2024年新高考數(shù)學一輪復習：重難點突破二 函數(shù)的綜合應用（解析版）

重難點突破02函數(shù)的綜合應用

目錄

題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

題型二：函數(shù)與不等式的綜合

題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題

題型七：函數(shù)的旋轉問題

題型八：函數(shù)的伸縮變換問題

題型九：V型函數(shù)和平底函數(shù)

方法技巧總結

1、高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函數(shù)與不等式的綜

合、函數(shù)與導數(shù)的綜合及函數(shù)的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的

性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導數(shù)等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和

根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換形式(如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等)；

了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握指數(shù)、對數(shù)式大小比較的常見方法；掌握指數(shù)、對數(shù)方程和不等式的解法；

掌握導數(shù)的定義、求導公式與求導法則、復合函數(shù)求導法則及導數(shù)的定義、求導公式與求導法則、復合函

數(shù)求導法則及導數(shù)的幾何意義，特別是應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.

2、函數(shù)=的圖象與性質(zhì)

/=1

分奇、偶兩種情況考慮：

比如圖(1)函數(shù)/(力=國+卜_1|+卜_3|,圖(2)函數(shù)g(x)=k|+kT+|x_2|+k+l|

(1)當“為奇數(shù)時，函數(shù)=的圖象是一個“V”型，且在“最中間的點”取最小值;

(2)當〃為偶數(shù)時，函數(shù)/(x)=f|x-⑷的圖象是一個平底型，且在“最中間水平線段”取最小值;

/=1

若為等差數(shù)列的項時，奇數(shù)的圖象關于直線x=%,對稱，偶數(shù)的圖象關于直線『=年中;」中

對稱.

3、若“力為［九〃］上的連續(xù)單峰函數(shù)，且/(,M)=/(n),x0為極值點，則當k,b變化時，

g(尤)=|〃x)-丘叫的最大值的最小值為火〃)丁明|,當且僅當2=0力=，"”題)時取得.

必考題型歸納

題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

例1.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛xj滿足占=1,2—=加(1+%)5eN*),設數(shù)列｛五｝的前“

項和為S“，則以下結論正確的是()

A.B.^,-2x?+l<x?x?+1

C.2jx”+z>x”+i+1D.S”+5>2

【答案】B

【解析】2%=加(1+占)(冷河)，把玉=1代入遞推可得：%?>0,

令/(幻=工-歷*+1),x>0,貝ljr(x)=」一>0,/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，

X+1

.../W>/(0),即當x>0時，恒有網(wǎng)l+x)<x成立，

X”>0,2x,?,=/n(l+x?)<x?,x?>2x?|>x“+i,故選項A錯誤;

乂2A7<2嘉7?x,+i+l,，選項C錯誤；

,c、,?+x)2x-(2+x)/H(1+x)2+x_2x，八.

nnnn[nln(｝+xx)]

(X“-2x,?,)-x?x?+1=x?-/"(1+X“)-”2=--------2―-=—^-^Y-"，0<x??1,

2

Orr?Y

令y=T；-/〃(i+x),0<A；,1,則y'=-；--T---<o,...函數(shù)y=-^-歷(1+幻在(0,1]上遞減，

x+2(x+2Y(x+\)x+2

z.y<X0)=0,

???(乙一2七加)一%〃七十1<0,故選項5正確；

又由%>2怎+|可得當+]<*,*=1,.,.怎￡丁(當?shù)﹥H當〃=1時取"="),可得

S"'T+(+…+擊=2一(；)'"<2‘

???S/5<2,故選項。錯誤,

故選B.

