2023年山東省費縣數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復數(shù)(3+i)(2+i)的實部與虛部分別為()

A.5,5B.5,5iC.7,5D.7,5z

2.設函數(shù)f(x)=InX+]/一笈，若χ=l是函數(shù)/(x)的極大值點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(→o,l)B.(YO,1]C.(-∞,0)D.(-∞,0]

3.若關于X的不等式OX2-lnx-x≥0恒成立，則實數(shù)”的取值范圍()

A.(l,+∞)B.[l,+∞)C.(e,+∞)D.[e,-κo)

4.若對任意正數(shù)X,不等式--≤幺恒成立，則實數(shù)”的最小值()

%+1%

Fy]

A.1B.√2C.—D.—

22

5.全國高中聯(lián)賽設有數(shù)學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學科

參加競賽，則不同的報名種數(shù)是()

A.C；B.A；C.53D.35

6.某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容

量為A的樣本，已知從高中生中抽取70人，則〃為()

A.100B.150

C.200D.250

7.已知ae{-1,2,3,3,；},若/(x)=x"為奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調遞增，則實數(shù)。的值是()

A.—1,3B.—,3C.1,—,3D.,—,3

3332

8.已知函數(shù)y=J-的定義域為M，集合N={x∣y=lg(x-1)},則MN=()

A.[0,2)B.(0,2)C.[1,2)D.(1,2]

9.已知α,8∈R,貝必=0”是“=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知函數(shù)/(X)=e'-/a2一n在區(qū)間(0,+8)上是單調遞增函數(shù)，則〃的取值范圍是()

A.(→x＞,l)B.[0,1]C.(→∞,1]D.[0,+∞)

11.將4名志愿者分別安排到火車站、輪渡碼頭、機場工作，要求每一個地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙兩名

志愿者不安排在同一個地方工作，則不同的安排方法共有

A.24種B.30種C.32種D.36種

12.設向量α=(x,-4),ZJ=(I,-X),若向量。與同向，則X=()

A.2B.-2C.+2D.O

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

V—A—e?n?9

13.參數(shù)方程(e∈R)所表示的曲線與X軸的交點坐標是______.

y=cosθ

χ22

14.已知雙曲線C：W—2T=1(。＞°力＞°)的右焦點E到漸近線的距離為4,且在雙曲線C上到心的距離為2的

點有且僅有1個，則這個點到雙曲線C的左焦點F1的距離為.

15.數(shù)列｛4｝的通項公式是4不，若前〃項和為20,則項數(shù)〃為.

16.在長方體ABC。一A4G2中，AB=BC=4,AA=2,則直線BC與平面JB耳鼻。所成角的正弦值為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知1()件產(chǎn)品中有3件是次品.

⑴任意取出3件產(chǎn)品作檢驗，求其中至少有1件是次品的概率；

⑵為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6,最少應抽取幾件產(chǎn)品作檢驗？

18.(12分)為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議.現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學成

績X、物理成績y進行分析.下面是該生7次考試的成績.

數(shù)學888311792108IOO112

物理949110896104IOl106

(1)他的數(shù)學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明:

(2)已知該生的物理成績y與數(shù)學成績X是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數(shù)學成績大約

是多少？并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學成績的相關性，給出該生在學習數(shù)學、物理上的合理建議.

222

參考公式：方差公式：S=i[(xl-%)+(%2-%)+(當—元)]，其中了為樣本平均

?Σ(x,?-H)(%-方Σxiyi-nx-y

數(shù)?5=j≡?-----------------=j≡4---------------,a=y-bx.

22

看一可2∑?V,-^

Z=I/=1

19.(12分)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵；將底

面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱之為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉襦[bienGo].某學校

科學小組為了節(jié)約材料，擬依托校園內垂直的兩面墻和地面搭建一個塹堵形的封閉的實驗室ABC-A片G，4A8g

是邊長為2的正方形.

(1)若A46C是等腰三角形，在圖2的網(wǎng)格中(每個小方格都是邊長為1的正方形)畫出塹堵的三視圖；

(2)若。在A片上，證明：CiDlDB,并回答四面體DBBe是否為鱉膈，若是，寫出其每個面的

直角(只需寫出結論)；若不是，請說明理由；

(3)當陽馬A-GCBg的體積最大時，求點5到平面ABC的距離.

20.(12分)如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABCr)中，底面ABCD為菱形，N84O=60°,NAPr>=90°,且AQ=PB?

(1)求證：平面BAD，平面ABer)；

(2)若ADLPB,求二面角。-PB-C的余弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=α+2∕nx-αx(α>0).

