第15章電路方程的矩陣形式(丘關(guān)源)

第十五章電路方程的矩陣形式重點(diǎn)：(1)關(guān)聯(lián)矩陣A、割集矩陣Q及基本割集矩陣Qf、回路矩陣B及基本回路矩陣Bf的概念及其列寫方法；(2)回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程、割集電壓方程的矩陣形式及其列寫方法。1§15.0電路的圖的復(fù)習(xí)一、電路的圖(簡(jiǎn)稱G)的畫法圖G拋開元件性質(zhì)只畫支路和結(jié)點(diǎn)6543217有向圖支路方向(電壓電流的關(guān)聯(lián)方向)R4R1R3R2R6uS6+_iR5n(結(jié)點(diǎn)數(shù))＝4b(支路數(shù))

＝72二、名詞解析(1)路徑——從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到達(dá)另一節(jié)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的支路。(2)連通圖——任意兩節(jié)點(diǎn)間至少有一條路徑時(shí)稱為連通圖。非連通圖至少存在兩個(gè)分離部分。例如：非連通圖加此路徑后為連通圖3(3)回路(Loop)

一條路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，且經(jīng)過(guò)的結(jié)點(diǎn)都相異，則這條閉合路徑就構(gòu)成回路。12345678253124578128457不是回路235是回路共有幾個(gè)回路？答：13個(gè)回路。4(4)樹T(Tree，簡(jiǎn)稱T)——樹是一個(gè)包含電路的全部結(jié)點(diǎn)、不包含回路的連通圖。注意：連通、包含所有節(jié)點(diǎn)、不含閉合路徑不是樹它的樹對(duì)應(yīng)同一個(gè)圖有很多的樹5樹支(bt)：構(gòu)成樹的支路。連支(bl)：屬于G(圖)而不屬于T(樹)的支路。12345678若：

b＝圖G中所有的支路數(shù)

n＝圖G中所有的結(jié)點(diǎn)數(shù)則：樹25782578是樹支1346是連支樹支數(shù)bt＝n－1連支數(shù)bl＝b－(n－1)63(5)基本回路(單連支回路)l——在樹中加入一條連支，該連支與若干條樹支所組成的回路。(每條連支與若干條樹支所組成的回路)12345678樹2578基本回路:127、325458、678注意：

1)基本回路具有獨(dú)占的一條連枝的特點(diǎn)。用基本回路列出KVL彼此之間一定不會(huì)重復(fù)，彼此獨(dú)立。因此基本回路一定是獨(dú)立回路。2)獨(dú)立回路數(shù)目=基本回路的數(shù)目=連支數(shù)=b－(n－1)。3)對(duì)于平面電路，獨(dú)立回路數(shù)目=網(wǎng)孔數(shù)

。7三、KCL的獨(dú)立方程數(shù)

n個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路,獨(dú)立的KCL方程為n-1個(gè)。四、

KVL的獨(dú)立方程數(shù)

KVL的獨(dú)立方程數(shù)＝基本回路數(shù)＝b－(n－1)五、電路的獨(dú)立方程數(shù)

n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路的電路中，電路獨(dú)立的方程總數(shù)為：(n－1)

＋b－(n－1)＝

b——等于支路數(shù)目8§15.1割集(Cutset)一、割集Q的基本性質(zhì)割集Q：是連通圖G中某些支路的集合，其特點(diǎn)為：(1)把割集Q中全部支路移去，電路圖分成二個(gè)分離部分。(2)任意放回割集Q中一條支路，電路圖仍構(gòu)成連通圖。