例2.(2023,全國?高三專題練習)已知函數(shù)F(x)="-1,數(shù)列例“｝的前幾項和為S”,且滿足

4=；，4血=/&)，則下列有關數(shù)列僅“｝的敘述正確的是()

A.。5<14%-3aliB.%”4C.aw>1D.5I(X)>26

【答案】A

【解析】由f(x)=e*-x-l=x,解得x=()或x=x。，

由零點存在性定理得x=%e(1,2),

.?.當/<與時，??+1-??=^-2a?-l<0,數(shù)列單調(diào)遞減，

q=不<X。，.'.%=/(4)<6F)=—<XQt同理，%<"2=/("|)<彳，

迭代下去，可得0<%<4-<…數(shù)列單調(diào)遞減，

故選項B和選項C都錯誤；

「*1

乂0<an<%_]<...<4=〃一]一1<1.7—1.5=0.2,

.?.就<994+4=20.3,故D錯誤;

對于A,|4%-3at|>|3x0.5-4x0.21=0.7,

而/<%<02<0.7,

.??％<|4%一3%故A正確.

故選A.

例3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=e*-x-l,數(shù)列｛%｝的前"項和為，且滿足0=；,

。向=/(。“)，則下列有關數(shù)列僅“｝的敘述正確的是()

A.B.〃6<%C.51(X)<26D.a5>\4a2-3a｝\

【答案】C

【解析】對于A選項，<杼'-|=：，故A錯誤；

,on

對于8選項，由e*..x+l知，a?+1=/(??)=e--a?-1..0,

故他,｝為非負數(shù)列，又-—a“=e"-"

設g(x)=e'-2x-l(x>0),貝ljg'(x)=e'-2,

易知g(x)在［0,歷2)單調(diào)遞減，在(/〃2,e)上單調(diào)遞增，

所以<1-2加2=g(x)m?<g(0)=0,

又0<4=g</〃2,所以。2一4<0,從而4向-4“<0,

所以｛七｝為遞減數(shù)列，且須以；,故B錯誤：

對于C選項，

因為數(shù)列｛《,｝為遞減數(shù)列，當〃>2時，有《,</<；，

c1I11101

5ia)=fli+a2+6l3+---+ai?><2+4+4+,"+4=-4-<26,

131

故C正確；對于。選項，因為見<：，而|4a2-34l=|4%-]|>；,故。錯誤.故選C.

變式1.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛6｝滿足：a?>0,且a；=3d+「2a,“〃eN*),下列說法

正確的是()

A.若.=；,則一>%B.若q=2,則421+1m)

_a

C.%+a542a3D.|a?+2-?,1+l|>-y|??+i?\

【答案】B

【解析】a；=3*「2*(〃eN*),故a；-1=-2a,加-1,(a“+1)(%-1)=(31+1)(.-1).

??>0,故a“+l>0且3%+l>0,于是(4-D與(--1)同號,

即&-1)(%-1)>0.

對選項A：若4=g,則4-l=-g<0,則4一1<0,

片-。3=2%“(4”一1)<0,所以％<%+1,錯誤；

對選項B：4=2,4-1=1>0,則4.一1>0,即““>1,

于是a；-a：*i=2a,-)>0,gpan>an+l,數(shù)列僅“｝單調(diào)遞減，％<q=2,

422a向，7(a?+1-a?)<0,故427(%-4)+2-,即普斗

4T3〃用+17

故〃〃-IN（'）,故，正確;

3x—1

對選項C：考慮函數(shù)f（x）=j3f-2x,x>|>0,

yj3x2-2x

函數(shù)單調(diào)遞增，結合丫=工的圖像，如圖所示:

由圖可知當>0時，數(shù)列［4-q.J遞減，

a｝-a2+a2-a3>a3-a4+a4-as,所以6-a,>%-%,即《+%>2%,不正確；

對選項D：設a“M=x,則/=斤云，限="'產(chǎn),

|?n+2-4/2今—一41,即|，+"；標-J邛卜一收司,

等價于2+2?/9X2-6X>2V1+3X2（3X-1）,化簡得x2-2x+l<0,

而》2-2x+140顯然不恒成立，不正確；

故選：B.

變式2.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/（x）=sinx+lnx,將〃x）的所有極值點按照由小到大的

順序排列，得到數(shù)列｛七｝,對于V〃wN.,則下列說法中正確的是（）

A.mt<xn<（H+l）7tB?一當<兀

C.數(shù)列.是遞增數(shù)列D.〃⑸）<T+ln也普

【答案】D

【解析】/（力的極值點為f'（x）=cosx+-在（0,+8）上的變號零點.