(1)求.f(x)的最大值。(4);

(2)若/(x)≤()恒成立，求。的值；

(3)在(2)的條件下,設g(χ)=心里土竺!在(α,4w)上的最小值為機求證：—11<∕(M<TO.

x-a

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=χ2-χ-6.

(1)求不等式/(x)<O的解集；

(2)若對于一切x>l,均有/(x)≥(∕n+3)x-m―IO成立，求實數(shù)〃，的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

分析：化簡即可得復數(shù)的實部和虛部.

詳解：(3+i)(2+i)=6+5i+/=5+5i

，復數(shù)(3+i)(2+i)的實數(shù)與虛部分別為5,5.

故選A.

點睛：復數(shù)相關概念與運算的技巧

(1)解決與復數(shù)的基本概念和性質有關的問題時，應注意復數(shù)和實數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，把復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題

的關鍵.

(2)復數(shù)相等問題一般通過實部與虛部對應相等列出方程或方程組求解.

(3)復數(shù)的代數(shù)運算的基本方法是運用運算法則，但可以通過對代數(shù)式結構特征的分析，靈活運用i的幕的性質、運算

法則來優(yōu)化運算過程.

2、A

【解析】

分析：/(x)的定義域為(0,+8),f'(x^-+ax-b,由∕y)=0,得b=a+l.所以1(X)=SX一3XT)能

XX

求出。的取值范圍.

詳解：F(X)的定義域為(0,+oo),r(X)=L+◎—b,由/'(D=O,得b=α+L

所以八分=3一1WT).

X

①若α=0,當OVXvl時，∕,(x)X),此時/(x)單調遞增；

當x>l時，/'(X)<0,此時/(x)單調遞減.所以X=I是函數(shù)/(x)的極大值點.

滿足題意，所以α=0成立.

②若aX),由/'(x)=0,得x=l.X=',當時，即。<1,此時

aa

當OVXvl時，∕,ω>0,此時/(χ)單調遞增；

當x>l時，f'3<0,此時“X)單調遞減.所以X=I是函數(shù)/(x)的極大值點.

滿足題意，所以α<l成立..

如果α>l,X=I函數(shù)取得極小值，不成立；

②若α<0，由/'(X)=O,得X=LX=—.

a

因為X=I是f(X)的極大值點，成立；

綜合①②：。的取值范圍是。<1.

故選：A.

點睛：本題考查函數(shù)的單調性、極值等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.

3、B

【解析】

以2一11一_^0恒成立等價于。之耳史(%>0)恒成立，令/(X)=電巖，

則問題轉化為“≥∕(x)maχ,對函數(shù)/(x)求導，利用導函數(shù)求其最大值，進而得到答案。

【詳解】

0χ2τnx-x≥0恒成立等價于。之若E(X>0)恒成立，令/(X)=與史，

則問題轉化為α≥∕(x)nιaχ,

r(x)=J21njia>。),令g(χ)=j2InX-x,

?r_L?

則g'(x)=τ--=--------(x>0),所以當x>0時，g'(x)<O

所以g(x)=l-21nx-x在(0,+。)單調遞減且g(l)=0,

所以f'(x)在(0,1)上單調遞增，在(l,+∞)上的單調遞減，

當X=I時，函數(shù)/(x)取得最大值，"x)maχ=l,

所以α≥l

故選B

【點睛】

本題考查利用導函數(shù)解答恒成立問題，解題的關鍵是構造函數(shù)/(x)=-^,屬于一般題。

X

4、D

【解析】

XY

分析：由題意可得“≥〒匚恒成立，利用基本不等式求得T的最大值為不，從而求得實數(shù)。的最小值.

X+1X+127

Y

詳解：由題意可得α≥-~恒成立.

X7+71

-----X------1，/<1—

由于/+IXH,--1-一2(當且僅當X=I時取等號)，故

X

X111

三一的最大值為一，???α≥7,即。得最小值為一，

X2+1222

故選D.

點睛：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應用，屬于基礎題.

5、C

【解析】

分析：利用分布計數(shù)乘法原理解答即可.

詳解：全國高中聯(lián)賽設有數(shù)學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個

學科參加競賽，則每位同學都可以從5科中任選一科，由乘法原理，可得不同的報名種數(shù)是5x5x5=52

故選C.

點睛：本題考查分布計數(shù)乘法原理，屬基礎題.

6、A

【解析】

試題分析：根據(jù)已知可得：—-?--=--^H=100,故選擇A

3500+15003500

考點：分層抽樣

7、B

【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)性質確定。取法，再根據(jù)單調性進行取舍，進而確定選項.

