滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三訓(xùn)練 專題1.2 一元二次方程章末重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.2一元二次方程章末重難點題型【滬科版】【考點1一元二次方程的概念】【方法點撥】解決此類問題掌握一元二次方程的定義是關(guān)鍵；等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程?！纠?】（2020?富順縣校級一模）下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2?3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2020春?青羊區(qū)校級期末）關(guān)于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m＝（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0【變式1-2】（2020春?太湖縣期末）若關(guān)于x的方程(a?1)xa2+1?【變式1-3】（2020秋?新羅區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）當(dāng)m為何值時，該方程為一元二次方程？（2）當(dāng)m為何值時，該方程為一元一次方程？【考點2一元二次方程的一般形式】【方法點撥】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【例2】（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）將一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次項和常數(shù)項分別是（）A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2【變式2-1】（2023秋?青龍縣期中）已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，且使得方程根不變的是（）A．5x2+16x+3＝0 B．5x2﹣16x﹣3＝0 C．5x2+16x﹣3＝0 D．5x2﹣16x+3＝0【變式2-2】（2020春?招遠市期末）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項是0，則m的值（）A．1 B．1或2 C．2 D．±1【變式2-3】（2020秋?邗江區(qū)校級月考）已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)），若存在x使得M＝N，則a，b，c的值可以分別為（）A．1，﹣1，0 B．1，0，﹣1 C．0，1，﹣1 D．0，﹣1，1【考點3一元二次方程的解】【方法點撥】一元二次方程的\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.【例3】（2020春?沙坪壩區(qū)校級期末）若x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個根，則2020+2a﹣2b的值為（）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【變式3-1】（2020?中山市校級一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【變式3-2】（2020春?崇川區(qū)校級期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則﹣a3+2a+2020的值為（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019【變式3-3】（2020春?雁塔區(qū)校級期末）已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣2017m+2018m2【考點4解一元二次方程（指定方法）】【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握直接開方法、配方法、公式法、因式分解法的步驟.【例4】（2020秋?合肥校級期中）用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接開平方法）（2）2x2﹣5x+1＝0（配方法）（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）【變式4-1】（2020春?文登區(qū)期末）解下列方程：（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；（3）2x2+3x﹣1＝0（請用配方法解）．【變式4-2】（2023春?壽縣期中）按指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）【變式4-3】（2023春?崇左期中）用指定的方法解方程：（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）【考點5解一元二次方程（換元法）】【方法點撥】換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．【例5】（2020春?文登區(qū)期中）已知實數(shù)x滿足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值為（）A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1【變式5-1】（2020春?崇川區(qū)期末）已知實數(shù)x滿足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，則代數(shù)式x2﹣x+2020的值為．【變式5-2】（2020春?開江縣期末）基本事實：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通過因式分解化為（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事實得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解為x＝3或x＝﹣2．（1）試?yán)蒙鲜龌臼聦崳夥匠蹋?x2﹣x＝0；（2）若實數(shù)m、n滿足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．【變式5-3】（2020春?龍泉驛區(qū)期中）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例：用換元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y(tǒng)2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）請你用換元法對多項式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8進行因式分解；（2）憑你的數(shù)感，大膽嘗試解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【考點6根的判別式】【方法點撥】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．【例6】（2020?濰坊）關(guān)于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【變式6-1】（2020?鹽田區(qū)二模）關(guān)于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)a＝0時，方程無實數(shù)根 B．當(dāng)a＝﹣1時，方程只有一個實數(shù)根 C．當(dāng)a＝1時，有兩個不相等的實數(shù)根 D．當(dāng)a≠0時，方程有兩個相等的實數(shù)根【變式6-2】（2020?閩侯縣模擬）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞0且a≠2 C．a(chǎn)＞32 D．a(chǎn)＞32【變式6-3】（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）若整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有實數(shù)根，且關(guān)于x的不等式組a?x＜0x+2≤12A．3 B．4 C．5 D．6【考點7根的判別式（三角形的邊）】【例7】（2020?菏澤）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，則k的值為（）A．3 B．4 C．3或4 D．7【變式7-1】（2020?銅仁市）已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的兩個根，則k的值等于（）A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6【變式7-2】（2020春?