即為函數(shù)y=COSX與函數(shù)y=-J圖像在（0,+巧交點的橫坐標.

又注意至IJxe（O,X）時，一1<0,ZeN時，cos（兀+2航）=一1<——?—,

'x兀+2E

IT

keN*，*e[]U[-+2左"，/+2好J時，cosx>0.

據(jù)此可將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標系中，如下圖所示.

，冗1

A選項，注意到ZeN時，八5+2E）=G二］>。

,廣仃+2內(nèi)）=-1+-----------<0,

一+2E、7n+2E

2

'3—~-->0

—+2人兀

2

結合圖像可知當〃=2%-1,4eN*,xe〃」冗，九冗三（（〃一1）兀，〃叮）.

n—〃-i尸，mt）.故A錯誤;

當〃=2左，AeN'，xne

53

B選項，由圖像可知七>Q五，&<：兀，貝IJ&一%>31，故B錯誤；

C選項，%-包產(chǎn)表示兩點（七,0）與，〃-；［”，0］間距離，由圖像可知，

隨著〃的增大，兩點間距離越來越近，即｛%,一汽史｝為遞減數(shù)列，故C錯誤;

D選項，由A選項分析可知，工2“w（（2〃_1）JT,4〃；1,〃€N*,

1T

又結合圖像可知，當XE&n，2B時，COSX>-L即此時用［x）>。，

</x

'（4,_1）、

得“X）在不〃，2兀上單調(diào)遞增，

\/

則/⑸）</產(chǎn)泮>-in生產(chǎn)，故D正確.

故選：D

變式3.（2023?上海楊浦?高三復旦附中?？奸_學考試）無窮數(shù)列｛4｝滿足：0<q<l,且對任意的正整

數(shù)〃，均有eJ=（3-a,,）e""，則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛《,｝為嚴格減數(shù)列B.存在正整數(shù)小使得4<0

C.數(shù)列｛%｝中存在某一項為最大項D.存在正整數(shù)〃，使得

【答案】D

【解析】因為e%=（3-qje"”>0,所以3-%>0,所以4<3,

a

由e"-'=（3-a?）e"可得""=（3-。“），則an+l-a?=ln（3-a?）,

則有4用=4,+ln（3-a0），

設函數(shù)/（x）=x+ln（3-x）,0<x<3,

當0<x<2時，f'（x）>0,當2<x<3時，f'（x）<0,

所以/（?在（0,2）單調(diào)遞增,（2,3）單調(diào)遞減,

所以/（x）4f（2）=2,

因為0<4<1,所以外=/（4）€（0,2）,6=/（%）￡（0,2）,

以此類推，對任意〃eN*,0<q,<2,故B錯誤；

所以4+1=/3"）=《+如（3-《）>%，故A錯誤;

因為。,用>耳，所以數(shù)列｛4｝中不存在某一項為最大項，C錯誤:

因為0<4<1,所以生=/（4）=4+ln（3-q）>ln3>l,

34

=f(③)=。)+ln(3—tz))>l+ln2>5>-,

3

4

所以存在正整數(shù)小使得D正確.

題型二：函數(shù)與不等式的綜合

例4.（2023?全國?高三專題練習）關于x的不等式（x-l）99994叫戶94x+1,解集為.

【答案】［一1，+8）

【解析】由題設，（X-1）W99-（2X）9999<X+1,而y=x，999在R上遞增，

當x-l>2x即X<—1時，5-9""-Qxy噂AOAx+l,原不等式不成立;

當x—lM2x即xN-l時，。-1）9期-（2欠）9"9404犬+1,原不等式恒成立.

綜上，解集為卜1,內(nèi)）.

故答案為：［-1,+8）

例5.（2023?全國?高三專題練習）意大利數(shù)學家斐波那契（1175年~1250年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引人

數(shù)列：1,1,2,3,5,8,,該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即為+2=4向+?！埃ā█川），故此數(shù)列

稱為斐波那契數(shù)列,又稱“兔子數(shù)列”,其通項公式為勺=加2)設”是不等式

logja+6）"一（1-行）［>〃+5的正整數(shù)解，貝IJ〃的最小值為.