【詳解】

因為/(x)=x"為奇函數(shù)，所以“€卜1,3,；}

因為/(x)在(0,÷W)上單調遞增，所以ɑej?,3

因此選B.

【點睛】

本題考查幕函數(shù)奇偶性與單調性，考查基本判斷選擇能力.

8、D

【解析】

2—x≥(),解得x≤2,即M={x∣x≤2},N={x∣x>l},所以MCN={鄧<x≤2},故選D.

9、B

【解析】

根據(jù)充分性和必要性的判斷方法來判斷即可.

【詳解】

當曲=0時，若a=l,b=0,不能推出a?+"=。，不滿足充分性；

當/+〃=0,則α=h=0,有曲=0,滿足必要性；

所以“曲=0”是“a2+b2=O”的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考查充分性和必要性的判斷，是基礎題.

10、C

【解析】

對函數(shù)y=∕(χ)求導，將問題轉化為r(χ)≥0恒成立，構造函數(shù)g(χ)=r(χ),將問題轉化為g"L>0來求解,

即可求出實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】

f(Λ)=ex~^bx2-x,:.∕,(-x)=e'-Zzx-1,令g(x)=e'-∕zx-],則8(%)“而>0.

x

g?x)=e-b,其中χ>0,且函數(shù)y=g'(x)單調遞增.

①當b≤l時，對任意的x>O,g'(x)>O,此時函數(shù)y=g(x)在(0,+功上單調遞增，

貝!∣g(x)>g(0)=0,合乎題意；

②當b>l時，令g'(尤)=0,得e*-b=O,.'.x-lnb.

當0<x<lnb時，g'(x)<0;當x〉ln/?時，g'(x)>0.

此時，函數(shù)y=g(x)在X=Inb處取得最小值，則g(x)mM=g(ln0)<g(0)=0,不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)》的取值范圍是(-8,1]?故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的在區(qū)間上的單調性求參數(shù)的取值范圍，解題時根據(jù)函數(shù)的單調性轉化為導數(shù)的符號來處理，然后

利用參變量分離法或分類討論思想轉化函數(shù)的最值求解，屬于常考題，屬于中等題。

11、B

【解析】

利用間接法，即首先安排:人到三個地方工作的安排方法數(shù)?，，再求出當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時的安排

方法數(shù)，于是得出答案、,，_門。

【詳解】

先考慮安排一人到三個地方工作，先將一人分為三組，分組有-:種，再將這三組安排到三個地方工作，則安排_人到三

個地方工作的安排方法數(shù)為￥=c君=N種，

當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時，則只有一個分組情況，此時，甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方工作的

安排方法數(shù)為=M=6，

因此，所求的不同安排方法數(shù)為、、，_“=3&-6=3C種，故選：B。

【點睛】

本題考查排列組合綜合問題的求解，當問題分類情況較多或問題中帶有“至少”時，宜用間接法來考查，即在總體中

減去不符合條件的方法數(shù)，考查分析問題的能力和計算能力，屬于中等題。

12、A

【解析】

由。與匕平行，利用向量平行的公式求得X,驗證。與6同向即可得解

【詳解】

由。與。平行得-χ2=-4,所以％=±2,又因為同向平行，所以x=2?故選A

【點睛】

本題考查向量共線（平行）的概念，考查計算求解的能力，屬基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、（3,0）

【解析】

22x=4—sin20

根據(jù)sin^+cos8=1消參,將；€R）化為直角坐標系下曲線方程,即可求X軸的交點坐標.

y=cosθ

【詳解】

22

x=4-sinθ,,fsin∕9=4-x9,,

\可化為《??可得：sirr6+CoS-6=4-x+y~

J=COSe[cos^θ=y

■-y2=X-3

當y=0時,x=3

二曲線與X軸的交點坐標是（3,0）.

故答案為:（3,0）.

【點睛】

本題考查圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程的轉化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常

用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本題采用了三角恒等式消元法.

14、8

【解析】

22

雙曲線C:2=l（α>0∕>0）的右焦點名到漸近線的距離為4,可得〃的值，由條件以入為圓心，2為半徑的

a~b~

圓與雙曲線僅有1個交點.由雙曲線和該圓都是關于X軸對稱的，所以這個點只能是雙曲線的右頂點.即c-α=2,根

據(jù)02=/+〃=/+K可求得答案.