奉化區(qū)期末）已知：關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論k取任何實數(shù)值，方程總有兩個實數(shù)根．（2）若等腰三角形ABC的底邊長為1，另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【變式7-3】（2023秋?雷州市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【考點8根與系數(shù)關(guān)系（求代數(shù)式的值）】【方法點撥】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2【例8】（2023秋?東湖區(qū)校級月考）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩根．（1）填空：x1+x2＝，x1?x2＝，1x1+1x（2）求x1﹣x2的值．【變式8-1】（2020春?越城區(qū)期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則α2+β2+αβ的值為（）A．10 B．9 C．7 D．5【變式8-2】（2020?文登區(qū)模擬）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，則a2﹣3b+2020的值是（）A．2016 B．2020 C．2025 D．2034【變式8-3】（2020春?泰興市校級期末）設(shè)m、n是方程x2+x﹣1001＝0的兩個實數(shù)根，則m2+2m+n的值為．【考點9根與系數(shù)關(guān)系（構(gòu)造方程求值）】【例9】（2020春?崇川區(qū)期末）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的兩個實數(shù)根，其滿足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求實數(shù)a的所有可能值．【變式9-1】（2020?十堰）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．【變式9-2】（2020?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1﹣x2＝3，求k的值．【變式9-3】（2020春?東城區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別為x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2=?ba，x1x2（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的兩個根為m，n，則m+n＝，mn＝；（2）若m，n為x2﹣px+q＝0的兩個根，且m+n＝﹣3，mn＝4，則p＝，q＝；（3）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．【考點10一元二次方程的應(yīng)用（傳播問題）】【例10】（2020?海豐縣一模）某種病毒傳播非常快，如果一個人被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81個人被感染．（1）請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一個人會感染幾個人？（2）若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過700人？【變式10-1】（2020春?慈溪市期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？【變式10-2】（2020?揭西縣模擬）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了嚴(yán)重的人員傷亡和經(jīng)濟損失，其中一個原因是新冠肺炎病毒傳播速度非?？欤粋€人如果感染某種病毒，經(jīng)過了兩輪的傳播后被感染的總?cè)藬?shù)將達到64人．（1）求這種病毒每輪傳播中一個人平均感染多少人？（2）按照上面的傳播速度，如果傳播得不到控制，經(jīng)過三輪傳播后一共有多少人被感染？【變式10-3】（2020?晉安區(qū)一模）衛(wèi)生部疾病控制專家經(jīng)過調(diào)研提出，如果1人傳播10人以上而且被傳染的人已經(jīng)確定為新冠肺炎，那么這個傳播者就可以稱為“超級傳播者”．如果某鎮(zhèn)有1人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．（1）經(jīng)過計算，判斷最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”嗎？寫出過程．（2）若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有多少人成為新冠肺炎病毒的攜帶者？【考點11一元二次方程的應(yīng)用（面積問題）】【例11】（2020春?溧水區(qū)期末）如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，試求該矩形荒地的長．【變式11-1】（2023春?乳山市期中）如圖，某旅游景點要在長、寬分別為10米、6米的矩形水池內(nèi)部建一個與矩形的邊互相平行的正方形觀賞亭，觀賞亭的四邊連接四條與矩形的邊互相平行的且寬度相等的道路，已知道路的寬為正方形邊長的14（每條道路的一側(cè)均與正方形觀賞亭的一邊在同一直線上），若道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的2【變式11-2】（2020春?西湖區(qū)期末）有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10m），圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的矩形花圃，設(shè)花圃的一邊AB為xm，面積為ym2．（1）用含有x的代數(shù)式表示y．（2）如果要圍成面積為63m2的花圃，AB的長是多少？（3）能圍成面積為72m2的花圃嗎！如果能，請求出AB的長；如果不能，請說明理由．【變式11-3】（2023秋?望花區(qū)校級月考）一塊長30cm，寬12cm的矩形鐵皮，（1）如圖1，在鐵皮的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作成一個底面積為144cm2的無蓋方盒，如果設(shè)切去的正方形的邊長為xcm，則可列方程為．（2）由于實際需要，計劃制作一個有蓋的長方體盒子，為了合理使用材料，某學(xué)生設(shè)計了如圖2的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中左側(cè)兩個空白部分為正方形，問能否折出底面積為104cm2的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀完全相同）？如果能，請求出盒子的體積；如果不能，請說明理由．【考點12一元二次方程的應(yīng)用（增長率問題）】【例12】（2020春?雨花區(qū)校級期末）隨著全球疫情的爆發(fā)，醫(yī)療物資的極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極的宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應(yīng)對疫情，某工廠及時引進了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)500萬個，第三天生產(chǎn)720萬個，若每天增長的百分率相同．試回答下列問題：（1）求每天增長的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是1500萬個/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少50萬個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩6500萬件，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【變式12-1】（2020春?天心區(qū)校級期末）甲商品的進價為每件20元，商場確定其售價為每件40元．（1）若現(xiàn)在需進行降價促銷活動，預(yù)備從原來的每件40元進行兩次調(diào)價，已知該商品現(xiàn)價為每件32.4元．若該商品兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；（2）經(jīng)調(diào)查，該商品每降價0.2元，即可多銷售10件．已知甲商品售價40元時每月可銷售500件，若該商場希望該商品每月能盈利10000元，且盡可能擴大銷售量，則該商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)如何調(diào)整？