高中數(shù)學 北師大版必修二 三角函數(shù)恒等變換 單元教學設計

安徽省2022年普通高中新課程新教材優(yōu)質課評選暨優(yōu)秀課例匯集活動

從三角函數(shù)定義到三角恒等變換，發(fā)展

邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng)

2022年10月

目錄

1.單元內容分析：P6-P9

2.第一課時：同角三角函數(shù)的基本關系...P10-P18

3.第二課時：綜合應用...P19-P23

4.第三課時：兩角和與差的余弦公式及其應用...P24-P28

5.第四課時：兩角和與差的正弦、正切公式及其應

用...P29-P34

6.第五課時：三角函數(shù)的疊加及其應用...P35-P39

7.第六課時：積化和差與和差化積公式...P40-P47

8.第七課時：二倍角公式...P48-P53

9.第八課時：半角公式...P54-P57

10.第九課時三角恒等變換單元小結??.P58-P65

2

從三角函數(shù)定義到三角恒等變換，發(fā)展

邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng)

一、《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2022年修訂）》要求及分析

（一）課程標準的要求

1.內容要求

三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù).本單元的學習，可以幫助學生在用銳角

三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的

概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的

周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最大（小）值等性質；探索和研究三角函

數(shù)之間的一些恒等關系；利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型，解決實際問題。

內容包括：角與弧度、三角函數(shù)概念和性質、同角三角函數(shù)的基本關系式、

三角恒等變換、三角函數(shù)應用。

對于三角恒等變換的要求：

（1）同角三角函數(shù)的基本關系式

理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2%+cos2?=l,s^nx=tanx.

COSX

（2）三角恒等變換

①經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。

②能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍

角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系。

③能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括推導出積化和差、和差化積、

半角公式，這三組公式不要求記憶。

2.教學提示

三角函數(shù)的教學，應發(fā)揮單位圓的作用，引導學生結合實際情境，借助單位

圓的直觀，探索三角函數(shù)的有關性質.在三角恒等變換的教學中，可以采用不同

的方式得到三角恒等變換基本公式，也可以引導學生利用向量的數(shù)量積推導出兩

角差的余弦公式.三角函數(shù)應用的教學，要引導學生理解如何用函數(shù)描述客觀世

3

界事物的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系。

3.學業(yè)要求

掌握三角函數(shù)的背景、概念和性質.能夠建立三角函數(shù)模型解決簡單的實際

問題.重點提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

4.教法建議

（1）整體把握三角函數(shù)式之間的變換關系，關注到用單位圓建立一般三角

函數(shù)的概念，用幾何直觀和代數(shù)運算、向量運算的方法研究三角函數(shù)性質的同時，

得到三角函數(shù)之間的一些恒等關系.通過從一些基本公式出發(fā)推導出其他公式，

讓學生體會演繹推理的作用以及三角恒等變換的邏輯體系。

（2）對學生進行恒等變換的訓練的過程中，要挖掘三角恒等變換的思維訓

練價值及運算訓練價值，重視“通性通法”，通過預測變換目標、選擇與變換設

計途徑，培養(yǎng)學生運算推理的基本思想，提升運算能力與推理能力。

（二）課程標準要求分析

從課標四個方面的要求，可以看出課程標準強調以下四個方面的內容：

1.單位圓下的三角函數(shù)定義是本單元知識的母體與生長點，所以從幾何直觀

入手，經歷數(shù)學抽象和邏輯推理，是三角恒等變換公式產生與發(fā)展的必經之路。

2.加強知識之間的聯(lián)系，強調用向量的數(shù)量積來推導兩角差的余弦公式，不

斷把所學知識納入到數(shù)學整體知識結構中。

3.能從兩角差的余弦公式導出三角恒定變換基本公式，體會演繹推理的作用

以及三角恒等關系的邏輯體系；要求以推導積化和差、和差化積、半角公式作為

三角恒等變換訓練的基本內容，不要求用積化和差、和差化積、半角公式作復雜

的恒等變換.

4.通過對三角恒等變換的訓練，注意“通性通法”，樹立和培養(yǎng)學生“目標

意識”，注重對“目標差異”進行分析，通過預測變換目標、選擇與變換設計途

徑，培養(yǎng)學生運算推理的基本思想，提升運算能力與推理能力。

二、教材分析

（-）三角函數(shù)主線分析

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）（2020年修訂）》加強了函數(shù)內容和三

角函數(shù)內容的整體性，把“三角函數(shù)”納入“主題二函數(shù)”中，在教學提示中明

4

確提出：教師應把本主題的內容視為一個整體。三角函數(shù)又是學生在高中階段系

統(tǒng)學習的最后一個基本初等函數(shù)，在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關系

的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；用

幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的性質；利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型,

利用恒等變換進行運算，從而解決實際問題。

(二)單元內容分析

1.知識結構

恒等變換是運算的基本功，依托三角恒等變換感悟運算體系的邏輯關系.

三%￡?2?，

?an*n??n

I.?????三■■■處式

rΓ■

s?竽

≡

s=SG=*

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s^isQ??公式

2.課時安排

本單元教學時間共需9課時，具體分配如下:第1-2課時的內容是同角三角

函數(shù)的基本關系；第3-6課時的內容是兩角和與差的三角函數(shù)公式；第7-8課時

的內容是二倍角的三角函數(shù)公式；最后一個課時進行單元小結。

(≡)單元內容分析

三角函數(shù)式間的變換關系，是在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關系

的基礎上，借助單位圓用幾何直觀和代數(shù)運算、向量運算的方法找到三角函數(shù)之

間的一些恒等關系.

