第二章 數(shù)據(jù)分布的特征量數(shù)1

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kechengjiaoxue@163.com密碼：20092009在期末考試后，學(xué)生、家長、教師、學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)等各類人士都會(huì)關(guān)心學(xué)生考試成績，那么，他們通常會(huì)關(guān)心哪些問題？假如你是班主任，你將如何回答他們的問題？第二章數(shù)據(jù)分布的特征量利用特定的算式或?qū)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行必要的統(tǒng)計(jì)處理而確定出一些能夠反映與描述一批數(shù)據(jù)的全貌及特征的量數(shù)，稱為數(shù)據(jù)分布的特征量。常用的特征量：中心測(cè)度

平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)變化測(cè)度全距；方差與標(biāo)準(zhǔn)差；四分位數(shù)和四分位距；極值形態(tài)測(cè)度偏度；峰度（一）中心測(cè)度

中心測(cè)度是指刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的數(shù)字，用來描述數(shù)據(jù)的中心位于何處。最常用的中心測(cè)度為平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，其中平均數(shù)和中位數(shù)只適用于定量數(shù)據(jù)，而眾數(shù)既適用于定量數(shù)據(jù)，也適用于定性（分類）數(shù)據(jù)。（1）算術(shù)平均數(shù)（M）μ——總體算術(shù)平均數(shù)

——樣本算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的特性所有觀察值關(guān)于平均數(shù)的偏差和為零，即對(duì)極值非常敏感。所有觀察值關(guān)于平均數(shù)的偏差平方和最小。

算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算利用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算利用頻數(shù)分布表計(jì)算

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)

——反應(yīng)靈敏

——嚴(yán)密確定

——簡明易懂

——適合代數(shù)運(yùn)算

——受抽樣變動(dòng)的影響較小缺點(diǎn)

——易受極端數(shù)值的影響

——一組數(shù)據(jù)中某個(gè)數(shù)值的大小模糊不清或不夠確切時(shí)無法計(jì)算算術(shù)平均數(shù)的幾個(gè)特殊優(yōu)點(diǎn)只知一組觀察值的總和及總次數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)。用加權(quán)法可以求出幾個(gè)平均數(shù)的總平均數(shù)。用樣本數(shù)據(jù)推斷總體集中量時(shí)，算術(shù)平均數(shù)最接近于總體集中量的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計(jì)值。在計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，都要用到它。（2）加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)。用表示。其計(jì)算公式有兩種形式

（3）中位數(shù)定義：中位數(shù)是把按從小到大（從大到?。┡帕械囊唤M數(shù)據(jù)一分為二的數(shù)值。中位數(shù)的計(jì)算：

1.用原始數(shù)據(jù)計(jì)算（分奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)和偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）

2.利用次數(shù)分布表計(jì)算48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)次數(shù)分布表分?jǐn)?shù)頻數(shù)累積頻數(shù)45-50-55-60-65-70-75-80-85-90-95-1202387775613358162330374248總和48利用次數(shù)分布表計(jì)算中位數(shù)（1）計(jì)算公式(由小向大計(jì)算)

表示中位數(shù)所在組的下限；

N表示總頻數(shù)；中位數(shù)所在組的頻數(shù)；表示小于中位數(shù)所在組下限的頻數(shù)綜合。中位數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：不易受極端值影響缺點(diǎn)：不適合代數(shù)計(jì)算應(yīng)用條件：一組數(shù)據(jù)中有特大或特小兩極端數(shù)值時(shí)；一組數(shù)據(jù)中兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不確切、不清楚時(shí)；當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)；數(shù)據(jù)資料屬于等級(jí)性質(zhì)時(shí)。（4）眾數(shù)眾數(shù)的概念

理論眾數(shù)是指與頻數(shù)分布曲線最高點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)。

粗略眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中頻數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)。眾數(shù)的計(jì)算方法（1）用觀察法直接尋找眾數(shù)

在頻數(shù)分布表中,頻數(shù)最多一組的組中值就是粗略眾數(shù)。當(dāng)兩個(gè)相鄰的組的頻數(shù)都是最多時(shí)，那么兩分組的分組點(diǎn)就是眾數(shù)。（2）皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)法

當(dāng)頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)，皮爾遜發(fā)現(xiàn)眾數(shù)近似地等于3倍的中位數(shù)減去2倍的算術(shù)平均數(shù)。眾數(shù)的計(jì)算方法眾數(shù)的適用情況當(dāng)需要快速而又粗略地找出一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)。當(dāng)需要利用算術(shù)平均值、中位數(shù)、眾數(shù)三者關(guān)系來粗略判斷頻數(shù)分布的形態(tài)時(shí)。利用眾數(shù)幫助分析解釋一組次數(shù)分布是否確實(shí)具有兩個(gè)次數(shù)最多的集中點(diǎn)時(shí)。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者之間的關(guān)系例：某地抽出100戶家庭．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有20戶是兩口人，40戶是三口人，40戶是四口人。如果將數(shù)據(jù)排隊(duì)，則有：

例：1975年美國7800萬

男性年收入的直方圖常用中心測(cè)度概括測(cè)度特點(diǎn)使用注意事項(xiàng)眾數(shù)適合于描述分類變量或稱名變量的趨中程度

不準(zhǔn)確、信息量有限、易產(chǎn)生誤導(dǎo)中數(shù)如果需要知道數(shù)據(jù)分布的中點(diǎn)或者數(shù)據(jù)分布明顯偏態(tài)時(shí)，優(yōu)先使用。對(duì)存在的極端高或極端低的數(shù)值不敏感平均數(shù)是最經(jīng)常使