三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用（壓軸題）-2022-2023學(xué)年下學(xué)期七年級(jí)數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)練習(xí)【蘇科版-江蘇省期中真題】

29三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用（壓軸題）-2022-2023學(xué)年下學(xué)

期七年級(jí)數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)專題練習(xí)【蘇科版-江蘇省期

中真題】

一、單選題

1.（2020春?江蘇蘇州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A48C中，NABC=IOO。，且

ZAEFZAFE,NCFD=NCDF,則/EFZ)的度數(shù)為()

A.80oB.60°C.40oD.20°

2.（2021春?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)?？计谥校┤鬉ABC內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P∣,當(dāng)Pi、A、B、C沒(méi)

有任何三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，如圖1,可構(gòu)成3個(gè)互不重疊的小三角形；若AABC內(nèi)有

兩個(gè)點(diǎn)Pi、P2,其它條件不變，如圖2,可構(gòu)成5個(gè)互不重疊的小三角形：……若AABC

內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其它條件不變，則構(gòu)成若干個(gè)互不重疊的小三角形，這些小三角形的內(nèi)角

和為O

A.n?180oB.(n+2)-180°C.(2n-l)?180oD.(2n+1)180°

二、填空題

3.（2021春?江蘇蘇州?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在一A3C中，NF=I6。,BD、C。分別

平分/A3C、ZACB,M、N、。分別在。3、DC、BC的延長(zhǎng)線上，BE、CE分別

平分NMBC、NBCN,BF、C歹分別平分/EBC、NECQ,則NA=.

A

三、解答題

4.(2021春?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖1,將一副三角板ABC與三角板Ar)E擺

放在一起；如圖2,固定三角板ABC,將三角板4DE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋

轉(zhuǎn)角ACAE=a(0o<σ<180o).

(1)當(dāng)a=度時(shí)，ADJ.BC；當(dāng)a=度時(shí)4￡)〃8C；

(2)當(dāng)V4)E的一邊與“43C的某一邊平行(不共線)時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角ɑ的所有

可能的度數(shù)；

(3)當(dāng)0。<夕<45。，連接B。，利用圖4探究N3DE+NC4E+/￡>3C的度數(shù)是否發(fā)生

變化，并給出你的證明.

5.(2022春?江蘇蘇州?七年級(jí)校聯(lián)考期中)某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或

外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究.

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

A

AE

（1）如圖1,在AABC中，N48C與NAeB的平分線交于點(diǎn)尸，ZA=64o,則/8PC

（2）如圖2,△ABC的內(nèi)角N4CB的平分線與△ABC的外角NAB。的平分線交于點(diǎn)E.其

中NA=α,求NBEC.（用a表示NBEe）：

（3）如圖3,ZCBM,/8CN為AABC的外角，ZCBM,NBCN的平分線交于點(diǎn)Q,

請(qǐng)你寫出/BQC與NA的數(shù)量關(guān)系，并證明.

6.（2022春?江蘇泰州?七年級(jí)校聯(lián)考期中）己知.?.ABC,P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（A、B、

C、P中任意三點(diǎn)都不在同一直線上）.連接PB、PC,設(shè)/PBA=s。，NPCA=t。，ZBPC

=x。，ZBAC=yo.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)時(shí)，

①若y=70,s=10,t=20,則X=；

②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在，ABC外時(shí)，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫出

相應(yīng)的圖形.

7.（2022春?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,在四邊形A8CZ）中，AB//CD,/A=

/C,點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，NCBE的平分線交OE于點(diǎn)F.

Sl圖2圖3

⑴求證：AD//BC.

(2)若QE平分∕AOC,試判斷BF與。E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)請(qǐng)從下面兩個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解答：

①問(wèn)題一：如圖2,延長(zhǎng)8尸交/CCE的平分線交于點(diǎn)G,若乙M>E=66。，求NG的度

數(shù).

②問(wèn)題二：如圖3,連接BO,若N1=N2,NBDF：NBFD=I：2,求NBz)F的度數(shù).

8.(2022春?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，四邊形A8C。中，點(diǎn)E在邊AB上且

ZAED=60°.