1.同角三角函數(shù)的基本關系

本節(jié)分三個部分，第一部分利用單位圓和三角函數(shù)的定義推導出了同角三角

函數(shù)的基本關系式；第二部分由某一個三角函數(shù)值利用關系式，求出其他三角函

數(shù)值；第三部分靈活運用基本關系式進行化簡變形.在解決問題中，教材重視“通

性通法”，突出了方程思想、化歸轉化、分類討論等數(shù)學思想方法的指導作用.

2.兩角和差的三角函數(shù)公式

(1)首先通過向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的定義推導出兩角差的余弦公式，

5

再借助換元法和誘導公式推導出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式，然

后利用弦切之間的轉化關系推導兩角和與差的正切公式，體現(xiàn)了從特殊到一般、

一般到特殊的數(shù)學思維過程，同時揭示公式的特點及整體的公式推導途徑.

（2）利用輔助角公式，可以將某些三角函數(shù)式化簡成為Asin（5+°）的形式,

再利用公式解決一些簡單的三角函數(shù)問題.

（3）在討論三角函數(shù)的一些問題的過程中，有時需要把三角函數(shù)的積化為

和或差的形式，有時又需要把和或差化為積的形式，因此教材中把“積化和差與

和差化積公式”也單列一小節(jié).

3.二倍角的三角函數(shù)公式

二倍角公式本質上是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況，半角公式與二倍角

公式是同一種公式的兩種不同表現(xiàn)形式.因此，正確理解這些公式之間的邏輯關

系，完成公式推導是發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)的載體，在公式的使用中還可以發(fā)展

學生的運算素養(yǎng).

（四）教學重難點

教學重點：

（1）同角三角函數(shù)的基本關系.

（2）用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式；從余弦公式出發(fā)，導出兩角

和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的

內在聯(lián)系.

（3）運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括推導出積化和差、和差化積、

半角公式，這三組公式不要求記憶）.

教學難點：

（1）用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式；

（2）在公式推導和三角恒等變換訓練的過程中如何預測變換目標，選擇與

設計變換途徑.

（五）核心素養(yǎng)進階

本單元內容安排的一條明線是建立公式，學習變換，還有一條暗線是發(fā)展邏

輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).提升素養(yǎng)的要求不僅體現(xiàn)在建立公式的過程，也體現(xiàn)在

學習變換的過程.在三角恒等變換內容的學習中，無論是證明，還是求解，都是

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在運用各種三角函數(shù)基本運算法則、代數(shù)的運算法則，進行恒等變形.因此，無

論運算、運算法則的學習，還是理解恒等變形的原理，都需要邏輯推理和數(shù)學運

算能力的支撐.

三、學情分析

（一）認知基礎

1.在初中，學生已經多次經歷過代數(shù)的變換，并且學習了銳角三角函數(shù)的定

義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。那么，從特殊到一般，經過

演繹推理得到一些結論，也更符合學生的思維習慣。

2.學生在必修一的學習中建立了函數(shù)一般概念，積累了研究幕函數(shù)、指數(shù)函

數(shù)、對數(shù)函數(shù)的經驗，之前利用單位圓研究三角函數(shù)的概念、誘導公式、三角函

數(shù)的圖象與性質以及平面向量等為現(xiàn)在的學習建立了認知基礎.

（二）思維基礎

1.通過前面知識的學習，學生已經掌握了“單位圓與三角函數(shù)的定義”，可

以推導同角三角函數(shù)的基本關系式，并且理解其結構特征。

2.由于學生在第二章已經學習了平面向量，并且用向量推導了余弦定理與正

弦定理.因此可以利用向量的數(shù)量積作為工具推出兩角差的余弦公式，在推導過

程中再次體驗向量的工具作用。

（三）可能存在的障礙點

1.同角三角函數(shù)的基本關系式不難理解，但變形應用，特別的角的范圍與對

應三角函數(shù)值符號的確定，學生容易忽略造成錯誤。

2.兩角差的余弦公式作為“源頭”公式，怎么想到用平面向量的數(shù)量積來進

行推導對學生是一個難點，同時教師還可引導學生思考其他推導方法，提高學生

的邏輯推理能力。

3.三角恒等變換是前面所學誘導公式的進一步深化，即參與運算的角由一個

角變成了兩個角且均不是特殊角，這就加大了公式推演的難度。

4.推導二倍角公式的關鍵在于認識到“二倍角”是“和角”的特例.而二倍

角公式的運用時要思辨“倍”的相對性。

四、單元教學支持條件分析

單元教學設計是以教科書為基礎，用系統(tǒng)論的方法對教科書中“具有某種內

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在關聯(lián)性”的內容進行分析、重組、整合并形成相對完整的教學單元，在教學整

體觀的指導下將教學諸要素有序規(guī)劃，以優(yōu)化教學效果的教學設計.

注重信息技術的使用，加強知識的發(fā)生發(fā)展過程的學習，加深概念的理解與

認識。在本章中，信息技術的使用可以有如下體現(xiàn)：從兩角差的余弦公式出發(fā),

利用和、差、倍、半角的聯(lián)系，用邏輯推理的方法得到其他公式，而這些公式之

間的內在聯(lián)系和推導線索都可以用網絡結構圖來提煉呈現(xiàn).