【答案】8

［解析］由+—6）［>〃+5,得logj（l+石）”一（1一后）［一〃>5,

n

得log2[(1+V5)-(1-V5)"]-log22">5,得log(1+石)：(1-石)>5,

75o10z、

則片〉g,顯然數(shù)列｛《,｝為遞增數(shù)列且所以數(shù)列閾亦為遞增數(shù)列,

由q=%=1,得4=4+=2,4==3，=43+=5,4=%+05=8,

a-,=a5+a6=13,a8=tz6+a7=21,

產(chǎn),10

因為姆=13?=169<彳=204.8,=212=441>y=204.8,

所以

使得a：>三成立的〃的最小值為8.

故答案為：8.

例6.(2023?遼寧?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)“X)=--+x+2,若不等式-4'+1)+f(m-2X)>5

2+1

對任意的x>0恒成立，則實數(shù)優(yōu)的最小值為.

【答案】叵1

【解析】因為“X”(-3七+X+2+備-x+2=5,

所以了㈤圖象關于點(01)對稱,

2lln2_4t+(2-ln2)2r+l

又/(?=1一>0

(2X+1)2(2V+1)2?

所以/(X)在R上單調(diào)遞增,

f(m-4x+\)+f(m-2')>5等價于f(m-4x+l)+f(m-2X)>f(m-2x)+f(2x-m),

即/(w-4v+l)>f(2*-/n)恒成立,

2*_]

所以m?4'+122、一%，即加2-------(x>0)恒成立,

4+1

令2"-\=t。>。)，可得加2----~f~=――-——,

、口寸(什1)2+1r+2什2

1_1_1_五-1

而產(chǎn)+2什2=11二-公強，當且僅當，=夜時取等號，

t

所以機2叵1,即實數(shù)膽的最小值為立二1.

22

故答案為：立二L

2

變式4.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)“X)是定義域為R的函數(shù)，/(2+A-)+/(-X)=0,對任意不，

x2e[l,+oo)(%1<^),均有/(9)一/(演)>0,己知〃，人("/6)為關于x的方程x2-2x+/-3=0的兩個解,

則關于，的不等式〃。)+/。)+〃。>()的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由/(2+x)+〃-x)=0,得/⑴=0且函數(shù),f(x)關于點(1,0)對稱.

由對任意演，x,e[l,-K?)(Xj<x2),均有/(々)一/&)>0,

可知函數(shù)/(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增.

乂因為函數(shù)/(x)的定義域為R，

所以函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增.

因為a,為關于x的方程V—2x+*—3=0的兩個解，

所以八=4-4（產(chǎn)-3）＞0,解得-2＜/＜2,

且。+。=2,即力=2—。.

X/（2+x）+/（-x）=0,

令x=-a,則〃4）+/（b）=0,

則由%）+/1,）+/1⑺＞0,得〃。＞（）=/（1）,

所以/＞1.

綜上，/的取值范圍是（1,2）.

故選：D.

題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題

例7.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學校考階段練習）帕德近似是法國數(shù)學家亨利?帕德發(fā)明的用有

理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)成，“，函數(shù)/（x）在x=0處的［〃［,〃］階帕德近似定義為：

R（x）=2+：x++＞：”,且滿足:F（o）=R（o）,r（o）=/?,（o）,r（o）=r（o）,尸…（0）=/?""+"＞（0）.已

l+b|X++bnx

ax

知“Mlna+D在x=。處的［1,1］階帕德近似為注:

f"(x)=[f\x)],f\x)=[尸(切']⑷(尤)=[/(切'J⑸(x)=[7,4)(x)]\

（1）求實數(shù)。，b的值;

⑵求證：（x+切/\）＞1；

I

X+-

（3）求不等式0+_L2的解集，其中e=2.71828.