圖1圖2

(1)如圖1,ZA=ZB=ZC=90°,則NEz?C=°；

(2)如圖2,若/4=NB=NC=Il0°,請(qǐng)?zhí)骄縉aC與/4)E之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖2,若NA=ZB=NC,此時(shí)(2)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)予以說(shuō)明，若

不成立，請(qǐng)?zhí)骄克鼈兇藭r(shí)的關(guān)系.

9.(2020春.江蘇無(wú)錫?七年級(jí)校聯(lián)考期中)閱讀下列材料并解答問(wèn)題：在一個(gè)三角形中，

如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“夢(mèng)想三角

形”例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是∣20o,40°,20°,這個(gè)三角形就是一個(gè)“夢(mèng)

想三角形”.反之，若一個(gè)三角形是“夢(mèng)想三角形"，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中一定

有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍.

(1)如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為108。，那么這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度

數(shù)為__________

(2)如圖1,已知NMON=60。，在射線OM上取一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作A8J_OM交ON于

點(diǎn)B,以A為端點(diǎn)作射線AD,交線段OB于點(diǎn)C(點(diǎn)C不與。、B重合),若NACB=80。.判

定AAOC是否是“夢(mèng)想三角形"，為什么？

(3)如圖2,點(diǎn)。在AABC的邊上，連接。C,作乙4。C的平分線交AC于點(diǎn)E,在

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

OC上取一點(diǎn)尸，使得NEFC+N8DC=180。，NDEF=NB.若△BCD是“夢(mèng)想三角形”,

求/B的度數(shù).

圖1圖2

10.(2021春?江蘇常州?七年級(jí)?？计谥?已知MN//G”,在RjABC中，

ZACB=90o,NBAC=30。，點(diǎn)A在MN上，邊BC在G〃上，在RtZXDEF中，ZDFE=90°,

邊OE在直線AB上，ZEDF=45。；

(1)如圖1,求NBAN的度數(shù)；

(2)如圖2,將Rr△。所沿射線84的方向平移，當(dāng)點(diǎn)F在M上時(shí)，求-AFE度數(shù)；

(3)將放△￡>ER在直線AB上平移，當(dāng)以4D、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，

直接寫出NE4N度數(shù).

11.(2021春?江蘇蘇州?七年級(jí)統(tǒng)考期中)直線MN與直線PQ垂直相交于。，點(diǎn)A在射

線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線QM上運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,已知AC、BC分別是NBA。和NABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)

程中，NACB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試

求出其值；

(2)如圖2,延長(zhǎng)84至。，已知/3A0、NoA。的角平分線與NBOQ的角平分線及

其延長(zhǎng)線相交于E、F.

①求/E4尸的度數(shù).

②在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，試求NABo的度數(shù).

12.(2022春?江蘇常州?七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥?閱讀下列材料并解答問(wèn)題：

在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我

們稱為“夢(mèng)想三角形”.例如:一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是120。，40°,20°,這

個(gè)三角形就是一個(gè)“夢(mèng)想三角形反之，若一個(gè)三角形是“夢(mèng)想三角形"，那么這個(gè)三角

形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍.

(1)如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形''有一個(gè)角為108。，那么這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)

為;

(2)如圖1,已知AMON=60°,在射線OM上取一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作AB_LaW交ON于點(diǎn)B,

以A為端點(diǎn)作射線A。，交線段OB于點(diǎn)C(點(diǎn)C不與。、B重合)，若ZACB=80。.判

圖1

(3)如圖2,點(diǎn)。在.ABC的邊上，連接。C,作/ADC的平分線交AC于點(diǎn)E,在OC

上取一點(diǎn)尸，使得NE尸C+ZBDC=18(T,Nz無(wú)尸=NB.若aBCD是“夢(mèng)想三角形"，求NB

的度數(shù).

圖2

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

13.(2021春.江蘇蘇州.七年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖1,已知ΛB∕∕CD,尸是直線A8,CD

外的一點(diǎn)，PFLCD于點(diǎn)F,PE交AB于點(diǎn)、E,滿足NFPE=6()。.

圖1圖2

備用圖

(1)求乙鉆尸的度數(shù)；

(2)如圖2,射線PN從PE出發(fā)，以每秒10。的速度繞戶點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，當(dāng)

PN到達(dá)P尸時(shí)立刻返回至PE,然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從E4出發(fā)，以相

同的速度繞E點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至EP后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)射線PN也停止運(yùn)動(dòng).若射

線PN、射線EM同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

①當(dāng)射線PN平分NEPF時(shí)，求AMEP的度數(shù)(0o<ZMEP<180°)；

②當(dāng)直線EM與直線PN相交所成的銳角是60。時(shí)，則/=.