五、主題目標

（一）單元主題教學目標

1.經歷同角三角函數(shù)的基本關系式的探究和簡單運用的過程，掌握同角三角

函數(shù)基本的關系式,能運用公式進行簡單的求值、化簡和證明，體會化歸與轉化、

方程思想、分類討論、數(shù)形結合等思想方法，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想

象素養(yǎng)。

2.經歷用向量推導兩角差的余弦公式和簡單運用的過程，體驗向量的工具作

用，理解并掌握兩角和與差的余弦公式，能運用公式進行簡單的求值、化簡和證

明，發(fā)展直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。

3.經歷由兩角和與差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、正切公式和簡單

運用的過程，掌握兩角和的正弦、正切公式，體會化歸與轉化、方程思想，發(fā)展

邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)。

4.經歷三角函數(shù)的疊加的探究和“sinx+Z?COSX（α涉不同時為0）的化簡公式

的簡單運用過程，理解“sinx+6COSX（α,b不同時為0）的化簡公式，體會從特殊到

一般、化歸與轉化的思想，提升逆向思維能力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)。

5.經歷積化和差與和差化積公式的推導和簡單運用的過程，體會特殊到一般

的思想，提高推理能力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)。

6.經歷由和角公式導出二倍角公式和半角公式及簡單運用的過程，掌握二倍

角公式，理解半角公式，了解它們的內在聯(lián)系，體會一般到特殊、化歸與轉化、

方程思想、分類討論等思想方法，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。

（二）目標解析

1.利用單位圓和三角函數(shù)的定義，推導出同角三角函數(shù)的基本關系式，并可

以靈活運用關系式進行求值，同時可以完成化簡與證明問題。

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2.利用向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的定義推導出兩角差的余弦公式，知道兩角

差余弦公式的意義，能夠針對運算問題合理運用兩角差的余弦公式進行運算，解

決實際問題。

3.以兩角差的余弦公式做基礎，借助誘導公式推導出兩角和差的其他公式,

掌握三角函數(shù)的疊加，在公式推導過程中引導學生觀察三角函數(shù)式的特點，體會

類比、化歸等思想方法。

4.理解積化和差與和差化積公式的推導方法，體會化歸、換元、方程等數(shù)學

思想，提高學生的推理能力。

5.在推導倍角公式和半角公式的過程中，學生領悟從一般化歸為特殊的數(shù)

學思想，體會公式所蘊含的和諧美，培養(yǎng)學生的類比推理能力、自主探究的學習

能力，提升邏輯推理素養(yǎng)。

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北師大必修二第四章《三角恒等變換》單元信息表

學科年級學期教材版本單元名稱

基本

三角恒等變

信息數(shù)學高一第二學期北師大

換

單元

組織方J自然單元口重組單元

式

課時及序號課時一稱對應教材內容授課教師

同角三角函數(shù)基本關系式及由一第4.1.1

1彭猛

個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值第4.1.2(P138-139)

2綜合應用第4.L3(P139T42)姚孝猛

3兩角和與差的余弦公式及其應用第4.2.1(P143-144)王麗云

兩角和與差的正弦、正切公式及

4第4.2.2(P145-147)王佳

課時其應用

5三角函數(shù)的疊加及其應用第4.2.3(P148-149)車聰慧

6積化和差與和差化積公式第4.2.4(pl50-153)王艷

7二倍角公式第4.3.1(pl54-155)蔣慶

8半角公式第4.3.2(pl55-158)姚孝猛

9單元小結P159-161彭猛

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六、課時設計

第一課時同角三角函數(shù)的基本關系

阜陽三中彭猛

一、課時內容解析

本節(jié)課是高中數(shù)學北師大版必修第二冊第四章第一節(jié)，主要內容是同角三角

函數(shù)的基本關系，課標對本節(jié)的要求是：理解同角基本關系式：sin2x+cos2%=

1黑=tx揭示了同角不同名三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系，是求三角函數(shù)值、

化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個三角函數(shù)的基礎。本節(jié)在

三角函數(shù)的化簡運算過程中有著非常重要的作用，為后續(xù)學習兩角和與差的三角

函數(shù)起著鋪墊作用。

二、課時學情分析

1.已有的認知和素養(yǎng)

從認知角度上看，學生已經掌握了三角函數(shù)的定義，并且經歷了借助單位圓

推導三角函數(shù)的周期性、正負性以及誘導公式等各種性質的過程；從方法上看,

學生已經對從特殊到一般、數(shù)形結合猜想結論，并利用邏輯推理對其嚴格論證也

比較熟悉；從學生情感方面看，在自己熟悉的知識結構中再探索，符合學生的思

維習慣，所以大部分學生不抵觸，愿意在教師的引導下去思考探究新的知識。

2.存在的問題

本節(jié)課的重點是利用定義，利用數(shù)形結合思想探究發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)基本關

系式，并應用公式解決問題。而應用三角公式進行求值問題是學生第一次接觸,

雖然難度不大，但對缺乏深度思考的學生來說，分析求值過程中角度范圍問題對

函數(shù)值的影響，學生容易忽視且難度較大，同時分類討論的思想學生應用的也不

夠靈活。

3.解決辦法

引導學生用三種語言表述三角函數(shù)基本關系式，從不同角度認識和理解基本

關系，再通過三個層層遞進的例題的分析和解決，逐步突破學生易出現(xiàn)的問題，

尤其是通過對比分析，突出對目標差異，理解并重視角的范圍對三角函數(shù)值的求

值的影響。

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三、教學目標

1.通過對同角三角函數(shù)的基本關系式的推導、探究和應用，牢固掌握同角三角函

數(shù)的基本關系式內容，并理解其結構特征和作用，提升邏輯推理的學科素養(yǎng)。

2.通過運用同角三角函數(shù)的基本關系式進行三角函數(shù)的求值，提高運算能力和三

角函數(shù)恒等變形的能力。

3.通過對同角三角函數(shù)的基本關系式的理解和應用，提高學生運用聯(lián)系轉化的觀

點處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、方程的思想在三角函數(shù)求值中的

作用，提升數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)。

四、學習重難點

學習重點

1.同角三角函數(shù)的基本關系式.