876543219可見(jiàn)：(196)支路全部移去，圖分成二個(gè)分離部分。任意放回(196)中任一條支路，圖構(gòu)成連通圖。所以(196)是割集。8765432199876543219(1268)是割集嗎？是。75439(289)、(368)、(467)、(578)等也是割集。割集的意義：一個(gè)割集就對(duì)應(yīng)于一個(gè)結(jié)點(diǎn)(或廣義結(jié)點(diǎn)),即對(duì)應(yīng)于一個(gè)KCL方程。10不是。876543219(36587)、(36289)是割集嗎？4219二、獨(dú)立割集獨(dú)立割集：割集中包含有未被割過(guò)的支路。獨(dú)立割集對(duì)應(yīng)于一組獨(dú)立的KCL方程。三、基本割集基本割集：只含有一個(gè)樹枝的割集?；靖罴欢ㄊ仟?dú)立割集。但獨(dú)立割集不一定是基本割集?；靖罴瘮?shù)=獨(dú)立割集數(shù)=樹枝數(shù)bt=n－111§15.2關(guān)聯(lián)矩陣回路矩陣割集矩陣在分析復(fù)雜電路時(shí)常遇到列代數(shù)方程組或微分方程組：如回路電流法、結(jié)點(diǎn)電壓法……。在回路多、結(jié)點(diǎn)多的情況下列寫和求解方程十分麻煩。但如果采用矩陣表示這些方程組，會(huì)使它們的表示變得十分簡(jiǎn)潔，同時(shí)也方便研究和計(jì)算，特別適合在計(jì)算機(jī)上應(yīng)用。一、圖的矩陣分類

1、關(guān)聯(lián)矩陣——結(jié)點(diǎn)~支路關(guān)系矩陣2、回路矩陣——回路~支路關(guān)系矩陣3、割集矩陣——割集~支路關(guān)系矩陣12二、關(guān)聯(lián)矩陣(用A表示)

在任一圖中，若某一支路連接在某兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上，稱該支路與這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)彼此關(guān)聯(lián)。將該圖所有結(jié)點(diǎn)與所有支路的這種關(guān)聯(lián)性質(zhì)用矩陣描述出來(lái)，稱關(guān)聯(lián)矩陣Aa。

n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣Aa如何列寫？65432171234(2)給各支路、各結(jié)點(diǎn)分別編號(hào)。為區(qū)別起見(jiàn),結(jié)點(diǎn)編號(hào)加一小圓圈。1、關(guān)聯(lián)矩陣Aa的列寫步驟(1)確定支路方向(電壓電流的關(guān)聯(lián)方向)，使圖成為有向圖。13支支路路……12結(jié)點(diǎn)①結(jié)點(diǎn)②…………有n個(gè)結(jié)點(diǎn),就有n行。有b條支路,就有b列。(3)列寫矩陣Aa。注意：矩陣中的行對(duì)應(yīng)于結(jié)點(diǎn)，列對(duì)應(yīng)于支路。矩陣Aa的每一個(gè)元素ajk定義為：ajk＝+1結(jié)點(diǎn)j與支路k關(guān)聯(lián)，支路方向背離結(jié)點(diǎn)。ajk＝-1結(jié)點(diǎn)j與支路k關(guān)聯(lián)，支路方向指向結(jié)點(diǎn)。ajk＝0結(jié)點(diǎn)j與支路k無(wú)關(guān)。1465432171234Aa＝下面這個(gè)有向圖，關(guān)聯(lián)矩陣Aa如何列寫？①②③④1234567+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+10-10+1-100

Aa中任意(n-1)行相加等于最后一行×(-1)?；颍簄行相加等于0。這是因?yàn)閚個(gè)結(jié)點(diǎn)只有(n-1)個(gè)是獨(dú)立的。即Aa的行彼此不獨(dú)立。

Aa的行怎樣才能彼此獨(dú)立？——將Aa的任一行劃去(參考點(diǎn))，并用A表示，稱為2、降階關(guān)聯(lián)矩陣A(今后常用，簡(jiǎn)稱關(guān)聯(lián)矩陣)15注：通過(guò)A可以確定Aa，從而畫出有向圖。例如設(shè)③為參考節(jié)點(diǎn)，得關(guān)聯(lián)矩陣A：A＝①②④1234567+1+1000+10-10+10+10-10-10+1-10065432171234Aa＝①②③④1234567+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+10-10+1-100163、引入關(guān)聯(lián)矩陣的作用(1)可以用矩陣Ai表示獨(dú)立的KCL方程組。即獨(dú)立的KCL方程組可表示為:Ai＝0——證畢(n-1)

