第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.僅從導(dǎo)數(shù)概念出發(fā)并不能充分體現(xiàn)這種工具的作用,需要微分學(xué)的基本定理作為橋梁.微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.§4.1

中值定理定理1(羅爾定理)設(shè)函數(shù)?(x)滿足下列條件:

(1)

在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);(3)

?(a)=?(b);羅爾(Rolle)定理2第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ

,使得boxABy=f(x)ay羅爾定理的幾何意義:

函數(shù)?(x)在[a,b]上的圖形是連續(xù)曲線弧

AB,如果除端點外,處處具有不垂直于x

軸的切線,且在閉區(qū)間[a,b]的兩個端點a與b處的縱坐標(biāo)相同,即?(a)=?(b);此時弦

3第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

顯然這些點在最高點或最低點(局部范圍內(nèi))處取得,由此啟發(fā)了我們的證明思路.AB平行于

x

軸;則在弧AB

上至少能找到一點C(ξ??(ξ)),

使曲線在點C

處的切線平行于弦AB,即平行于x軸,從而該點C處的切線斜率為boxABy=f(x)ay證因?(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),故由第二章定理16知:4第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月?(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m.下面分兩種情形討論:(1)若M=m,則?(x)在[a,b]上恒為常數(shù).從而oyxy=M5第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月故在(a,b)內(nèi)的每一點都可取作ξ

.定理顯然成立.(2)若,而?(a)=?(b)從而在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ.使得?(ξ)=M則數(shù)M

與m中至少有一個不等于端點的數(shù)值,不妨設(shè)下面證明因?(ξ)=M,則不論Δx>0或Δx<0,恒有當(dāng)Δx>0時,有當(dāng)Δx<0時,有6第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月而?(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則故必有則對式(1)和式(2)取極限有7第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月注1.羅爾定理中的三個條件是充分條件,缺一不可.否則結(jié)論不一定成立.(一般地說結(jié)論正確就需證明;否則,只須舉反例即可)用下列各圖形分別說明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)°°ξξ?(x)在[a,b]內(nèi)有間斷點ξ?(x)在(a,b)內(nèi)有不可導(dǎo)點ξ(尖點)注2.羅爾定理中的三個條件是充分而不必要的,如8第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月此函數(shù)在其定義域內(nèi)羅爾定理中的三個條件均不滿足,但是卻存在和ξ=π,使oxy=f(x)y°?π9第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.驗證函數(shù)在區(qū)間[–1,2]上滿足羅爾定理的條件,并求出滿足此結(jié)論中的ξ值.注3.羅爾定理是定性的結(jié)果,它只肯定了至少存在一個ξ,而不能肯定ξ的個數(shù),也沒有指出實際計算ξ

的值的方法.但對某些簡單情形,可從方程中解出ξ.10第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解因?(x)是一初等函數(shù),其定義域為則?(x)在[–1,2]上連續(xù),在(–1,2)內(nèi)存在,即?(x)在(–1,2）可導(dǎo).則滿足題意的點為而?(–1)=?(2)=0.即?(x)在[–1,2]上滿足羅爾定理的條件.由11第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.不求函數(shù)?(x)=(x–1)(x–2)(x–3)x的導(dǎo)數(shù),說明方程有幾個實根?并指出它們所在區(qū)間.

12第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.設(shè)?(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且?(a)=?(b)=0.試證:在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得顯然羅爾定理的端點條件要求太強了,將它去掉后就有證則F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)=F(b)=0,即滿足羅爾定理的條件.則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ

,使得13第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2拉格朗日(Lagrange)中值定理)設(shè)函數(shù)?(x)滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ

,使得oxyy=f(x)aAbBC或也稱微分中值定理.幾何意義:如果在連續(xù)曲線弧AB上,除端點外,處處具有不垂直于x軸的切線,又因弦AB的斜率為則在弧AB上至少D14第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy

y=f(x)aAbB既然羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方法來構(gòu)造輔助函數(shù).要證故只須令

F(x)=[?(b)–?(a)](x–a)–[?(x)–?(a)](b–a)

C能找到一點C,使曲線在點C

處的切線平行于弦AB.