【變式12-2】（2020?福田區(qū)模擬）為抗擊新型肺炎疫情，某服裝廠及時引進了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)10萬件，第三天生產(chǎn)14.4萬件，若每天增長的百分率相同．試回答下列問題：（1）求每天增長的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是20萬件/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少2萬件/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩60萬件，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【變式12-3】（2020春?越秀區(qū)校級月考）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，計劃到2020年底，全省5G基站數(shù)量將達到6萬座，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達到17.34萬座．（1）按照計劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率；（2）若2023年保持前兩年5G基站數(shù)量的年平均增長率不變，到2023年底，全省5G基站數(shù)量能否超過25萬座？【考點13一元二次方程的應(yīng)用（利潤問題）】【例13】（2020春?蜀山區(qū)期末）某水果連鎖店將進貨價為20元/千克的某種熱帶水果現(xiàn)在以25元/千克的價格售出，每日能售出40千克．（1）現(xiàn)在每日的銷售利潤為元．（2）調(diào)查表明：售價在25元/千克～32元/千克范圍內(nèi)，這種熱帶水果的售價每千克上漲1元，其銷售量就減少2千克，若要使每日的銷售利潤為300元，售價應(yīng)為多少元/千克？【變式13-1】（2020春?霍邱縣期末）“疫情”期間，李晨在家制作一種工藝品，并通過網(wǎng)絡(luò)平臺進行線上銷售．經(jīng)過一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價是40元/件時，每天可售出該商品60件，且售價每降低1元，就會多售出3件，設(shè)該商品的售價為x元/件（20≤x≤40）．（1）請用含售價x（元/件）的代數(shù)式表示每天能售出該工藝品的件數(shù)；（2）已知每件工藝品需要20元成本，每天銷售該工藝品的純利潤為900元．①求該商品的售價；②為了支持“抗疫”行動，李晨決定每銷售一件該工藝品便通過網(wǎng)絡(luò)平臺自動向某救助基金會捐款0.5元，求李晨每天通過銷售該工藝品捐款的數(shù)額．【變式13-2】（2020?沈河區(qū)二模）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種襯衫的售價每降低1元，平均每天能多售出2件，設(shè)每件襯衫降價x元．（1）降價后，每件襯衫的利潤為元，平均每天的銷量為件；（用含x的式子表示）（2）為了擴大銷售，盡快滅少庫存，商場決定采取降價措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件襯衫應(yīng)降價多少元？【變式13-3】（2020春?邗江區(qū)校級期中）悠悠食品店的A、B兩種菜品，每份成本均為14元，售價分別為20元、18元，這兩種菜品每天的營業(yè)額共為1120元，總利潤為280元．（1）該店每天賣出這兩種菜品共多少份？（2）該店為了增加利潤，準(zhǔn)備降低A種菜品的售價，同時提高B種菜品的售價，售賣時發(fā)現(xiàn)，A種菜品售價每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價每提高0.5元就少賣1份，如果這兩種菜品每天銷售的總份數(shù)不變，這兩種菜品一天的總利潤是316元．求A種菜品每天銷售多少份？【考點14一元二次方程的應(yīng)用（動點問題）】【例14】（2020春?定遠縣期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P由點A出發(fā)，沿AB邊以1cm/s的速度向點B移動；點Q由點B出發(fā)，沿BC邊以2cm/s的速度向點C移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，問：（1）經(jīng)過幾秒后，△PBQ的面積等于8cm2？（2）經(jīng)過幾秒后，P，Q兩點間距離是53cm？【變式14-1】（2020?灌南縣一模）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)那么幾秒后，PQ的長度等于210cm（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm2？請說明理由．【變式14-2】（2020?于都縣模擬）如圖等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，點P從點A開始以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向點B運動，過點P作PR∥BC、PQ∥AC分別交AC、BC于R、Q．問：（1）平行四邊形PQCR面積能否為7？如果能，請求出P點運動所需要的時間；如不能，請說明理由；（2）平行四邊形PQCR面積能否為16？能為20嗎？如果能，請求分別出P點運動所需要的時間；如不能，請說明理由．【變式14-3】（2023春?西湖區(qū)校級月考）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒，點P，Q之間的距離為6cm？（2）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？（3）若P點沿射線AB方向從A點出發(fā)以1cm/s的速度移動，點Q沿射線CB方向從C點出發(fā)以2cm/s的速度移動，P，Q同時出發(fā)，幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？

專題1.2一元二次方程章末重難點題型【滬科版】【考點1一元二次方程的概念】【方法點撥】解決此類問題掌握一元二次方程的定義是關(guān)鍵；等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。【例1】（2020?富順縣校級一模）下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2?3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【答案】解：一元二次方程只有④，共1個，故選：A．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2020春?青羊區(qū)校級期末）關(guān)于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m＝（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可知，最高次數(shù)為2且二次項的系數(shù)不為0，即|m|＝2，且m+2≠0，解出m的值即可．【答案】解：由題意可知：|m|＝2，且m+2≠0，所以m＝±2且m≠﹣2．所以m＝2．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，要注意系數(shù)不為0，這是比較容易漏掉的條件．【變式1-2】（2020春?太湖縣期末）若關(guān)于x的方程(a?1)xa2+1?【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到由此可以求得a的值．【答案】解：∵關(guān)于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，解得，a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．【變式1-3】（2020秋?新羅區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）當(dāng)m為何值時，該方程為一元二次方程？（2）當(dāng)m為何值時，該方程為一元一次方程？【分析】（1）由一元二次方程的定義可得關(guān)于m的不等式，可求得m的取值；（2）由一元一次方程的定義可利關(guān)于m的方程，可求得m的值．【答案】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即當(dāng)m≠±1時，方程為一元二次方程；（2）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，即當(dāng)m為﹣1時，方程為一元一次方程．