14.(2022春?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖①，_A3C的角平分線B。、CE相交于

⑴如果NA=80。，求/BPe的度數(shù)；

（2）如圖②，過(guò)戶點(diǎn)作直線MN,分別交4B和AC于點(diǎn)M和M且MN平行于BC,試求

ZMPB+NNPC的度數(shù)（用含NA的代數(shù)式表示）；

⑶將（2）中的直線MN繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB于點(diǎn)M（不與A、8重合），交直

線Ae于M試探索ZMP3、ZNPC.NA三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案:

?.C

【分析】連接必，根據(jù)三角形內(nèi)角和和外角知識(shí)，進(jìn)行角度計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖連接Fβ,

VZAEF=ZAFE,NCFD=ZCDF,

：.ZAEF=ZAFE=AEFB+NEBF，NCFD=NCDF=NBFD+NFBD

：.ZAFE+NCFD=ZEFB+ZEBF+ZBFD+NFBD,

即ZAFE+ZCFD=ZEFD+ZEBD,

又；ZAFE+NEFD+NDFC=I80。,

二2NEFD+NEBD=180°,

：ZABC=IO0°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和和外角定義，掌握三角形內(nèi)角和為∣80o,三角形一個(gè)外角

等于不相鄰兩內(nèi)角之和是解題關(guān)鍵.

2.D

【分析】當(dāng)AABC內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1時(shí),三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)是3：當(dāng)AABC

內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2時(shí)，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)是5；依此類推得到當(dāng)AABC

內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3時(shí)，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)是7；當(dāng)AABC內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

n時(shí)，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)2n+l,所以這些小三角形的內(nèi)角和為(2n+l)?18(Γ

【詳解】】解：圖1中，當(dāng)AABC內(nèi)只有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分割成3個(gè)互不重疊的小三角形；

圖2中，當(dāng)△ABC內(nèi)只有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分割成5個(gè)互不重疊的小三角形；

圖3中，當(dāng)AABC內(nèi)只有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分割成7個(gè)互不重疊的小三角形；

根據(jù)以上規(guī)律，當(dāng)AABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)(P”P2,...,Pn)時(shí)，可以把AABC分割成S=2n+1

答案第1頁(yè)，共22頁(yè)

個(gè)互不重疊的三角形，所以這些小三角形的內(nèi)角和為(2n+l)?180o.

【點(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學(xué)生通過(guò)觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其

中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

3.52°

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出NE,利用三角形內(nèi)角和求出

Z5+Z6+Z1,得到ZM8C+Z∕VCB,從而求出NDBC+/DCB,再次利用角平分線的定義和

三角形內(nèi)角和得到NA.

【詳解】解：BF,CF分別平分NEBC、ZECQ,

.?.N5=N6,Z2=N3+N4,

Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

B[JZ2=Z5+ZF,2Z2=2Z5+Z￡,

.?.2ZF=ZE=32o,

BE、CE分別平分NMBC、ABCN,

.?.N5+N6=L∕MBC,ZI=LZNCB,

22

Z5+Z6+Z1=L(NMBC+ZNCB),

2

Zf=l80o-(Z5+Z6+Zl)=32o,

：.Z5+Z6+Zl=l48o,

/.NMBC+NNCB=2(N5+Z6+Z1)=296°,

QBD、C。分別平分/ABC、ZACB,

:.ADBC--AABC,ZDCB=-ZACB,

22

ZDBC+NDCB=180o-NMBC+180o-NNCB=360o-(NMBC+NNe8)=64°,

.?.NA=I80°-(ΛABC+NACB)=I80°-2(NDBC+NDCB)=52°,

故答案為：52°.