<e<1+xI

-2ab

【解析】⑴因為R"）=盤'所以"、）=,R"(x)

(1+6x)~(l+6x)j

W(X+1),則小)=+，r(x)=-

(X+1)2'

由題意知，尸(o)=R'(o),r(o)=/r(o),

a=11

所以-lab=-\'解得"=1'b=2

（2）由（1）知，即證（x+；

ln,4>1,

令，=1+—，則r>0且

X

即證]￡（0,1）（1，內(nèi)）時才三丁標>1,

記9（r）=lnf-^^,re（O.l）（l,4w）,

貝I]^（r）=--4=（：T）>o,

,（用）（+1）

所以奴f）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,??）上單調(diào)遞增，

當fe（O,l）時9（。<9（1）=0,即inf<*U，即#^ylnr>l成立，

當rw。,一）時夕（。>夕（1）=0,即inr>坐?，即#^ylnt>l成立,

綜上可得/?（）』）

所以卜+g}n[l+成立，即（x+b）/（力>1成立.

（3）由題意知，欲使得不等式（1+1）'<€<[1+!）””成立，

則至少有1+—>0，即x>0或x<-l,

X

首先考慮e<（l+L]）該不等式等價于in（l+「p>l，即（x+g）n（l+￡）>l,

又由（2）知卜+g>n（l+g）>l成立，

所以使得e<（l+；p成立的x的取值范圍是（F，T）5°，田），

再考慮(1+/),<e,該不等式等價于xln(l+￡)<l,

記力(x)=lnx-x+1,XG(0,1)(1,+co),

則，(x)=g-l=±w,所以當0<xvl時〃(x)>0,X>1時/?'(x)<0,

所以//(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+o。)上單調(diào)遞減，

所以〃(x)<〃(l)=。，即Inxvx-1,XG(O,1)(l,+oo),

所以x€(-oo,-l)u(0,+oo),

當xe(O,+<?)時由+,可知xln[l+：)<l成立，

當xe(yo,-l)時由ln[l+g)<T，可知xln(l+J)<l不成立，

所以使得(1+￡]<e成立的x的取值范圍是(0,y)，

綜上可得不等式(1+」J<e<(1+的解集為(°，口)-

例8.(2023?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學?？既?定義：如果函數(shù)y=〃x)和y=g(x)的圖像上分別存

在點M和N關于x軸對稱，則稱函數(shù)y=/(x)和y=g(x)具有C關系.

⑴判斷函數(shù)"X)=log2(8x2)和8(》)=噬了是否具有(;關系；

(2)若函數(shù)/(x)=a4=1和g(x)=-x-l不具有C關系，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(%)=xe'和g(x)=msinx(m<())在區(qū)間(0,兀)上具有C關系，求實數(shù)機的取值范圍.

【解析】(析—與g(x)是具有C關系,理由如下：

根據(jù)定義，若f(x)與g")具有C關系，則在〃x)與g(x)的定義域的交集上存在x,使得

/(x)+g(x)=0,

因為〃力=1喝(8/)，g(x)=bg「,x>0,

22

所以/(x)+g(x)=log,(8x)+logIx=log28+log2x-log2x=log,x+3,

2

令/(x)+g(x)=0,即log2X+3=0,解得x=；,

8

所以/(X)與g(x)具有c關系.

(2)令e(x)=/(x)+g(x),

因為/(x)=WxT,g(x)=-x-l,所以夕(x)=ajx-l-x-l(x21),

令f=>/x-l(tN0),則x=『+i,^y=(p^x)=at-[t~+\)-\=-r+at-2,

因為〃x)與g(x)不具有C關系，所以夕(x)在[0,+-)上恒為負或恒為正，

又因為y=—/+n-2開口向下，所以丫=一產(chǎn)+3-2在[0,+8)上恒為負，即-2+。—2<0在[。,+8)上

恒成立，

當f=0時，一/+〃-2=-2<0顯然成立;

2

當，>0時，:在[0,+8)上恒成立，

因為f+1=2&,當且僅當，=：,即.=血時，等號成立，

所以=2&,所以q<20,

\t/min

綜上：a<2V2)即“€卜8,2枝).