【點睛】本題主要考查方程的定義，掌握一元一次方程、一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【考點2一元二次方程的一般形式】【方法點撥】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【例2】（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）將一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次項和常數(shù)項分別是（）A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2【分析】首先把﹣4x移到等號左邊，把右邊化為0，然后再確定答案．【答案】解：∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，∴﹣3x2+4x﹣2＝0，則3x2﹣4x+2＝0則一次項是﹣4x，常數(shù)項是2，故選：C．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．【變式2-1】（2023秋?青龍縣期中）已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，且使得方程根不變的是（）A．5x2+16x+3＝0 B．5x2﹣16x﹣3＝0 C．5x2+16x﹣3＝0 D．5x2﹣16x+3＝0【分析】本題主要是考查的移項的問題，移項的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)一：在等式的左右兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，所得結(jié)果仍然是等式．因此注意移項時要變號．【答案】解：方程﹣5x2+16x+3＝0的二次項系數(shù)化為正數(shù)，得5x2﹣16x﹣3＝0．故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）．【變式2-2】（2020春?招遠市期末）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項是0，則m的值（）A．1 B．1或2 C．2 D．±1【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）中a、b、c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．【答案】解：由題意，得m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，解得m＝2，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【變式2-3】（2020秋?邗江區(qū)校級月考）已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)），若存在x使得M＝N，則a，b，c的值可以分別為（）A．1，﹣1，0 B．1，0，﹣1 C．0，1，﹣1 D．0，﹣1，1【分析】把M與N代入M＝N中，整理為一般形式，判斷方程有解即可得到結(jié)果．【答案】解：由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)），且M＝N，得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，則a，b，c的值可以分別為0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，故選：D．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握其一般形式是解本題的關(guān)鍵．【考點3一元二次方程的解】【方法點撥】一元二次方程的\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.【例3】（2020春?沙坪壩區(qū)校級期末）若x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個根，則2020+2a﹣2b的值為（）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后將其整體代入所求的代數(shù)式并求值即可．【答案】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解．解題時，逆用一元二次方程解的定義易得出所求式子的值，在解題時要重視解題思路的逆向分析．【變式3-1】（2020?中山市校級一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020變形為﹣2（a2+a）+2020，然后利用整體代入的方法計算．【答案】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一個根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式3-2】（2020春?崇川區(qū)校級期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則﹣a3+2a+2020的值為（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019【分析】先把a代入對已知進行變形，再利用整體代入法求解．【答案】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故選：C．【點睛】考查了一元二次方程的解的知識，解題關(guān)鍵是把a的值代入原方程，從中獲取代數(shù)式a2﹣1的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．【變式3-3】（2020春?雁塔區(qū)校級期末）已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣2017m+2018m2【分析】利用m是方程x2﹣2018x+1＝0的一個根得到m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，利用整體代入的方法得到原式＝m+1【答案】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一個根，∴m2﹣2018m+1＝0，∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m+2018m2+1+3＝2018m﹣1＝m+1=m=2018m＝2018+2＝2020．故答案為2020．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【考點4解一元二次方程（指定方法）】【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握直接開方法、配方法、公式法、因式分解法的步驟.【例4】（2020秋?合肥校級期中）用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接開平方法）（2）2x2﹣5x+1＝0（配方法）（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）【分析】（1）方程變形后，利用平方根的定義開方即可求出解；（2）方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方即可求出解；（3）方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，當(dāng)根的判別式大于等于0時，代入求根公式即可求出解；（4）方程左邊提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．【答案】解：（1）方程變形得：（x﹣1）2＝9，開方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）方程變形得：x2?52x配方得：x2?52x+2516=（x開方得：x?54=則x1=5+174，x（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，這里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x=1±5則x1＝3，x2＝﹣2；（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接開平方法，熟練掌握各自解法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2020春?文登區(qū)期末）解下列方程：（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；（3）2x2+3x﹣1＝0（請用配方法解）．【分析】（1）根據(jù)因式分解法即可求出答案．（2）根據(jù)因式分解法即可求出答案．（3）根據(jù)配方法即可求出答案．【答案】解：（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，∴y2﹣5y﹣6＝0，∴（y﹣6）（y+1）＝0，∴y＝6或y＝﹣1．