個(gè)獨(dú)立KCL方程65432171234證明：設(shè)：各支路電流列矩陣為：i＝[i1i2i3i4i5i6i7]T以④為參考節(jié)點(diǎn)的A與i相乘得:A·i＝i1i2i3i4i5i6i7＝+i1+i2+i6-i1+i3+i5-i7-i3-i4-i6+i7＝000+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+117(2)可以用矩陣ATun

表示各支路電壓。65432171234各支路電壓~各結(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系矩陣：u＝ATun設(shè)：各支路電壓列矩陣為：u＝[u1u2u3u4u5u6u7]T以④為參考節(jié)點(diǎn)各結(jié)點(diǎn)電壓列矩陣為:un＝[un1un2un3]T以④為參考節(jié)點(diǎn)的AT與un相乘得:＝+un1-un2+un1+un2-un3-un3+un2+un1-un3-un2+un3＝u1u2u3u4u5u6u7ATun＝un1un2un3+1-10+1000+1-100-10+10+10-10-1+1＝u18Aa=1234123456

支結(jié)-1-10100001-1-1010001101-100-11２３６５４①②④③設(shè)④為參考節(jié)點(diǎn),得降階關(guān)聯(lián)矩陣設(shè)③為參考節(jié)點(diǎn),得降階關(guān)聯(lián)矩陣A=124123456-1-10100001-1-1001-100-1A=123456-1-10100001-1-10100011123例119三、回路矩陣

(用B表示)

在任一圖中，若某個(gè)回路由一些支路組成，稱這些支路與該回路相關(guān)聯(lián)。將該圖所有獨(dú)立回路與所有支路的這種關(guān)聯(lián)性質(zhì)用矩陣描述出來(lái)，稱回路矩陣B。

l個(gè)獨(dú)立回路、b條支路的回路矩陣B如何列寫？1654231234(2)給各支路分別編號(hào)。給各獨(dú)立回路分別編號(hào)，并確定繞行方向。1、回路矩陣B的列寫步驟(1)確定支路方向(電壓電流的關(guān)聯(lián)方向)，使圖成為有向圖。l1l3l220回路矩陣B的每一個(gè)元素bjk定義為：bjk＝+1支路k與獨(dú)立回路j關(guān)聯(lián)，二者方向一致。bjk＝-1支路k與獨(dú)立回路j關(guān)聯(lián)，二者方向相反。bjk＝0支路k與獨(dú)立回路j無(wú)關(guān)。(3)列寫矩陣B。注意：矩陣中的行對(duì)應(yīng)于獨(dú)立回路，列對(duì)應(yīng)于支路。有l(wèi)個(gè)獨(dú)立回路，就有l(wèi)行。有b條支路，就有b列。支支路路……12獨(dú)立回路l1獨(dú)立回路l2…………21B＝下面這個(gè)有向圖，回路矩陣B如何列寫？l1l2l3回路矩陣B的每一個(gè)元素bjk定義為：bjk＝+1支路k與獨(dú)立回路j關(guān)聯(lián)，二者方向一致。bjk＝-1支路k與獨(dú)立回路j關(guān)聯(lián)，二者方向相反。bjk＝0支路k與獨(dú)立回路j無(wú)關(guān)。123456+1-100-100+1+100+1000-1+1-11654231234l1l3l2注：通過(guò)B可以畫出有向圖。此外：獨(dú)立回路取法不同，B則不同。2265432171234例15421234樹Bf＝bl1bl3bl6bl71234567+1-100+100