(3)因為〃*)=旎"和g(x)=3inx(7n〈0),

令//(x)=/(x)+g(x),則/z(x)=+msinx,

因為〃x)與g(x)在(。㈤上具有。關系，所以人⑴在(0,兀)上存在零點，

因為/i'(x)=(x+l)ev+zncosx,

當一1K〃7Vo且/￡(0,兀)時，因為(％+l)e*>1,|tncosx\<\m\<1,所以〃'(x)>0,

所以〃(%)在(0,71)上單調(diào)遞增，則"(x)>/1(0)=0,

此時力(可在(0,兀)上不存在零點，不滿足題意；

當機<一1時，顯然當XW｝兀,寸，h，M>0,

當x€(0,3時，因為死)在?上單調(diào)遞增，且力'(0)=1+機<0,嗚卜信+1產(chǎn)>0,

故"(x)在(0皮)上存在唯一零點，設為a,則〃'(a)=0,

所以當xe(0,a),/z'(x)<0；當xw1片),〃'(幻>0；又當xe],兀)時，h'(x)>0,

所以力⑴在(0,a)上單調(diào)遞減，在(%兀)上單調(diào)遞增，人(可在(0")上存在唯一極小值點a,

因為〃(0)=0,所以〃(a)<0,

乂因為人(n)=兀e">0,所以又囚在(0,兀)上存在唯零點夕,

所以函數(shù)〃x)與g(x)在(0,兀)上具有C關系，

綜上：m<-l,即6?Y>,T).

例9.(2023?重慶?高三統(tǒng)考階段練習)懸索橋(如圖)的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈

(工x\

線.1691年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為y=]e;+e;,其中c?為參數(shù).當。=1時，該方程就是

雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=,類似的我們有雙曲正弦函數(shù)sinh(x)=三匚.

⑴從下列三個結論中選擇一個進行證明，并求函數(shù)y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值;

①[cosh(x)]2-[sinh(切=1;

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2x)=[cosh(力丁+[sinh⑺1.

71

⑵求證：VXG-71.-,cosh(cosx)>sinh(sinx).

【解析】（1）證明：選①,

2

ev+e-veY-e-ve_2x4.-e-2x+.2ce_2x+.e__2x-2.

[cosh(x)]'一[sinh(x)丁=-----------------------------------=1；

2244

產(chǎn)—e-219上,一心）佇+右）

選②,sinh(2x)=—=2sinh(x)cosh(x)*

22x2

_v、2/

產(chǎn)+e-2”

選③,cosh(2x)=——+=[cosh(x)]2+[sinh(x)了.

22，

e2x+e~2x

y=cosh(2x)+sinh(x)=+e’e,4>/=sinh(x)=^-^

2

因為函數(shù)y=]、y=-2二均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)y=sinh(x)也為R上的增函數(shù),

^t=sinh(x)=^^eR,則產(chǎn)=匚言二所以cosh(2x)=2r+l,

所以y=2產(chǎn)+f+l=2,+g[+^>^,當且僅當.=一；時取"=”,

7

所以y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值為管.

O

jrcosx.-cosxsinx_-sinx

(2)證明：VxG-^，―,cosh(cosx)>sinh(sinx)<=>--------------->--------------

,?-cosA-,^-cosx、"nx-sinx

u>e十e>e—eA，

當xw［一萬,0］時，ec?x+e-cosx>0)sinx<0<-sinx,所以e'”，

所以esinx-e-sinA<0-所以ecosv+e_cosx>esinx-e**成立；

當xe(0,3時，則/，且正弦函數(shù)y=sinx在(0m上為增函數(shù)，

cosx=sin^-x^>sinx,所以e?8*之e""",-e-sin1<0<e,

sinx

所以6^+e-8sx>e-e』”成立，

冗

綜上，Vxw-zr,—,cosh(cosx)>sinh(sinx),

變式5.(2023?廣東深圳?高三深圳市南山區(qū)華僑城中學校考階段練習)布勞威爾不動點定理是拓撲學里

一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連

續(xù)實函數(shù)/(x),存在一個點%,使得/(%)=%,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱與為該函數(shù)的一

個不動點.現(xiàn)新定義：若％滿足〃毛)=-不，則稱與為/(x)的次不動點.