（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，∴x=113或x（3）∵2x2+3x﹣1＝0，∴x2+32x∴x2+32x∴（x+34）2∴x=?3±【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-2】（2023春?壽縣期中）按指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）【分析】（1）方程兩邊都除以2將二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移動右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解；（2）將方程整理后，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解【答案】解：（1）2x2﹣5x﹣4＝0，變形得：x2?52配方得：x2?52x+2516=5716開方得：x?54=則x1=5+574，x（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0，變形得：3（x﹣2）+x（x﹣2）＝0，即（x﹣2）（x+3）＝0，可得x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法及配方法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．【變式4-3】（2023春?崇左期中）用指定的方法解方程：（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）【分析】（1）將y﹣3看做整體，利用因式分解法求解可得；（2）先整理為一般式，再利用公式法求解可得．【答案】解：（1）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，∴（y﹣3+1）（y﹣3+2）＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，則y﹣2＝0或y﹣1＝0，解得y＝2或y＝1；（2）方程整理為一般式得x2﹣3x﹣8＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣8）＝41＞0，則x=3±【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【考點5解一元二次方程（換元法）】【方法點撥】換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．【例5】（2020春?文登區(qū)期中）已知實數(shù)x滿足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值為（）A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1【分析】設(shè)x2﹣2x+1＝a，則（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝化為a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判斷即可．【答案】解：設(shè)x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，當(dāng)a＝﹣3時，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程無解；當(dāng)a＝1時，x2﹣2x+1＝1，此時方程有解，故選：D．【點睛】本題考查了用換元法解一元二次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2020春?崇川區(qū)期末）已知實數(shù)x滿足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，則代數(shù)式x2﹣x+2020的值為．【分析】令x2﹣x＝t，代入原方程后根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．【答案】解：令x2﹣x＝t，∴t＝x2﹣x＝（x?12）2∴t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），∴t＝3，即x2﹣x＝3，∴原式＝3+2020＝2023，故答案為：2023．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式5-2】（2020春?開江縣期末）基本事實：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通過因式分解化為（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事實得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解為x＝3或x＝﹣2．（1）試?yán)蒙鲜龌臼聦?，解方程?x2﹣x＝0；（2）若實數(shù)m、n滿足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．【分析】（1）利用材料中的因式分解法解該方程；（2）設(shè)t＝m2+n2（t≥0），將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，通過解該方程求得t的值即可．【答案】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0∴x＝0或3x﹣1＝0解得：x1＝0，x2=1（2）t＝m2+n2（t≥0），則由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．即m2+n2的值是3．【點睛】本題主要考查了因式分解法和換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．【變式5-3】（2020春?龍泉驛區(qū)期中）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例：用換元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y(tǒng)2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）請你用換元法對多項式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8進行因式分解；（2）憑你的數(shù)感，大膽嘗試解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【分析】（1）根據(jù)材料，用換元法進行分解因式；（2）設(shè)t＝x2﹣2x．將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，通過解方程求得t的值；然后解關(guān)于x的一元二次方程即可．【答案】解：（1）設(shè)x2﹣3x＝y(tǒng)，原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8＝y(tǒng)2﹣3y﹣18＝（y﹣6）（y+3）＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；（2）設(shè)t＝x2﹣2x．則（t+1）（t﹣3）＝0．解得t＝﹣1或t＝3．當(dāng)t＝﹣1時，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．解得x1＝x2＝1．當(dāng)t＝3時，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．解得x3＝3，x4＝﹣1．綜上所述，原方程的解為x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．【點睛】本題主要考查了換元法和因式分解法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．【考點6根的判別式】【方法點撥】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．【例6】（2020?濰坊）關(guān)于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【分析】先計算判別式，再進行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．【變式6-1】（2020?鹽田區(qū)二模）關(guān)于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)a＝0時，方程無實數(shù)根 B．當(dāng)a＝﹣1時，方程只有一個實數(shù)根 C．當(dāng)a＝1時，有兩個不相等的實數(shù)根 D．當(dāng)a≠0時，方程有兩個相等的實數(shù)根【分析】直接利用方程解的定義根的判別式分析求出即可．