2.已知一個角的三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值

學習難點

1.已知某角的一個三角函數(shù)值,求其余的個角的三角函數(shù)值時符號的確定。

2.掌握同角三角函數(shù)的關系式,并能靈活運用解題，提高分析，解決三角函數(shù)

的思維能力。

五、課時教學支持條件

多媒體設備、PPT課件

六、教學流程

（一）開門見山點明主題

（二）復習回顧引出新知

（三）師生合作探究新知

（四）新知應用鞏固深化

（五）課堂小結構建系統(tǒng)

（六）作業(yè)設計

（七）板書設計

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七、教學過程設計

（-）開門見山點明主題

引導語：變換是數(shù)學中常用的解決問題的手段，從形式上，它有恒等關系的變換

和不等關系的變換。而本章《三角恒等變換》，顧名思義，就是在三角函數(shù)中進

行的一種恒等關系的變換。面對變換，我們有三個問題：

（1）從起始上看，變換的目標是什么？

（2）從過程中看，變換的路徑是什么？

（3）從結果上看，變換的作用是什么？

帶著這三個問題開始本章的學習之旅。

【設計意圖】確定單元主題一一變換，明確“預測變換目標一一選擇變換公式一

一設計變換路徑一一達到變換目的”的變換流程，引導學生在解決問題過程中，

注重“目標意識”的培養(yǎng)，從而逐步提升分析問題以及解決問題的能力。

（二）復習回顧引出新知

1.任意角的三角函數(shù)定義是什么？

如圖，任意角a的終邊與單位圓的交點尸（4，v）,則"=cosα,ι∕=sinɑ°

2.根據(jù)定義，Sina、COSa和tana定義的背景完全統(tǒng)一，那它們之間有沒有什

么關系呢？

師生活動：在教師引導下，學生從新的視角觀察單位圓，先經過獨立思考，再在

小組內交流討論，匯總答案：不等關系有：當a∈（0?）,sinɑ<cosa,當a

∈（0,萬），sinɑ<tanɑ,sinɑ+cosɑ>1（其它的范圍或象限也有類似的結

論）；相等關系有：sin2ɑ+cos2ɑ=Ltana="工

COSɑ

【設計意圖】從定義出發(fā)，教會學生思考問題學會追根溯源，而且本章知識的產

生都是來自于三角函數(shù)的單位圓定義，對此學生已經有了自己的認知結構，那

么，尊重學生原有的知識系統(tǒng)，也突出了學生的主題地位。同時，從幾何直觀

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入手，符合人的認知習慣，也有利于新知的產生和理解。

（三）師生合作探究新知

相對于不等關系，相等關系肯定是更為特殊，而它們正是本節(jié)所要研究的內容，

板書標題一一同角三角函數(shù)的基本關系。

'sin2a+cos2a=1

sina

tana=-------

cosa

師生活動：教師在板書兩大關系時，提醒學生：

①si/ɑ是（S譏a/的縮寫；

②usin2a,'讀作"s譏α的平方”

【設計意圖】從單位圓得到兩大基本關系的圖形表示，再到用符號語言表示和記

錄基本關系，最后自然語言的表達突出了同角三角函數(shù)的基本關系的形式特點和

具體關系，三種語言的使用加深了學生對公式的認知，也使得重點內容更加突出。

問題一：你以前學習過這兩個關系式嗎？和以前有什么不同？

師生活動：學生回憶初中時在直角三角形中，已經學習過兩大基本關系，而現(xiàn)在

角的范圍擴大了，第一個等式對任意α∈R都成立，第二個等式成立的條件是:

ɑK^+kjkeZ.教師引導學生對猜想、歸納、感知到的結論，不僅要進行嚴

格的論證，還要對其成立的條件進行考查，體現(xiàn)思維的嚴謹性，完善邏輯推理的

學科素養(yǎng)。

問題二：兩大基本關系分別指的是哪些量之間的等量關系？它有什么作用？

師生活動：教師引導學生深度思考，通過剛才自然語言的表述，讓學生發(fā)現(xiàn)

sin2a+cos2a=1體現(xiàn)的是同一個角的正弦和余弦的等式關系，而tɑzια=出竺

cosa

體現(xiàn)的是同一個角弦和切的等式關系，既然是等式關系，那么就可以在它們之間

進行轉換。

【設計意圖】兩個問題的設置是對本節(jié)重難點內容的理解和突破，同時用轉換的

觀點認識公式，也突出了本章內容的主題，體現(xiàn)大單元設計的思想。具體來說，

引導學生從方程角度去認識和理解兩大基本關系，誘發(fā)學生的深度思考。兩大基

本關系的理解，教師并沒有采用題目作為載體，有利于學生思維的發(fā)散。

（四）新知應用鞏固深化

14

4

例1已知Sina=g,且角α的終邊在第二象限，求COSa和tan。的值。

想一想1：條件和問題中的三角函數(shù)有什么特點？它們是什么關系？

想一想2：條件中“角α的終邊在第二象限”有什么作用？

12

例2已知COSa=-??,求sin。和tana的值。

想一想1：條件和問題中的三角函數(shù)有什么特點？它們是什么關系？

想一想2：本題與例1有什么區(qū)別？條件的差異產生什么影響？

例3已知tana=/%（機。0）,求Sina和COSa的值。

想一想1：類比例2,本題又該如何分類？

師生活動：學生板演例1,其余學生獨立思考完成后交流心得體會。

【設計意圖】例題訓練都是應用公式進行三角函數(shù)的求值，也是對公式的直接應

用，層層遞進訓練突顯了本節(jié)的重點知識，也強化了學生和三角函數(shù)有關的數(shù)學

運算的核心素養(yǎng)。同時從方程看，兩大基本關系都可以轉化為是同一個角的三種

三角函數(shù)：Sina、COSa和tana的二次方程，產生兩解是正常現(xiàn)象，如何取舍

成為關鍵，這樣就引導學生重視兩個公式的結構特征，深化了內容主題。

（五）課堂小結構建系統(tǒng)