0

0+1-1-1

000-10-10+10000+1+1

0+12、基本回路矩陣Bf定義：(1)選基本回路(單連枝回路)作為獨(dú)立回路;(2)連支的支路方向作為回路繞行方向；(3)注意:矩陣中,行順序=連支順序。以2、4、5支路為樹,列Bf。若將列中的連支和樹支分開兩邊，會(huì)產(chǎn)生什么現(xiàn)象？23取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，順時(shí)針?lè)较?２３６５４①②④③12301110000-10-111-1000-1例2若選4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。123B＝123456支回1001-100101-1100101-1=[1Bt]BlBt123B＝123456

支回６５①②④③４24矩陣形式的、獨(dú)立的的KVL方程組可表示為:Bu＝03、引入回路矩陣B的作用(1)可以用回路矩陣Bu表示獨(dú)立的、矩陣形式的KVL方程組1２３６５４①②④③設(shè)各支路電壓列矩陣為：u＝[u1u2u3u4u5u6]TBu=u1u2u3u4u5u6＝000123456l1l3l2+u1-u2-u6+u2+u3+u4-u3-u5+u6＝以l1、l2、

l3為獨(dú)立回路的B與u相乘得:l1l2l3獨(dú)立KVL方程1-1000-101110000-10-11251２３６５４①②④③(2)可用BTil表示各支路電流。各支路電流~各回路電流的關(guān)系矩陣：i＝BTil設(shè)各支路電流列矩陣為：i＝[i1i2i3i4i5i6]T設(shè)各獨(dú)立回路電流列矩陣為：il＝[il1il2il3]T＝i1i2i3i4i5i6BTil＝il1il2

il3

100-11001-101000-1-101l1l3l2il1-il1+il2il2–il3il2-il3-il1+il3＝＝i26四、獨(dú)立割集矩陣

(用Q表示)

在某圖中，若某一割集由某些支路組成，稱這些支路與該割集關(guān)聯(lián)。將該圖所有獨(dú)立割集與所有支路的這種關(guān)聯(lián)性質(zhì)用矩陣描述出來(lái)，稱獨(dú)立割集矩陣Q(簡(jiǎn)稱割集矩陣)。

n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路的割集矩陣Q如何列寫？1654231234(2)給各支路編號(hào)。(3)給各獨(dú)立割集編號(hào)，并指定各割集方向。割集將圖分為兩部分后，割集方向?yàn)槠渲幸徊糠种赶蛄硪徊糠帧?、割集矩陣Q(C)

的列寫步驟(1)確定支路方向(電壓電流的關(guān)聯(lián)方向)，使圖成為有向圖。Q1Q3Q227n個(gè)結(jié)點(diǎn)的圖,其獨(dú)立割集為(n-1)個(gè),有(n-1)

行。有b條支路，就有b列。(4)列寫矩陣Q。注意：矩陣中的行對(duì)應(yīng)于獨(dú)立割集，列對(duì)應(yīng)于支路。矩陣Q的每一個(gè)元素qjk定義為：qjk＝+1割集j與支路k關(guān)聯(lián)，二者方向一致。qjk＝-1割集j與支路k關(guān)聯(lián)，二者方向相反。qjk＝0割集j與支路k無(wú)關(guān)。支支路路……12獨(dú)立割集Q1獨(dú)立割集Q2…………28下面這個(gè)有向圖，獨(dú)立割集矩陣Q如何列寫？Q1Q2Q3矩陣Q的每一個(gè)元素qjk定義為：qjk＝+1割集j與支路k關(guān)聯(lián)，二者方向一致。qjk＝-1割集j與支路k關(guān)聯(lián)，二者方向相反。qjk＝0割集j與支路k無(wú)關(guān)。1234561654231234Q1Q3Q2-1-11000-1-10-10110