⑴判斷函數(shù)/(q=丁-2是否是“不動點”函數(shù)，若是，求出其不動點；若不是，請說明理由

(2)己知函數(shù)g(x)=gx+l,若。是g(x)的次不動點，求實數(shù)。的值：

(3)若函數(shù)/?(x)T°gi(4'j2)在［0,1］上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數(shù)6的取值范圍.

2

【解析】(1)依題意，設%為“X)的不動點，即/5)=%，于是得x：-2=x0,解得=2或％=-1,

所以f(x)=d-2是“不動點”函數(shù)，不動點是2和T.

112

(2)因g(x)=-x+1是“次不動點”函數(shù)，依題意有g(a)=-a，即-?+1=一。，顯然a40,解得〃=-§,

2

所以實數(shù)。的值是

(3)設以〃分別是函數(shù)〃(》)=蜒:(4'一。2)在［0,1］上的不動點和次不動點，且孫〃唯一，

由力(加)=機得：log；(4'"-%-2'")=/n,即4"‘一兒2"'=(g)M,整理得：〃=2'"—

令/(m)=2"-F，顯然函數(shù)9(m)在［。/］上單調(diào)遞增，則。(〃”而n=奴°)=°，夕(Mmax=〃)="則

7

4

由人(〃)=-〃得：1。82(4"一力2")=-%即4"_?2"=2",整理得：b=2"-l,

2

令〃(〃)=2"—1,顯然函數(shù)"⑺在［0,1］上單調(diào)遞增，“5濡=〃(0)=0,"(〃)3=〃(1)=1,則0^41,

綜上得:O<Z><1,

所以實數(shù)匕的取值范圍[0,1].

題型四：最大值的最小值問題(平口單峰函數(shù)、鉛錘距離)

例10.(2023?浙江紹興?高三浙江省柯橋中學校考開學考試)已知函數(shù)/(力=尸-6/+公+。],對于任意的

實數(shù)。，從總存在為目0,3],使得/(%)2加成立，則當相取最大值時，a+b=()

A.7B.4C.TD.-7

【答案】A

【解析】由/(x)=,-6/+奴+4，^/(x)=|x3-6x2+9x-[(9-a)x-/>]|,

設g(x)=x3-6x2+9x,貝!Ig(x)=3x2-12x+9=3(x-l)(x-3),

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

g(0)=g(3)=0,

設〃(x)=(9-a)x—6,

畫出函數(shù)的圖像如圖

對任意的實數(shù)。，6,總存在毛e[0,3],使得/(X。)2加成立，

等價于求/(X)最大值中的最小值，

由圖像可知當。=9力=-2時，冽取得最大值2,此時a+b=7,

故選：A

4

例11.(2023?湖北?高三校聯(lián)考階段練習)設函數(shù)/(x)=x+7以-"若對任意的實數(shù)mb,總存在為e[l,3]

使得/(不)2根成立，則實數(shù)加的最大值為()

A.-1B.0C."4—D.1

3

【答案】C

【解析】由已知得，*《[“xLLx

設構造函數(shù)g(x)=：+&滿足g(l)=g⑶，即4+4=g+3/l,解得2

則函數(shù)/(力可以理解為函數(shù)g(x)=：+gx與函數(shù)Mx)=g+“x+匕在橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離,

???g(l)=g(3)=?,且g(x)，+3=2j生”=季(當且僅當彳=若時取等號)，

3x3Vx33

...若設直線4的方程為y若，直線4的方程為y=￥，由此可知當*=0,直線Mx)=b位于直線乙和

168月QAn

直線4中間時，縱坐標的豎直距離取得最大值中的最小值，故[/(耳"向】_了一丁=三”，

=-^—3

所以實數(shù)機的最大值為互速.

3

故選：C.