1.我們今天學習同角三角函數(shù)的基本關系的路徑如何？

2.通過今天的學習，你覺得兩大基本關系有什么作用？并且在應用中要注意什么

問題？

3.回歸本章主題一一變換，用變換的眼光認識同角三角函數(shù)的基本關系，回答課

前問題：

（1）從起始上看，變換的目標是什么？

（2）從過程中看，變換的路徑是什么？

（3）從結果上看，這種變換會起到什么作用？

【設計意圖】三個問題的回答,不僅總結了本節(jié)內容,構建了學生新的知識結構，

而且從恒等變換的角度去認識兩大基本關系，就是角不變的前提下，在不同的三

角函數(shù)類型之間進行變換，契合了本單元的主題，也使得以后對“角”做變換的

出現(xiàn)，變得自然而合理，符合學生的思維需求。

15

(六)作業(yè)設計

課本第142頁A組1(1)(3),2.

(七)板書設計

§1.1-1.2同角三角函數(shù)的基本關系

L同角三角函數(shù)的基本關系三角函數(shù)的定義及分析例1例3

例2

16

第二課時綜合應用

阜陽一中姚孝猛

一、課時內容解析

三角恒等變換的應用主要是求值、化簡和證明；本課時是在由單位圓中的三

角函數(shù)的定義推出同角三角函數(shù)的基本關系并初步應用的基礎上的綜合應用，也

為后續(xù)兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)公式體系的應用做好鋪墊。

本課時蘊含著豐富的數(shù)學思想，建立方程組求三角函數(shù)值體現(xiàn)了方程思想；

預測變換目標、選擇與變換設計途徑體現(xiàn)了化歸與轉化的數(shù)學思想；符號和范圍

的確定體現(xiàn)了分類討論的思想及函數(shù)思想。

本課時主要發(fā)展學生邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

二、課時學情分析

學生已經學習過同角三角函數(shù)的基本關系并已初步應用，這為本課時的探究

奠定了基礎；但是由于學生剛剛接觸三角恒等變換，對解決問題的基本方法和技

巧還不甚了解，因此在探尋解決問題的思路時可能會產生困難。

三、課時教學目標

經歷運用同角三角函數(shù)式的基本關系式解決具體問題的過程，能運用同角三

角函數(shù)的基本關系式求值運算，能化簡一些三角函數(shù)，并從中了解一些三角運算

的基本技巧，能進行三角函數(shù)恒等式的證明，體會化歸與轉化、方程思想、分類

討論、函數(shù)思想等數(shù)學思想方法，發(fā)展邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

四、課時教學重難點

教學重點：運用同角三角函數(shù)的基本關系式解決相應的求值、化簡、證明等

問題。

教學難點：運用同角三角函數(shù)的基本關系式時思路的探尋；三角函數(shù)值符號

的確定。

五、課時教學支持條件

智慧黑板等多媒體設備、PPT課件

六、教學活動流程圖

17

七、課時教學內容與過程

（一）復習回顧

問題：你能寫出同角三角函數(shù)的基本關系式嗎？

同角三角函數(shù)基本關系式的應用主要是求值、化簡和證明，上節(jié)課我們已經

研究了由一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值，也就是“知一求二”的求值問題,

今天我們先來研究更復雜的求值問題。

（~）合作探究

1%冗

例4已知Sina-COSa=——，π<a<一，求tana的值。

52

問題1：你能說說這個問題的解題思路嗎？

預設提示1：所求問題是什么？已知條件是什么？

預設提示2：所求問題和已知條件有什么差異？如何消除這個差異？

[.1

預…設…思E路.：聯(lián)f,立一―方.程r（SIna-COSa=——5,汪、、意開?一方符…號1。

1

si.n26Z+cos2a-1

小結：通過消除已知和所求之間的差異尋求解決問題的思路；化歸與轉化、

方程思想。

問題2：在題設條件下，你還能提出什么問題？

預設提示：我們已經求出了tana,也就是Sina和COSa的商，

問題3：不求出Sina和CoSa的值，你能求出SinaCoSa的值嗎？Sina+cosa

18

的值呢？

問題4：你還有其他的方法求tana的值嗎？

小結：平方關系的變形應用，Sina±cosa與SinaCoSa之間的關系；化歸與

轉化、方程思想。

我們再來研究一個求值問題。

sina+cosσ

例5已知tana=3,求

sintz-cosfz

問題L你能說說這個問題的解題思路嗎？

-s-?-n-t-z-=3C

預設1：切化弦，聯(lián)立方程，,cosα，由tan2=3>0,知α為第

si.n2α+cos2a=1I

一或第三象限角，分類討論，得出結果。

小結：分類討論，方程思想。

預設2：切化弦，tanα=3可得SinC=3cosc,帶入消元化簡，SMa+"

Sina-COSa

_3cosα+cos0

3cosα—CoSa

得出結果。

小結：消元法，化歸與轉化思想。

Sina

,--------1-1

預設3：弦化切，Sma+cosα=CoSaJanα+1,得出結果。

Sina-COSaSInatana-1

CoSa

若學生想不到這個方法，則提出問題：你能利用商數(shù)關系把弦化成切嗎？

小結：齊次分式弦化切，化歸與轉化思想。

問題2：若改為求SinSCoSa呢?