0110Q＝注:獨(dú)立割集取法不同，Q則不同。29以2、5、6支路為樹,列Qf。Q2Q5Q612345611-10

0010011000-1-10

1Qf＝2、基本割集矩陣Qf定義：(1)選基本割集(單樹枝割集)為獨(dú)立割集;(2)樹支的支路方向作為割集方向；(3)注意:矩陣中,行順序=樹支次序。1654231234Q2Q56521234樹例1Q6若將列中的連支和樹支分開兩邊，會(huì)產(chǎn)生什么現(xiàn)象？303、引入割集矩陣Q的作用(1)可以用Qi表示獨(dú)立的、矩陣形式的KCL方程組設(shè)各支路電流列矩陣為：i＝[i1i2i3i4i5i6]T(n-1)

個(gè)獨(dú)立KCL方程Q·i＝＝00011-10

0010011000-1-10

1i1i2i3i4i5i6123456i1+

i2-i3i1+i4+i5-i3-i4+i6＝矩陣形式的、獨(dú)立的KCL方程組可表示為:Qi＝01654231234Q2Q5Q6311654231234(2)可以用QfT

ut表示各支路電壓。設(shè)各樹枝電壓列矩陣為：ut=[u2u5u6]T設(shè)各支路電壓列矩陣為：u＝[u1u2u3u4u5u6]TQfT

ut＝u2+u5u2-u2-u6+u5-u6u5u6＝u1u2u3u4u5u6＝＝u各支路電壓~各樹枝電壓的關(guān)系矩陣：u＝QfT

ut選2、5、6支路為樹110100-10-101-1010001123456u2u5u6Q2Q5Q6Q2Q5Q632小結(jié)ABQKCLAi=0BTil＝iBlTil＝itQi=0it=-QlilKVLATun=uBu=0ul=-BtutQfTut=uul=QlTut紅色字體部分各位自己證明。其中：i~支路電流;il~連支電流;it~樹支電流u~支路電壓;un~結(jié)點(diǎn)電壓;ut~樹支電壓;ul~連支電壓33§15.3支路電壓電流關(guān)系及其矩陣形式(支路方程矩陣形式)支路電壓與支路電流的關(guān)系及其矩陣形式是網(wǎng)絡(luò)矩陣分析法的基礎(chǔ)。一、標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合支路為減少方程的數(shù)目,簡(jiǎn)化計(jì)算,一條標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合支路被定義為：Zk(Yk)-++-k該支路的有向圖為：34注意：(1)支路電壓與支路電流方向要關(guān)聯(lián)(為支路方向)。(2)usk、isk分別表示k號(hào)支路的獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源，列寫方程時(shí)其方向與支路方向相反時(shí)取“+”。(3)Zk(Yk)是支路復(fù)阻抗(或復(fù)導(dǎo)納)，且只能是單一的電阻、電容、電感，而不能是它們的組合。即：Zk＝Rk

或：Zk＝

jLk或：Zk＝

1/jCkZk(Yk)-++-k35(4)標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。Zk(Yk)Zk(Yk)-+Zk(Yk)-+-+Zk＝0Zk＝0Zk＝∞36二、(以支路電壓為未知量)的支路方程矩陣形式1、支路方程矩陣形式某電路若有b條支路，則有：Zk(Yk)-++-……矩陣bb階的阻抗矩陣k支路電壓、電流關(guān)系為：k37設(shè)：阻抗矩陣Ik

,Uk均取“+”ISk

,USk方向與支路方向相反時(shí)取“+”382、支路阻抗的矩陣形式(1)無(wú)耦合電感、無(wú)受控源時(shí)的阻抗矩陣形式某電路若有b條支路，則Z可如下列寫：(2)有耦合電感時(shí)的阻抗矩陣形式設(shè)某電路有b條支路，其中g(shù)、x兩條支路之間有互感耦合Mgx，則Z可如下列寫：＝diag[Z1,Z2……Zb]39±jMgx的正負(fù)號(hào)取法：先畫有向圖。若兩條支路方向都從同名端進(jìn)(出)，則取“+”號(hào)。否則為“-”。g行x列g(shù)列x行40證明：用矩陣表示，得：設(shè)某電路有b條支路，其中只有g(shù)、x兩條支路之間有互感耦合Mgx，其余支路之間無(wú)互感耦合，如圖所示，則有：*-+jLg*-+jLxMgx41Zbb階非對(duì)角陣±jMgx的正負(fù)號(hào)取法：先畫有向圖。若支路方向都從同名端進(jìn)(出)，則取+號(hào)。42例1