從而只需驗證F(x)滿足羅爾定理的條件即可.易驗證這個函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性以及端點條件.注:

在[a,b]內(nèi)的任意閉區(qū)間上,拉格朗日中值定理均成立.D15第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月特別地,若

x

與x+Δx為區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩點,則有

由于當(dāng)Δx為有限時,上式是Δy的準確表達式.因而也把上式稱為有限增量公式.而函數(shù)的微分僅是Δy的近似表達式,因而有限增量公式在理論上十分有用.16第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.驗證函數(shù)?(x)=lnx在[1,e]上滿足拉格朗日中值定理.若滿足求出ξ.解因?(x)在[1,e]上連續(xù),在(1,e)內(nèi)可導(dǎo).即?(x)在[1,e]上滿足拉格朗日中值定理.而

則由拉格朗日中值公式有17第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1.幾何意義：斜率處處為0的曲線,一定是平行于x

軸的直線.推論2.下面利用拉格朗日中值定理證明等式和不等式.例5.證明證

18第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6.證明不等式分析:因0<a<b,從而b–a不為0,即只須證是函數(shù)值之差,可以考慮用拉格朗日中值定理解令?(x)=lnx

因?(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).即?(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理.從而另一方面顯然,利用拉格朗日中值定理證明等式的關(guān)鍵是:19第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.當(dāng)x>1時,證明不等式最后特殊取點(2)根據(jù)不等式的特點選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)?(x)及對應(yīng)區(qū)間[a,b],

使其滿足定理的條件,便有再根據(jù)a<ξ<b

放大或縮小導(dǎo)數(shù)證出不等式.解令(1)根據(jù)等式特點選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)?(x).先證再證20第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得(2)輔助函數(shù)可令

F(x)=[?(b)–?(a)][g(x)–g(a)]–[?(x)–?(a)][g(b)–g(a)].且由定理3(柯西Cauchy中值定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)；理論證明略.提示:(3)當(dāng)g(x)=x時,柯西中值定理即為拉格朗日中值定理.若函數(shù)?(x),g(x)滿足下列條件：(1)其證明不能分別利用拉格朗日中值定理.三.柯西(Cauchy)中值定理21第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.若?(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且a>0,試證在(a,b)內(nèi)方程至少存在一個根.證因而

在[a,b]上滿足柯西中值定理的條件.所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得故在(a,b)內(nèi)方程至少存在一個根ξ.22第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論:

拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣;柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣.柯西中值定理的特殊情形為拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理的特殊情形為羅爾定理.CRL?(a)=?(b)g(x)=x23第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

多項式對數(shù)值計算和理論分析都十分方便,所以在研究某些復(fù)雜函數(shù)時,常常希望將它們表示為一個多項式.假設(shè)?(x)在內(nèi)能夠表示為一個多項式,問題:(1)多項式的系數(shù)應(yīng)如何確定呢?(2)又為多少呢?四.泰勒(Taylor)中值定理24第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)若?(x)為一個關(guān)于x的多項式,即因多項式函數(shù)具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則可對上式兩邊求x的1至n階導(dǎo)數(shù),有假設(shè)?(x)在

內(nèi)表示為的多項式即下面對?(x)分兩種情形來討論以上問題.25第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月在上列各式中,令,則得由從而26第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月并記?(x)與之誤差為

從而有?(x),

即有當(dāng)

很小且在允許的誤差范圍之內(nèi)時,就可用

去近似代替(2)若?(x)不是多項式,而是一個在內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)的一般函數(shù),則我們可仿照上式構(gòu)造一個關(guān)于x的多項式27第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4.(泰勒Taylor中值定理)

若函數(shù)?(x)在\內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù),則

均有其中那么,誤差

如何確定呢?28第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月則F(t)在區(qū)間上連續(xù)且可導(dǎo),并有理論證明可不講.(證明提示)作輔助函數(shù)令則F(t)和G(t)滿足柯西中值定理的條