【詳解】

由題意可得雙曲線的一條漸近線方程為y=-χ,

a

be

由焦點到漸近線的距離為即即/,=

84,∕a2+b2=4,4.

雙曲線C上到F2的距離為2的點有且僅有1個,即以K為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個交點.

由雙曲線和該圓都是關于X軸對稱的，所以這個點只能是雙曲線的右頂點.

所以c—α=2,又C?=/+82=/+16

即￠2--=16,即(c-α)(c+α)=16,所以c+α=8.

所以雙曲線的右頂點到左焦點耳的距離為c+α=8?

所以這個點到雙曲線C的左焦點F1的距離為8.

故答案為：8

【點睛】

本題考查雙曲線的性質，屬于中檔題.

15、440

【解析】

由數(shù)列的通項公式可得：an=-/?」/-==而T-6，

√n+√n+ln-(n+l)

則：Sn=V2—1j÷^>∕3—√2j÷^>/4—?ν3j++(?/"+1-=J〃+1-1,

結合前〃項和的結果有：JQ-I=20,解得：〃=44().

點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去

的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的.

lIoA>-?-/-i-θ-

5

【解析】

分析：過G作G”，與2,垂足為“，則G"，平面BBQQ,則NG6”即為所求平面角，從而可得結果.

詳解：依題意，畫出圖形，如圖,

過Cl作G"LgA,垂足為

由B旦_L平面4G，

可得ClHLBBI,

所以G”，平面64R。，

則NGB”即為所求平面角，

因為AB=BC=4,AA=2,

a-rl./…口CiH2√2√10

所以SI"NGBH=」一=―『=----，故答案為-----

BC12。555

點睛：本題考查長方體的性質，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)

法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及

平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17

17、任意取出3件產(chǎn)品作檢驗，至少有1件是次品的概率是一；為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6,最

24

少應抽取9件產(chǎn)品作檢驗。

【解析】

(1)先求出任取3件的方法數(shù)，再求出任取的3件中沒有次品的方法數(shù)，相減即得至少有一件次品的方法數(shù)，由此可

得所求概率；

(2)即抽取的產(chǎn)品中至少有3件次品的概率超過0.6,列式求解.

【詳解】

(1)從1件產(chǎn)品中任取3件的方法數(shù)為C：)=120,而3件產(chǎn)品中沒有次品的方法數(shù)是C=35,從而至少有1件次

QC17

品的方法數(shù)是120-35=85,所求概率為P=V=.

120772747

Cn^3c37'610'

⑵設應抽取〃件產(chǎn)品,貝U黃〉°?6'即妙即F'〃（〃T）（"2）＞9X8X6,

或至少抽取件才能滿足題意.

?.?"∈N*,"410,.?.zι=91.9

17

.?.任意取出3件產(chǎn)品作檢驗，至少有1件是次品的概率是一，為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6,最少

24

應抽取9件產(chǎn)品作檢驗.

【點睛】

本題考查古典概型概率，解題的關鍵是求出基本事件的總數(shù)和所求概率事件含有的基本事件的個數(shù).在處理含有“至

少”、“至多”等詞語的事件時可從反面入手解決較方便.

18、（1）物理成績更穩(wěn)定.證明見解析；（2）130分，建議：進一步加強對數(shù)學的學習，提高數(shù)學成績的穩(wěn)定性，將有

助于物理成績的進一步提高

【解析】

（1）分別算出物理成績和數(shù)學成績的方差；

（2）利用最小二乘法，求出）'關于X的回歸方程，再用y=115代入回歸方程，求得χ=i30?

【詳解】

-12-17+17-8+8+12——6—9+8—4+4÷l÷6

(1)x=100+=100,y=100+---------------------------=100,

7-7

Sj學=?-=142,二S短=^-,從而除學＞S二理,

.?.物理成績更穩(wěn)定.

（2）由于X與），之間具有線性相關關系,

?497

根據(jù)回歸系數(shù)公式得到b=——=0.5,&=l∞-0.5×l∞=50,

994

.?.線性回歸方程為2=O?5X+5O,

當y=115時，X=I30.

建議：進一步加強對數(shù)學的學習，提高數(shù)學成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步提高

【點睛】

本題考查統(tǒng)計中的方差、回歸直線方程等知識，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力，要求計算要細心，防止計算出錯.

19、（1）答案見解析（2）答案見解析（3）空

3

【解析】

（1）根據(jù)其幾何體特征,即可畫出其三視圖.

證明GDBBl,結合AB,即可得到CD面用,進而可證明DB.

