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”,“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法.瞬時(shí)速度平均速度y=f(x)平均變化率瞬時(shí)變化率在x=

x0處函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù)P0Poxyy=f(x)割線切線T幾何意義割線P0P的斜率切線P0T的斜率1.導(dǎo)數(shù)的定義如果當(dāng)?x→0時(shí)，平均變化率無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作或，即

從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)x=x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y=f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivedfunction)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即復(fù)習(xí)引入2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)

f

′(x0)就是切線的斜率，即3.如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)?§5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修2探究新知1.函數(shù)

y＝f(x)＝c

的導(dǎo)數(shù)即也就是說(shuō)任意一個(gè)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.追問(wèn)：若y=c(如圖示)表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y′=0的物理意義是什么？若y=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y′=0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即一直處于靜止?fàn)顟B(tài).所以路程保持不變，是關(guān)于時(shí)間的常值函數(shù).xyOy＝c2.函數(shù)

y＝f(x)＝x

的導(dǎo)數(shù)即若y=x(如圖示)表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y′=1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速直線運(yùn)動(dòng).可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速直線運(yùn)動(dòng).xyy=xO追問(wèn)：若y=x(如圖示)表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y′=1的物理意義是什么？3.函數(shù)

y＝f(x)＝x2

的導(dǎo)數(shù)即追問(wèn)1：y′=2x的幾何意義是什么？表示函數(shù)y＝x2的圖象上點(diǎn)(x,y)處切線的斜率為2x，說(shuō)明隨著x的變化，切線的斜率也在變化.另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看，

y′=2x表明：當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，|y′|越來(lái)越小，y＝x2減少得越來(lái)越慢；當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增加，|y′|越來(lái)越大，y＝x2增加得越來(lái)越快.追問(wèn)2：若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則的物理意義是什么？某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x.4.函數(shù)

y＝f(x)＝x3

的導(dǎo)數(shù)追問(wèn)1：還有沒有其它得到

的方法？即追問(wèn)2：y′＝3x2的幾何意義是什么？xyOy＝x3y′＝3x2表示函數(shù)y＝x3的圖像上的點(diǎn)(x,y)處切線的斜率為3x2,這說(shuō)明隨x的變化，切線的斜率也在變化，且恒為非負(fù)數(shù).追問(wèn)3：隨著x的變化，函數(shù)y=x3的導(dǎo)數(shù)y′＝3x2也在變化，導(dǎo)數(shù)隨x的變化反映出了函數(shù)y=x3怎樣的變化？當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增加，|y′|越來(lái)越大，y=x3增增加得越來(lái)越快；當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，|y′|越來(lái)越小，y=x3增加得越來(lái)越慢.

從導(dǎo)函數(shù)的非負(fù)性來(lái)看，除x=0時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0外，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為正，因此函數(shù)在定義域上恒為增函數(shù).xyOy＝x35.函數(shù)

y＝f(x)＝

的導(dǎo)數(shù)x1—追問(wèn)1:畫出函數(shù)

的圖象.根據(jù)函數(shù)

的圖象，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，描述它的變化情況.

結(jié)合函數(shù)圖象及其導(dǎo)數(shù)

發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)減少得越來(lái)越快；當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)減少得越來(lái)越慢.追問(wèn)2：求出曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.x+y-2=0即6.函數(shù)

y＝f(x)＝

的導(dǎo)數(shù)Oxy即追問(wèn)1：該函數(shù)的定義域及其導(dǎo)數(shù)的定義域是否一樣？不一樣，原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，導(dǎo)數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}.問(wèn)題:前面幾個(gè)函數(shù)都是我們學(xué)過(guò)的一類基本初等函數(shù)——冪函數(shù)，根據(jù)這些冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)果，你能總結(jié)出對(duì)于一般冪函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式嗎？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項(xiàng)式系數(shù)表11121133114641151010511615201561[南宋]楊輝(n∈N*)《詳解九章算法》記載的表公式證明：的情況.說(shuō)明：實(shí)際上，此公式對(duì)n∈R都成立，但證明較復(fù)雜，此處只給出了n∈N*的證明．(n∈N*)看幾個(gè)例子:練習(xí).已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程.分析：這兩個(gè)公式的證明需要用到三角函數(shù)的和差化積公式和重要的極限證明:(公式3)☆以下公式需熟記，但其推導(dǎo)過(guò)程不要求掌握，僅作了解證明:公式5：對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）重要極限

證明：

前面我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出了一些常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．一般地，有下面的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表，這些公式可以直接使用．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式必須熟記于心！【思路點(diǎn)撥】

解答本題可先將解析式調(diào)整為基本初等函數(shù)的形式，再利用公式求導(dǎo)．提示：不正確．２．函數(shù)f(x)＝π＋2的導(dǎo)數(shù)．[解析]

∵π＋2為常數(shù)，∴f′(x)＝0.問(wèn)題探究例3.假設(shè)某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%，物價(jià)p(單位:元)與時(shí)間t(單位:年)之間的關(guān)系為

其中p0為t=0時(shí)的物價(jià).假定某種商品的