例12.(2023?全國?高三專題練習)設函數(shù)，(x)=}",若對任意的正實數(shù)“，總存在不?1,4],使得

八為)之〃?，則實數(shù)，〃的取值范圍為()

A.(-=o,0]B.(-oo,l]C.D.(-oo,3]

【答案】D

【解析】對任意的正實數(shù)。，總存在%e[l,4],使得f(x)1mx,X6[l,4].

4

令〃(x)=--or,4>0,.二函數(shù)"(X)在xe[l,4]單調(diào)遞減，

x

WU)inax=W(1)=4-a,”(X)min=U(4)=1一4々.

①a.4時，0..4—。>1一4〃，則/(幻四=4〃-1..15.

②4>々>1時，4-?>0>l-4n,4一々+1—牝=5-5〃<0,貝U/(幻四=4a-1>3.

③一<4,1時，4一4-a+1-4tz=5—5〃..0,則/(x)x=4—a.3.

41nll

④0<%!時，4-6?>1-4?>0,則/(x).=4—.

44

綜上①②③④可得：/(幻皿之3,即如,3.

，實數(shù)機的取值范圍為(,，3].

故選：D.

r—9

變式6.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)=---ax-b,若對任意的實數(shù)a,〃，總存在毛￡[-1,2],

x+2

使得成立，則實數(shù)"?的取值范圍是()

A.卜8,；B.1-8,；C.18,gD.

【答案】B

【解析】由存在玉＞€［-1,2］,使得/(%)..“成立，故〃?W/(X)mx，

乂對任意的實數(shù)"，。，相＜/*)2,則根4"(X)maJmi?，

x—2x—2函數(shù)g(x)=M

---ax-b=---(ax+b)可看作橫坐標相同時,

x+2x+2

與函數(shù)Mx)=or+b圖象上的縱向距離的最大值中的最小值,

又g(-l)=-3,g⑵=0,作示意圖如圖所示:

設A(T,-3),B(2,0),則直線A8的方程4：y=x-2,設/2：V=x+m與g(x)相切,

y—2

則：----=X+〃?，得/++l)x+2(/77+1)=0,有△=(〃7+1)2-8(〃7+1)=0,

x+2

得加=一］或加=7,由圖知，切點c(o,-1),則小丁二不―1，

當直線以幻與4,4平行且兩宜線距離相等時，即恰好處于正中間時，

函數(shù)g(x)與力。)圖象上的縱向距離能取到最大值中的最小值，

此時/2(X)=X后，"(x)J?=|T-(-|)l=g，故施4；.

故選：B

變式7.(2023?高一課時練習)已知函數(shù)〃力=以+：+/。,無/?),當xe1,2時，設“X)的最大值為

M(a,b),則M(a,b)的最小值為()

A.-B.-C.gD.1

842

【答案】B

【解析】函數(shù)〃x)=如+1+。(。，。€用，當xe［；,2］時，f(x)的最大值為"(a,/?),

X1

可得M{a,b)>/(2)=|2a+b+；|,M(a,b)>f(g)=\^a+b+2\,M(a,b)>/(I)=|a+b+11,

12

可得5M3））+3加（44）+加34）之

336—33311

屋〃+勾+'4+為+二”〃7￡

3363332

即2M(a㈤2；,即有M(a,。)之；，則M3,。)的最小值為;,

故選：B

變式8.(2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預測)己知函數(shù)〃x)=lnx+g-ax-6(a/€R),且x°w[l,e],滿足

\nx0+—=e-\,當xe士與時，設函數(shù)的最大值為M(a,6),則用(a⑼的最小值為()

X()Le

【答案】D

【解析】設g(x)=lnx+，(x>。)，貝！lg〈x)=，--T=;^-(^>0),

XXXX

當Ovxvl時，g'(x)<o,g(x)為減函數(shù),

當X>1時,g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),所以g(x)m-g6=l，

且lnx()+,=eT,顯然

玉)

在%0上,當4=0時，/(x)=|g(x)-目，

當=g時，==當〃=芻時取等號;

22v7222

當時，㈤=。-1>等，所以MS，。).,.：等，

此時點（：,e-1）（1,1）,（x。,e-1）到直線y=b的距離都是等,

當"