(2)1C1Dlil1_LAA1BC1D1

12

陽馬GCBBl的體積為：匕^-AC-BCBBh-ACBC,根據(jù)均值不等式可

(3)4-VGC^?????t?????

得：|=2BC取得等號),即可求得∣AC∣=∣BC五.以點為頂點,以

AeI?IBC∣≤IACLCl-(IAC∣=∣I=√2I=A1

2

RtC84底面求三棱錐4-ABC體積，在以點均為頂點,以放ACS底面求三棱錐4/山。體積.利用等體積法即

可求得點到平面ABC的距離.

B1t

【詳解】

(1)畫出塹堵的三視圖：

(2)

由題意可知:8g，面AAG,8片在平面ABCl

.?.C1DIBB1

又CiDlAiBi

??.G。，面A4,6g故：06,可得CQB為直角三角形.

由題意可知CIBIB,工DB∣BnC。4都是直角三角形.

四面體DBBC四個面都是直角三角形,故四面體OBBCl是鱉膈.

（3）

在放_4。8中/48|2=|44+忸?！?4

根據(jù)均值不等式可得：IACI?IBC∣≤IACF+1BCf=2（|ACI=IBCI=√2取得等號）

由題意可知,AC_L面CGB4

124

二陽馬a—GC84的體積為:匕LCi=IIAa?∣8Cll明|=§|AcTlBe∣≤5

（IACI=I8C∣=應取得等號）

以4為頂點,以RhCB4底面求三棱錐B1-ABC體積：

???力型CWg忸CH4如IACIqg""2=g

SMcB=g?#a=G，設⑸到面4CB距離為h

以用為頂點,以放4C3底面求三棱錐以-ABC體積：

?V-L,h，-2

γcβ

??Bx-AxBC-3〃0M-3

TlW22273

.*.-Λ?√3=—解得："=—==--

33√373

【點睛】

本題考查了三視圖畫法,棱柱與點到面的距離,考查用基本不等式求最值.解題關鍵是表示出陽馬A1-。。8片的體積,通

過不等式取最值時成立條件,求出底邊IACl長.

20、（1）見解析；（2）?

7

【解析】

（1）先根據(jù)計算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結論，（2）建立空間直角坐標系,

利用空間向量求二面角.

【詳解】

(1)證明：取AD中點0,連結OP,OB,BD,

因為底面ABCD為菱形，NBAD=60>所以AZ)=AB=BD-

因為。為AO的中點，所以

在AAPO中，ZAPD=90.。為AZ)的中點，所以Po=LAr>=A0.

2

設AD=PB=2Λ,則OB=?/?ɑ>PO—OA—Cl,

因為產(chǎn)。2+θβ2=+3/=4〃=pj52,所以OPj_OB.

在中，ZAPD=90，。為AZ)的中點，所以尸O=LAO=A。.

2

在aBOP和^BQ4中，因為PO=AO,PB=AD=AB,BO=BO,

所以△BOPBOA.

所以NBoP=NBQA=90.所以OPLo8.

因為OPCAo=O,OPU平面∕?O,ADu平面PAO,

所以OB，平面PAD.

因為。BU平面ABC。，所以平面A4Z)_L平面ABC￡).

(2)因為AT>_LP8,ADLOB,OBCPB=B,PBu平面POB,OBU平面POB,

所以AD_L平面PoB.所以PoJ.AD.

由⑴得PO工OB,ADLOB,所以。4,OB,OP所在的直線兩兩互相垂直.

以。為坐標原點，分別以OAoB,OP所在直線為X軸，丁軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

設AD=2,則A(1,O,O),D(-1,O,O),s(θ,√3,θ),P(0,0,1),

所以Pr)=(—1,0,—1),PB=(θ,√3,-l),BC=AD=(-2,0,0),

設平面BRD的法向量為〃=a，y，zj，

n?PD=-xx-z1=0,

則〃?P8=同-「。，令?e則玉=—√Lz∣=百，所以”=(—百,ι,G).

設平面PBC的法向量為根=(X2,%，Z2)，

m?BC=-2x=0,

1Z所以加=僅

則廠一令為=1，則9=°，2=√3,,l,j?.

m?PB=√3γ2-z2=0,

設二面角O-PB-C為。，由于。為銳角,

4_2√7

所以COSθ=ICoS伽,砌

2×√7-7

所以二面角?！狿B—C的余弦值為名夕.

7

【點睛】

本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空間向量求二面角，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔

題.

21、(1)φ[a)-a-2-21n?+21n2(a>0)；(2)2；(3)證明見解析.

【解析】

?aV

(1)/'(x)=