【答案】解：A、當(dāng)a＝0時，方程為x﹣1＝0，解得x＝1，故當(dāng)a＝0時，方程有一個實數(shù)根；不符合題意；B、當(dāng)a＝﹣1時，關(guān)于x的方程為﹣x2+2x﹣1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴當(dāng)a＝﹣1時，方程有兩個相等的實數(shù)根，故不符合題意；C、當(dāng)a＝1時，關(guān)于x的方程x2﹣1＝0，故當(dāng)a＝1時，有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；D、當(dāng)a≠0時，△＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，∴當(dāng)a≠0時，方程有相等的實數(shù)根，故不符合題意，故選：C．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，正確把握其定義是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2020?閩侯縣模擬）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞0且a≠2 C．a(chǎn)＞32 D．a(chǎn)＞32【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【答案】解：根據(jù)題意得a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，解得a＞32且a故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．【變式6-3】（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）若整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有實數(shù)根，且關(guān)于x的不等式組a?x＜0x+2≤12A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先根據(jù)根的判別式和一元二次方程的定義求出a的范圍，再求出不等式組的解集，再根據(jù)題意得出a的值，最后得出選項即可．【答案】解：∵整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有實數(shù)根，∴△＝（2a）2﹣4（a+2）（a﹣1）≥0且a+2≠0，解得：a≤2且a≠﹣2，∵關(guān)于x的不等式組a?x＜0x+2≤∴解不等式組a?x＜0x+2≤12(x+7)得：a∴a可以為2，1，0，﹣1，﹣3，共5個，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元一次不等式組的整數(shù)解和根的判別式等知識點，能求出a的范圍和不等式組的范圍是解此題的關(guān)鍵．【考點7根的判別式（三角形的邊）】【例7】（2020?菏澤）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，則k的值為（）A．3 B．4 C．3或4 D．7【分析】當(dāng)3為腰長時，將x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，將k值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出k＝3符合題意；當(dāng)3為底邊長時，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出根的判別式△＝0，解之可得出k值，將k值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出k＝4符合題意．【答案】解：當(dāng)3為腰長時，將x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3，當(dāng)k＝3時，原方程為x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k＝3符合題意；當(dāng)3為底邊長時，關(guān)于x的方程x2﹣4x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝4，當(dāng)k＝4時，原方程為x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k＝4符合題意．∴k的值為3或4．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系，分3為腰長及3為底邊長兩種情況，求出k值是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2020?銅仁市）已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的兩個根，則k的值等于（）A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6【分析】當(dāng)m＝4或n＝4時，即x＝4，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)m＝n時，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到結(jié)論．【答案】解：∵m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，∴當(dāng)m＝4或n＝4時，即x＝4，∴方程為42﹣6×4+k+2＝0，解得：k＝6，當(dāng)m＝n時，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解得：k＝7，綜上所述，k的值等于6或7，故選：B．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2020春?奉化區(qū)期末）已知：關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論k取任何實數(shù)值，方程總有兩個實數(shù)根．（2）若等腰三角形ABC的底邊長為1，另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【分析】（1）先計算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況；（2）依題意有△＝0，則k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后計算三角形周長．【答案】（1）證明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴無論k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）解：依題意有△＝（k﹣2）2＝0，則k＝2，方程化為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，故△ABC的周長＝2+2+1＝5．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：①當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．【變式7-3】（2023秋?雷州市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【分析】（1）將x＝﹣1代入方程中，化簡即可得出b＝c，即可得出結(jié)論；（2）利用一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，進而得出結(jié)論；（3）先判斷出a＝b＝c，再代入化簡即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：當(dāng)x＝﹣1時，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等邊三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化為：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：這個一元二次方程的根為x1＝0，x2＝﹣1．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵是建立方程．【考點8根與系數(shù)關(guān)系（求代數(shù)式的值）】【方法點撥】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2【例8】（2023秋?東湖區(qū)校級月考）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩根．（1）填空：x1+x2＝，x1?x2＝，1x1+1x（2）求x1﹣x2的值．【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2和x1?x2的值，利用通分得1x1+1x2=x1+x2x（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±(x【答案】解：（1）x1+x2＝4，x1?x2＝2，1xx12x2+x1x22=x1故答案為4，2，2，8；（2）x1﹣x2＝±(x1?x2)【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2【變式8-1】（2020春?