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3寫出圖示電路支路電壓、電流關(guān)系矩陣。1①23465②③④43例2

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M寫出圖示電路支路電壓、電流關(guān)系矩陣。1①23465②③④44(3)含有受控電壓源時(shí)的阻抗矩陣形式-++-Zk-+設(shè)第k支路含受控電壓源，受j支路控制，Z可如下列寫：±Zkj正負(fù)取法:當(dāng)udk與uk方向(支路方向)相同時(shí)取“+”Zkj大小取法:當(dāng)控制源為電流ij時(shí),即udk＝r

ij時(shí)：Zkj＝r當(dāng)控制源為電壓uj時(shí),即udk＝

uj時(shí)：Zkj＝Zjj列k行45例3

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-1①23465②③④寫出圖示電路的阻抗矩陣。R1000000j

L2

j

M0000j

M

j

L30000001/j

C000000R50000

/j

C

0R6Z＝46二.(以支路電流為未知量)的支路方程矩陣形式1、支路方程矩陣形式k支路電壓、電流關(guān)系為：某電路若有b條支路，則有：……-++-Zkkbb階的導(dǎo)納矩陣矩陣472、支路導(dǎo)納的矩陣形式(1)無(wú)電感耦合、無(wú)受控源時(shí)的導(dǎo)納矩陣形式(2)有電感耦合時(shí)的導(dǎo)納矩陣形式方法：先按前述方法求Z，再求Y＝Z–1＝diag[Y1,Y2……Yb]Y＝Z-1實(shí)際上：48其中：△＝j(luò)L2·jL4－jM·jM例如：Y=Z-149(3)含有受控電流源時(shí)的導(dǎo)納矩陣形式)±Ykj正負(fù)取法:當(dāng)idk與ik方向(支路方向)相同時(shí)取“+”Ykj大小取法:當(dāng)控制源為電流ij時(shí),即idk＝

ij時(shí)：Ykj＝

Yj當(dāng)控制源為電壓uj時(shí),即idk＝guj時(shí)：Ykj＝g設(shè)第k支路含受控電流源，受支路j控制，Y可如下列寫：j列k行-+Zk+-50求圖示電路的支路導(dǎo)納矩陣。例40

00-(-2)0002

000000

4

0003000

0000001

00000

010Y＝51求圖示電路的支路導(dǎo)納矩陣。例52

0000-30.2500000

0

0100001

000005Y＝52例6

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-1①23465②③④寫出圖示電路的導(dǎo)納矩陣。1/R1

0

0

0000

j

L3/△-j

M/△

00

00-j

M/△j

L2/△00

000

0

j

C

0

00

0

0

01/R500

0

0-

/R601/R6Y＝53B——回路矩陣；Z——阻抗矩陣；——l個(gè)獨(dú)立回路電流矩陣；——標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合支路usk的矩陣;方向與支路方向相反時(shí)取“+”——標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合支路isk的矩陣;方向與支路方向相反時(shí)取“+”設(shè):Zl＝BZBT——稱為回路阻抗矩陣,為l階的方陣。當(dāng)電路中不含互感以及受控源時(shí),其主對(duì)角線元素為回路阻抗之和,其余元素為回路間的阻抗,若流經(jīng)它的兩回路電流方向相同時(shí)取“+”。§15.4回路電流方程的矩陣形式

(以獨(dú)立回路電流為未知量列出的方程——回路電流方程)-+Z(Yk)+-一、回路電流方程的矩陣公式

54用阻抗表示的支路方程：獨(dú)立回路電流證明：-+Z(Yk)+-55二、列回路電流方程矩陣的步驟1、任選獨(dú)立回路(或網(wǎng)孔)電流方程矩陣的列寫步驟R1j