sin~a-cosa

問題3：你能把例4已知條件中的弦化成切求出所求問題嗎？

小結：轉化為齊次分式，化歸與轉化的思想；方程思想；三角函數(shù)值的范

圍確定，函數(shù)思想。

我們再來研究三角恒等式的證明問題。

19

COSal+sin0

例6求證:(CoSa≠0)o

I-SinaCOSa

初中時我們已經初步了解了一些簡單的代數(shù)恒等式的證明。

問題1：你有什么想法來證明這個問題？

預設L作差比較，

若想不到，提出問題，等是實數(shù)大小關系中的一種情況，實數(shù)比較大小的依

據(jù)是什么？

追問：作差后變形的方向是什么？

小結：三角函數(shù)式的化簡，統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一角，消元法，化歸與轉化的思想。

預設2：分析法，?.?cosa≠0,.?.sinc≠l即I-Sin2≠0,則

要證c°sα=I+sin”，只需證COS=(1+sing)(I-Sina),再從右至U左化

l-sinaCOSa

簡即可。

(這里學生可能考慮不到范圍，以及充分條件還是必要條件的問題，教師完

善)

小結：分式轉化為整式，化歸與轉化的思想。

證明恒等式可以從左到右或從右到左化簡為另一邊的式子，

問題2：你能從等式的左邊出發(fā)化成右邊的式子嗎？

追問1：等式的左右兩邊有什么差異？

小結：一般觀察結構形式、函數(shù)名稱、角度等差異。

追問2：如何消除差異？

左邊

2

=--C-o-S-a--=-----c-o-s--a-----=----I---S-i-n-2-a----=-(-l-s--in--a-)-(-l-+--s-in--a-)=-l-+--si-n-<-z-

I-Sina(I-Sina)CoSa(I-Sina)COSa(I-Sina)COSaCOSa

=右邊

追問3：你能從等式的右邊出發(fā)化成左邊的式子嗎？

小結：配湊法、消元法，化歸與轉化的思想。

我們再來研究一個三角恒等式的證明問題。

?c-IX、十l-2sinθcosθcos2^-sin2θ

例a7求證：-Z--------Z-=---------------------o

cos'^-sin^θ1+2SineCoSe

20

問題1：你有什么想法來證明這個問題？

預設L作差法；分析法；找差異。

預設2：齊次分式弦化切，作差法；分析法；找差異。

問題2：你認為應該怎樣簡化證明？

證明恒等式也可以相向趨近，證明左右都等于同一個式子。

小結：先化簡再證明；因式分解是降次的工具；平方關系的變形運用；齊次

分式弦化切；化歸與轉化的思想。

(三)鞏固提高

練習：化簡與求值

(1)(l+tan2a)cos2a(2)一"""，∣

l-2sin2^

小結：三角函數(shù)式的化簡，統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一角，消元法，化歸與轉化的思想。

(四)總結提升

數(shù)學知識：運用同角三角函數(shù)的基本關系式解決求值、化簡、證明問題

數(shù)學方法：消元、配湊、比較法、分析法、齊次分式弦化切

數(shù)學思想：化歸與轉化、方程思想、分類討論、函數(shù)思想

核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學運算

(五)布置作業(yè)

必做：課本142習題4TA組3,B組1、2

選做：課本142習題4-1B組3

八、板書設計

§1.3綜合應用

例4例6練習

例5例7

21

第三課時兩角和與差的余弦公式及其應用

阜陽城郊中學王麗云

一、課時內容解析

上一節(jié)內容中，已經根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，推導出同角三角函

數(shù)的基本關系式.從本節(jié)開始，開始探究兩角和與差的三角函數(shù)公式，而本節(jié)課

兩角和與差的余弦公式是和與差公式推導的“源”.因此兩角和與差的余弦公式

的推證是本節(jié)也是本章的教學重點.由于向量工具的引入，教材選擇了兩角差的

余弦公式作為基礎，這樣處理使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運算，降低了

思考的難度，也更易于學生接受，使學生在經歷向量法推證公式的過程中，體會

向量的思想方法，體驗向量的工具性作用.

二、課時學情分析

本課時面對是高一年級的學生，通過前面知識的學習，學生已經掌握了“單

位圓與三角函數(shù)的定義”，可以推導同角三角函數(shù)的基本關系式，并且理解其結

構特征.學生在第二章已經學習了平面向量，并且用向量推導了余弦定理與正弦

定理.因此在教學中從單位圓入手，給學生搭建腳手架，讓學生知道借助于形的

背景探究公式.利用向量的數(shù)量積作為工具推出兩角差的余弦公式，在推導過程

中再次體驗向量的工具作用.

三、課時教學目標.

1、經歷用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的定義推導兩角差的余弦公式，感

受角的范圍的推廣過程，并再次體驗向量的工具作用.

2、經歷兩角差的余弦公式的簡單運用的過程，理解并掌握兩角和與差的余

弦公式，能運用公式進行簡單的求值、化簡和證明，發(fā)展邏輯推理、直觀想象和

數(shù)學運算素養(yǎng).

四、課時教學重點、難點

教學重點：理解并掌握兩角和與差的余弦公式推導以及應用.

教學難點：兩角和與差的余弦公式推導過程中，角的范圍的分類.

五、課時教學支持條件

智慧黑板等多媒體設備、PPT課件

22

六、課時教學內容與過程

(-)復習回顧，導入新課

在上一節(jié)的學習中我們利用三角函數(shù)的定義得到了任意角三角函數(shù)的兩個

恒等關系，即同角三角函數(shù)的基本關系.初步體驗了利用三角恒等關系可解決一

些三角求值和化簡的簡單問題.那接下來，從這一節(jié)課開始，我們繼續(xù)探究三角

中的恒等關系.本節(jié)課我們一起研究兩個角ɑ、夕的正余弦跟他們的和角ɑ+/?與

差角0.〃的余弦之間的恒等關系.