越城區(qū)期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則α2+β2+αβ的值為（）A．10 B．9 C．7 D．5【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整體代入的方法計算．【答案】解：根據(jù)題意得α+β＝2，αβ＝﹣3，所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ＝22﹣（﹣3）＝7．故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2【變式8-2】（2020?文登區(qū)模擬）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，則a2﹣3b+2020的值是（）A．2016 B．2020 C．2025 D．2034【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入計算即可求解．【答案】解：∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，則a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．故選：D．【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用，題目非常典型，是中考中一個熱點問題．【變式8-3】（2020春?泰興市校級期末）設(shè)m、n是方程x2+x﹣1001＝0的兩個實數(shù)根，則m2+2m+n的值為．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以變?yōu)閙2+m+m+n，把前面的值代入即可求出結(jié)果【答案】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的兩個實數(shù)根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案為：1000．【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．【考點9根與系數(shù)關(guān)系（構(gòu)造方程求值）】【例9】（2020春?崇川區(qū)期末）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的兩個實數(shù)根，其滿足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求實數(shù)a的所有可能值．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝﹣3a+1，x1?x2＝2a2﹣1，結(jié)合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，分別將a1＝3，a2=?335代入原方程，取使得根的判別式△≥0的【答案】解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣3a+1，x1?x2＝2a2﹣1．∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，即3x12﹣10x1?x2+x22+80＝0，∴3（x1+x2）2﹣16x1?x2+80＝0，∴3（﹣3a+1）2﹣16（2a2﹣1）+80＝0，整理，得：5a2+18a﹣99＝0，∴a1＝3，a2=?33當(dāng)a＝3時，原方程為x2+8x+17＝0，∵△＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，∴此時原方程無解，不符合題意，舍去；當(dāng)a=?335時，原方程為x2?104∵△＝（?1045）2﹣4×1∴符合題意．∴實數(shù)a的值為?33【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，找出關(guān)于a的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2020?十堰）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．【分析】（1）根據(jù)△≥0建立不等式即可求解；（2）先提取公因式對等式變形為x1【答案】解：（1）由題意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范圍是：k≥2．故答案為：k≥2．（2）由題意得：x1由韋達定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值為k＝3．故答案為：k＝3．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、韋達定理、一元二次方程的解法等知識點，當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．【變式9-2】（2020?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1﹣x2＝3，求k的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝2（k+1）2（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，從而列出關(guān)于【答案】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵無論k為何實數(shù)，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（12k2﹣化簡得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．【變式9-3】（2020春?東城區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別為x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2=?ba，x1x2（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的兩個根為m，n，則m+n＝，mn＝；（2）若m，n為x2﹣px+q＝0的兩個根，且m+n＝﹣3，mn＝4，則p＝，q＝；（3）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n，mn的值；（2）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合m+n＝﹣3，mn＝4，可求出p，q的值；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k，結(jié)合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2可得出關(guān)于k的一元二次方程，利用公式法解該方程即可得出k值，再將k值分別代入原方程中，驗證根的判別式是否大于等于0．【答案】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的兩個根為m，n，∴m+n=12，mn故答案為：12；?（2）∵m，n為x2﹣px+q＝0的兩個根，且m+n＝﹣3，mn＝4，∴p＝﹣3，q＝4．故答案為：﹣3；4．（3）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，整理，得：k2﹣4k+3＝0，∴k=4±∴k1＝3，k2＝1．當(dāng)k＝3時，原方程為x2﹣2x﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，∴k＝3符合題意；當(dāng)k＝1時，原方程為x2+1＝0，∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴k＝1不符合題意，舍去．∴k的值為3．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“x1+x2=?ba，x1x2=ca”；（2）牢記“x1+x2=?ba，x1x2=ca”；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x【考點10一元二次方程的應(yīng)用（傳播問題）】【例10】（2020?海豐縣一模）某種病毒傳播非?？?，如果一個人被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81個人被感染．（1）請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一個人會感染幾個人？