L3j

L41/j

C5R2+-例1(1)畫出電路的有向圖。選定獨(dú)立回路(或網(wǎng)孔)及其繞行方向。12345l1l2(2)求出B。-101010101-1l1l2B＝1234556R1j

L3j

L41/j

C5R2+-Zl＝BZBT＝12345l1l2(3)求出

Z以及Zl矩陣。57(5)代入公式，列出回路電流方程矩陣。(4)寫出R1j

L3j

L41/j

C5R2+-12345l1l2根據(jù)：582、指定“樹”時(shí)電流方程矩陣的列寫步驟(2)求出Bf例2

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L31①23465②③④現(xiàn)以{1、2、3}為樹,試用矩陣法寫出電路回路方程。(直接寫出無(wú)分)解：(1)根據(jù)“樹”，確定基本回路。-110100

0-1-1010-111001l4l5l6Bf＝123456

59(3)求出

Z矩陣。

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L31①23465②③④(4)寫出60(5)代入公式，列出回路電流方程矩陣。根據(jù)：61例3

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-難1①23465②③④現(xiàn)以{2、3、4}為樹，試用矩陣法寫出電路回路方程。(直接寫出無(wú)分)解：1-10

-1

00

0-1-1010

001-101l1l5l6Bf＝123456

62根據(jù)：

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-63圖示電路已編號(hào)如圖G所示，現(xiàn)以{1、3、5}為樹，試用矩陣法寫出電路回路方程。(直接寫出無(wú)分)例4解：l3l2l1Il＝[Il1

Il2Il3]TZ＝diag[246011]US＝[1000-505]TIS＝[000000]T根據(jù):BfZBfTIl＝BfUS-BfZIS64A——關(guān)聯(lián)矩陣；Y——導(dǎo)納矩陣；——(n-1)個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電壓矩陣;——標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合支路usk的矩陣;方向與支路方向相反時(shí)取“+”——標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合支路isk的矩陣;方向與支路方向相反時(shí)取“+”設(shè)：Yn＝AYAT——稱為結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣,這是個(gè)(n-1)階的方陣。當(dāng)電路中不含互感以及受控源時(shí),Yn的主對(duì)角線元素為自導(dǎo)納之和。其余元素為兩獨(dú)立結(jié)點(diǎn)之間的互導(dǎo)納，均取“-”。

§15.5結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式(以獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電壓為變量列出的方程——結(jié)點(diǎn)電壓方程)-+Z(Yk)+-一、結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣公式65證明：用導(dǎo)納表示的支路方程：獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電壓Y＝Z-1又因?yàn)椋?+Z(Yk)+-66(1)畫出電路的有向圖,選定獨(dú)立節(jié)點(diǎn)和參考點(diǎn)。5V0.5

2

1

0.5

5

1

3A1A+-1①23456②③④二、列結(jié)點(diǎn)電壓方程矩陣的步驟1、任選參考點(diǎn)時(shí)結(jié)點(diǎn)電壓方程矩陣的列寫步驟例1(2)求出A。以4為參考點(diǎn)。123A＝123456支節(jié)1100010-1110000-101-1(3)求出Y矩陣。67(5)代入公式，列出結(jié)點(diǎn)電壓方程矩陣。根據(jù)：(4)寫出5V0.5

2

1

0.5

5

1

3A1A+-1①23456②③④68例2

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L3解：110010

0-1110000-10-11①②③A＝123456

1①23465②③④寫出節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。(直接寫出不給分)2、指定參考點(diǎn)時(shí)結(jié)點(diǎn)電壓方程矩陣的列寫步驟69

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L3根據(jù)：70例3R1C3L5R2L6

+u1-

+us2-is1g21u1C4-

us4

+

46i6i6is4100110

0010-11010-10-1①②③A＝