(二)合作探究，推導公式

探究一：兩角差的余弦公式

問題1:對于一個角的余弦值的求解，你有什么樣的方法？

預設：三角函數(shù)的定義，解直角三角形，余弦定理，平面向量的數(shù)量積等.

追問：對于一個一般性問題，如果無從下手，我們可以先從什么出發(fā)？

預設：特殊情況葉

追問：在任意角中，我們最熟悉的角是什么范圍的角？/??

預設：銳角.(

不妨先取兩個銳角α、夕，且α24.根據(jù)以前的學習的經驗，

研究角的三角函數(shù)我們習慣將角放入到單位圓中，如圖，以XT

軸的非負半軸為角的始邊，分別作出角a、β,設角a、4的終邊與單位圓分別

交于點P、Q,則P(COSa,sina),β(cos∕7,sinβ),

23

追問：那同學們能否在圖中找到和角α+/或差角a一夕？

預設：ZPOQ就是a—尸.那我們就先來研究差角a一夕的余弦值.

問題2：對于求差角a—尸的余弦值，你有什么樣的思路？

預設：數(shù)量積，因為這里有可以將差角尸看成向量而與質的夾角，而且

向量的坐標都是已知的.

預設學生：已知角a,4的終邊與單位圓分別交于點P、Q,

則P(CoS?z,sina),Q(COS尸,sin尸)，O尸=(CoSa,sina)，OQ=(CoS],sin尸).

由數(shù)量積定義知麗.麗=|麗Il而ICoSe=CoSe=CoSQ-尸)，

由數(shù)量積的坐標表示知OPOQ=CoSaCoS尸+sinasinβ

所以COS@一戶)=COSaCoSo+sinasin/?.

教師：非常棒！利用向量的數(shù)量積的坐標表示求出夾角的余弦，進而將差角

的余弦轉化到了角a、夕的正余弦上，充分用好了向量這一數(shù)學工具！

問題3:那這一相等關系能否推廣到角a、夕為任意角？該怎樣推廣到任意

角？

追問：觀察推導過程，你覺得推廣到任意角a、β,哪里會發(fā)生變化？為什

么？

預設：向量的夾角。與々一夕之間的關系，因為向量的夾角的范圍是[0,利，a、

夕推廣到任意角后，a—耳也是任意角.

追問：a、夕推廣到任意角后，你覺得怎樣對。一廠進行分類？

預設：先討論0≤a-∕≤Λr,止匕時6=a一尸，還有a—￡<O,a-β>π.

追問：能否利用余弦函數(shù)的性質簡化分類討論？

預設1：因為余弦函數(shù)是偶函數(shù)，所以只研究a—尸之0即可.

追問：余弦函數(shù)還是一個周期函數(shù)，這一性質對該問題的研究有什么幫助？

預設2：可以只研究a—∕e[0,2;T)時的情況，對于α一夕>2萬時，都可以利用

24

周期性或者誘導公式轉化到[0,2外中.

那現(xiàn)在，請同學們自主探究推導a—夕∈[θ,7]、a-∕∈(τr,21)時的CoSa-尸).

學生展示：

(1)若O≤a-p≤萬(如圖1),則所與麗的夾角。=a-/,

由數(shù)量積定義知麗?麗N而Il而IeOSe=COSe=COS@-夕)，

由數(shù)量積的坐標表不知OPOQ=COSaCoS尸+sinasinβ

所以CoS(a—I)=COSaCos∕+sinasin∕.

(2)若兀<a-/3<2兀(如圖2),則加與詼的夾角。=21

由數(shù)量積定義及誘導公式知

OPOQ=?OPlloQlCoSe=CoSe=COS2萬一(a-尸)]=CoS(a-1)，

所以，同樣有CoSg-/?)=CoSaCOs#+sinasin/?.

設計意圖：

學生很容易忽略角的范圍問題，通過師生共同思維的碰撞，使學生真正地參

與到公式推導的生成過程，體會到學習教學的樂趣.

綜上，通過平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的誘導公式的運算，我們推理出對

任意角a、β,這一恒等關系依然成立.這樣我們就得到了兩角差的余弦公式：

COSQ-/?)=COSaCOS用+sinasin/7，記作C?_/,.

思考：你還有其他證明方法嗎？提示可以利用圓的性質來解決.請大家課下自主

探究.

(三)歷史展示，滲透文化

歷史上，數(shù)學家們也不斷的探索這一公式的證明方法.據(jù)記載，能追溯到最

早的得出這一恒等關系，來自公元2世紀的天文學家、數(shù)學家托勒密.3世紀末

古希臘數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》中給出了這一公式在銳角范圍下的幾何證明

方法.上世紀80年代，我國科學院張景中先生開始研究用面積法解決幾何證明問

題，進而形成了幾何學中的新體系，并創(chuàng)造了幾何定理機器證明的“消點法”.

25

古埃及天文學家托勒密在公元3世紀亞歷山大數(shù)學家中國科學院張景中先生從上世紀

三角函數(shù)弦表中的方法帕普斯《數(shù)學匯編》中給80年代就開始研究用面積法解決幾

出的證法何證明問題，進而形成了幾何學中

的新體系，并創(chuàng)造了幾何定理機器

證明的“消點法”

cos〃cosPSinɑsinB

??~~—cos(a-β)—J

課下同學們不妨通過網絡查閱資料，深入了解前人們探究的過程.數(shù)學家們

孜孜不倦地改進這一恒等關系的證明方法，反映了他們對于真善美的不懈追求,

體現(xiàn)了他們的創(chuàng)新精神；只要我們深入思考，努力探究，也能想數(shù)學家之所想,

在不知不覺中提升自己的數(shù)學素養(yǎng)!

