第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【引言】自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動、動植物的生長等等都是連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性.2第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月一、函數(shù)的連續(xù)性1.【增量】【增量的幾何解釋】3第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2.【連續(xù)的定義】⑴【概念描述】⑵【定義1】連續(xù)的本質(zhì)4第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶【定義2】【注】f(x)在x0處連續(xù)的三個條件（三條缺一不可）①②③則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).5第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【注解】條件①條件②在本質(zhì)上是一樣的，只是形式上的不同條件①式清楚地反映了連續(xù)概念的實質(zhì)，即自變量產(chǎn)生微小變化時，函數(shù)的變化也很微小.但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分析時，常應(yīng)用條件②式（因為條件①要具體計算△y,往往很麻煩）6第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【補例1】【證】由定義2知f(x)在x0的鄰域內(nèi)顯然有定義7第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月3.【單側(cè)連續(xù)】⑴【左連續(xù)】⑵【右連續(xù)】⑶【定理】8第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【補例2】【解】右連續(xù)但不左連續(xù)，9第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月4.【連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間】在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.【幾何表現(xiàn)】閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)的集合10第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【相關(guān)結(jié)論】①∵§5中已證多項式f(x)有

②在定義域內(nèi)連續(xù).③∵§3例5已證明11第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【例3】【證】【相關(guān)結(jié)論】④12第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月二、函數(shù)的間斷點①②③【描述】如果上述三個條件中只要有一個不滿足，則稱函數(shù)f(x)在點x0

處不連續(xù)（或間斷），并稱點x0為f(x)的不連續(xù)點（或間斷點）.函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)必須滿足的三個條件13第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月1.【間斷點定義】設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義。在此前提下，如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一：①在x=x0沒有定義；②雖在x=x0有定義，但

不存在；③雖在x=x0有定義，且

存在，但則函數(shù)f(x)在點x0

處不連續(xù)（或間斷），并稱點x0為f(x)的不連續(xù)點（或間斷點）.14第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【特別強調(diào)】①連續(xù)點要求在x0的某鄰域內(nèi)有定義；間斷點要求在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義；失去這個前提，則不能研究點x0的連續(xù)性.［例如］定義域是一些離散的點的集合，在這些點的某去心鄰域f(x)無定義,則這些點既不是f(x)的連續(xù)點，也不是它的間斷點②連續(xù)點x0與間斷點x0的共性是：均要求在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義（【思考】

為什么？），在這個前提下才有“f(x)的不連續(xù)點就是它的間斷點”成立.15第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月①［跳躍間斷點］【補例4】【解】2.【函數(shù)間斷點的幾種常見類型】(1).【第一類間斷點】(左右極限都存在的點).116第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月②［可去間斷點］【補例5】17第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】【說明】可去間斷點只要改變（原來有定義時）或者補充（原來無定義時）間斷點處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點，故稱其為可去間斷點.18第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.【特點】可去型：左右極限存在且相等.跳躍型：左右極限存在但不相等.19第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)【第二類間斷點】【補例6】【解】【特點】

這種情況稱為無窮間斷點20第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【例7】【解】這種情況稱為振蕩間斷點.【特點】

振蕩而不存在，但均不為∞，稱之.21第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.特別地★★課后習(xí)題P65

5（3）反例【注意】不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.22第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★【觀察練習(xí)】立即說出下列間斷點類型:課后習(xí)題P65

5（2）反例23第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月又如:無窮間斷點振蕩間斷點可去間斷點24第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【補例8】【解】25第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【典型補充例題】——備用機動題【補充1】【解】的間斷點為則的間斷點為因為所以是的第一類間斷點（跳躍型）26第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【補充2】【解】則是的第一類（可去）間斷點.27第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月右連續(xù)三、小結(jié)左連續(xù)在點連續(xù)的等價形式第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型其它28第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點o