（2）若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過700人？【分析】（1）設(shè)每輪感染中平均一個人會感染x個人，根據(jù)一個人被感染經(jīng)過兩輪感染后就會有81個人被感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)3輪感染后被感染的人數(shù)＝2輪感染后被感染的人數(shù)×（1+8），即可求出3輪感染后被感染的人數(shù)，再將其與700進行比較后即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)每輪感染中平均一個人會感染x個人，依題意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一個人會感染8個人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會超過700人．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2020春?慈溪市期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患??？【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳染后患病人數(shù)×（1+12），即可求出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，依題意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個人傳染了12個人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有2197人患病．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2020?揭西縣模擬）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了嚴(yán)重的人員傷亡和經(jīng)濟損失，其中一個原因是新冠肺炎病毒傳播速度非?？欤粋€人如果感染某種病毒，經(jīng)過了兩輪的傳播后被感染的總?cè)藬?shù)將達到64人．（1）求這種病毒每輪傳播中一個人平均感染多少人？（2）按照上面的傳播速度，如果傳播得不到控制，經(jīng)過三輪傳播后一共有多少人被感染？【分析】（1）設(shè)一個人平均感染x人，根據(jù)經(jīng)過了兩輪的傳播后被感染的總?cè)藬?shù)將達到64人，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）將x＝7代入（x+1）3中即可求出結(jié)論．【答案】（1）解：設(shè)一個人平均感染x人，可列方程：1+x+（1+x）x＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．故這種病毒每輪傳播中一個人平均感染7人；（2）（7+1）3＝512（人）答：經(jīng)過三輪傳播后一共有512人被感染．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2020?晉安區(qū)一模）衛(wèi)生部疾病控制專家經(jīng)過調(diào)研提出，如果1人傳播10人以上而且被傳染的人已經(jīng)確定為新冠肺炎，那么這個傳播者就可以稱為“超級傳播者”．如果某鎮(zhèn)有1人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．（1）經(jīng)過計算，判斷最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”嗎？寫出過程．（2）若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有多少人成為新冠肺炎病毒的攜帶者？【分析】（1）設(shè)每人每輪傳染x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠肺炎病毒的攜帶者，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值與10比較后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)經(jīng)過3輪傳染后病毒攜帶者的人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳染后病毒攜帶者的人數(shù)×（1+每人每輪傳染的人數(shù)），即可求出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)每人每輪傳染x人，依題意，得：1+x+（1+x）?x＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合題意，舍去），∵12＞10，∴最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”，（2）169×（1+12）＝2197（人），答：若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有2197人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．【點睛】本題考查了一元二次方程應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【考點11一元二次方程的應(yīng)用（面積問題）】【例11】（2020春?溧水區(qū)期末）如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，試求該矩形荒地的長．【分析】設(shè)B地塊的邊長為xm，根據(jù)“C地塊的面積比B地塊的面積少40m2”列出方程求解即可．【答案】解：設(shè)B地塊的邊長為xm，根據(jù)題意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符題意，舍去），∴10+16＝26m，答：矩形荒地的長為26m．【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到題目中的等量關(guān)系，難度不大．【變式11-1】（2023春?乳山市期中）如圖，某旅游景點要在長、寬分別為10米、6米的矩形水池內(nèi)部建一個與矩形的邊互相平行的正方形觀賞亭，觀賞亭的四邊連接四條與矩形的邊互相平行的且寬度相等的道路，已知道路的寬為正方形邊長的14（每條道路的一側(cè)均與正方形觀賞亭的一邊在同一直線上），若道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的2【分析】設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的25，即可得出關(guān)于x【答案】解：設(shè)道路的寬為x米，依題意，得：x（10﹣4x）+x（6﹣4x）+（4x）2=25×整理，得：x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合題意，舍去）．答：道路的寬為1米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2020春?西湖區(qū)期末）有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10m），圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的矩形花圃，設(shè)花圃的一邊AB為xm，面積為ym2．（1）用含有x的代數(shù)式表示y．（2）如果要圍成面積為63m2的花圃，AB的長是多少？（3）能圍成面積為72m2的花圃嗎！如果能，請求出AB的長；如果不能，請說明理由．【分析】（1）利用矩形面積公式建立函數(shù)關(guān)系式；（2）把y＝63代入函數(shù)解析式，求自變量的值，由于是實際問題，自變量的值也要受到限制；（3）把y＝72代入函數(shù)解析式，求自變量的值，然后檢驗即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）由題意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．（2）當(dāng)y＝63時，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．當(dāng)x＝7時，30﹣3x＝9＜10，符合題意；當(dāng)x＝3時，30﹣3x＝21＞10，不符合題意，舍去；∴當(dāng)AB的長為7m時，花圃的面積為63m2．（3）不能圍成面積為72m2的花圃．理由如下：如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，整理，得x2﹣10x+24＝0，解此方程得x1＝4，x2＝6，當(dāng)x＝4時，30﹣3x＝18，不合題意舍去；當(dāng)x＝6時，30﹣3x＝12，不合題意舍去；故不能圍成面積為72m2的花圃．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方