探究二：兩角和的余弦公式

問題4：在以上的基礎上，怎樣推導出CoS@+/?)?

預設：由于角α,尸為任意角，將加法轉化成為減法，得

COS(α+尸)=Cos[α-(-/?)]=CoSaCoS(—77)+SineSin(一月)

=COSaCoS尸一SinaSin/,

所以COSQ+/?)=COSaCos∕?-SinaSin

于是，得到了兩角和的余弦公式：

COSQ+4)=COSeCos/?-SinaSinp,記作C“3.

抽象概括：兩角和與差的余弦公式

CoSQ+/?)=COSaCOs/-sinαsin∕?(Ca+))

CoS0—/?)=COSaCOS/+sinαsin∕(Ca-Q

問題5：你能發(fā)現(xiàn)兩角和與差的余弦公式有什么結構特征？

公式的結構是用單角的正弦、余弦表示和角與差角的余弦.左邊是和角與差

角的余弦，右邊是單角余弦積與正弦積的和與差，兩者之間不再是簡單的線性關

系，可以簡記為余余正正符號反.

設計意圖：

通過師生共同發(fā)現(xiàn)公式的特征，便于學生的理解和記憶.

26

(四)典例剖析，深化理解

例1：利用所學公式求COSI5。.

解：方法一：cosl5o=cos(45o-30o)=cos450cos300+sin450sin300=遠土也

4

方法二：cosl50=cos(600-450)=cos600cos450+sin600sin450=^^

4

設計意圖：

讓學生體會使用兩角和與差的余弦公式求值.

冗45、

例2：已知］<β<a<?,sin(e-/7)=w，cos/7=-百.求CoSa的值.

問1：所求問題是什么？已知條件是什么？

問2：所求問題和已知條件有什么差異？

問3：該怎樣從已知角轉化成未知角？

問4：最終要想求值還需要什么條件？預設：CoSCa-4),sin/?

問5：該怎樣得到COs(α-4),sin/7的值？

問6：求CoS(α-萬),sin分的過程中，正負符號怎么確定？

小結：(1)平方關系的應用，已知角和未知角的關系；

(2)公式中的角可以有各種變化，可以是角、數(shù)、式；

(2)化歸與轉化；

設計意圖：

已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角

與所求表達式中角的關系.由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)

需要靈活運用角的變換.

(五)課堂小結，形成結構

1、本節(jié)課學習了哪些知識？

2、我們是按照什么路徑對兩角和與差的余弦公式進行探究的？在這個過程

中用到了哪些思想方法？

設計意圖：

讓學生通過小結，反思學習過程，加深對公式及其推導過程的理解.

27

七、作業(yè)設計，鞏固提升

鞏固作業(yè)：

必做題:P145小練習1,2,3,4

選做題：嘗試利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦

公式.

探究作業(yè)：

根據(jù)兩角和與差的余弦公式，結合已有知識，自主預習兩角和與差的正

弦、正切公式.

八、板書設計

4.2.1兩角和與差的余弦公式及其應用

一、引入二、和差公式：

CQSQ+/7)=cos6zcos∕?-sin<zsinβ

COSQ一夕)=COSaCoS夕+sinαsinβ

例1例2

28

第四課時兩角和與差的正弦、正切公式及其應用

紅旗中學王佳

一、課時內容解析

兩角和與差的正弦、正切公式及其應用是北師大版數(shù)學必修第二冊第四章三

角恒等變換第二節(jié)第二課時的內容。三角恒等變換是三角函數(shù)的重要組成部分，

它是在兩角和與差的余弦公式的基礎上的延伸，也是后續(xù)推導二倍角公式，疊加

公式，和差化積、積化和差公式的基礎。

兩角和與差的正弦、正切公式及其應用是在研究了兩角和與差的余弦公式的

基礎上，進一步研究兩角和與差的正弦、正切與兩角的正余弦的關系，也為后續(xù)

的二倍角公式，疊加公式，和差化積、積化和差公式的推出，奠定基礎。

二、課時學情分析

在知識方面，學生已經學習了誘導公式和兩角和與差的余弦公式，并能應用

這些公式解決簡單問題。能力方面，學生已經經歷了一些公式的推導，具備一定

的邏輯推理能力，也具備一定的數(shù)學運算的能力。基本經驗積累方面，學生通過

前期的學習已經意識到高中的三角恒等變換需要研究正弦、余弦和正切，也認識

到三者是有緊密聯(lián)系的，而上一節(jié)課剛剛學習了兩角和與差的余弦公式，后續(xù)應

該學習兩角和與差的正弦和正切，才能得到完整的知識體系。

三、課時教學目標

1.經歷由兩角和與差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、正切公式的過程,

認識公式的結構特征，培養(yǎng)學生的轉化思想，發(fā)展學生邏輯推理的核心素養(yǎng)；

2.在運用兩角和與差的正弦、正切公式解決簡單問題的過程中，理解公式的

正用、逆用以及角的變換的常用方法,感受方程思想,提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

四、課時教學重點難點

重點：兩角和與差的正弦、正切公式的探究及其簡單應用。

難點：正切公式的推導。

五、課時教學方法

引導發(fā)現(xiàn)式教學

六、課時教學內容與過程

（一）導入新課

29

上節(jié)課我們利用向量證明了兩角和與差的余