答案第2頁(yè)，共22頁(yè)

A

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4.(I)105,15；(2)旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)是：15。，45°,105。，135。，150。；(3)

NBDE+NC4E+∕O3C=105°,保持不變；見(jiàn)解析

【分析】(1)三角板A。E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的三角板為當(dāng)47J.3C時(shí)，

AlyAD=川AE+ZEAD,則可求得旋轉(zhuǎn)角度；當(dāng)A"〃BC時(shí)，ZiyAD=ADAE-ZACB,

則可求得旋轉(zhuǎn)角度：

(2)分五種情況考慮：AD/∕BC,DE//AB,DE/∕BC,DE//AC,AE//BC,即可分別求出

旋轉(zhuǎn)角；

(3)設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N,利用三角形的內(nèi)外角的相等關(guān)系分別得出：

ZANM=NE+NBDE及ZAMN=NC+NDBC,由AMN的內(nèi)角和為180。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)三角板ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的三角板為47E,當(dāng)BC時(shí)，如圖，

?/ΛD'AE=90°-ZACB=60o,NEAo=45°

/?ZD'AD=ADAE+ZEAD=60°+45°=1()5°

即旋轉(zhuǎn)角α=105。

當(dāng)AD'//BC時(shí)，如圖，則NME=NAC3=30。

ZiyAD=ZDAE-ZACB=45o-30°=15°

即旋轉(zhuǎn)角α=15°

答案第3頁(yè)，共22頁(yè)

故答案為：105,15

(2)當(dāng)VADE的一邊與AfiC的某一邊平行(不共線)時(shí)，有五種情況

當(dāng)AC〃BC時(shí)，由(1)知旋轉(zhuǎn)角為15。；

如圖(1),當(dāng)Z)E〃AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為45。；

當(dāng)。E〃BC時(shí)，由則有Aoj_8C,此時(shí)由(1)知，旋轉(zhuǎn)角為105。；

如圖(2),當(dāng)。E〃AC時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角為135。；

如圖(3),當(dāng)AE〃BC時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角為150。；

所以旋轉(zhuǎn)角。的所有可能的度數(shù)是：15。，45。，105。，135。，150。

圖(3)

(3)當(dāng)0。＜夕＜45。，ABDE+ZCAE+ZDBC=105°,保持不變;

理由如下：

設(shè)BO分別交AC、AE于點(diǎn)M、N,如圖

答案第4頁(yè)，共22頁(yè)

D

在.AW中，ZAMN+ZCAEZANM=ISO

ZANM=∕E+/BDE,ZAMN=/C+NDBC

:.ZE+ZBDE+NCAE+ZC+ZDBC=180°

ZC=30o,NE=45。

.?.NBDE+NCAE+/DBC=105°

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角與不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的相等關(guān)系等知識(shí)，注意旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

5.(1)NBPC=I22。；(2)ZBEC=?；(3)ZBβC=90°-yZA,證明見(jiàn)解析

22

【分析】(I)根據(jù)三角形的內(nèi)角和化為角平分線的定義；

(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用NA與/1表示出N2,再

利用/E與/1表示出/2,于是得到結(jié)論；

(3)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出

NEBC與NECB,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

【詳解】解：(1)BP、CP分別平分NABC和Nz4C6,

.-.ZPBC=-ZABC,NPCB=LNACB,

22

.?.NBPC=180o-(ZPfiC+NPCB)

=?80o-(?ZABC+^ZACB),

22

=180?！?ZABC+ZACB),

2

=180o-?(?sθ0-ZA),

2

=180°-90°+LNA,

2

=90o+32=122o,

故答案為：122。；

(2).CE和BE分別是NACB和/ABO的角平分線，

答案第5頁(yè)，共22頁(yè)

.?.Zl??ZACfi,Z2=-^ABD,

22

又NABf)是ΔAδC的一外角，

:.ZABD=ZA+ZACB,

N2=L(ZA+ZABC)=4ZA+Nl,

22

N2是MEC的一外角，

.?.N8EC=N2-N1=0ZA+N1-N1=L∠Λ=2；

222

(3)ZQBC=g(ZA+ZΛC8),AQCB=?(Z4+ZABC),

NBQC=180o-NQBC-NQCB,

=180°-?(ZA+ZACB)-?(ZA+ZABC),

22

=1期-」ZA-L(ZA+ZABC+NAC8),

22

結(jié)論：ZββC=90o-l∠A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

6.(1)①Io0；②x=y+s+t;(2)見(jiàn)詳解.

【分析】(1)①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；

②結(jié)論：χ=y÷s+t.利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；

(2)分6種情形分別求解即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：(1)φVZBAC=70o,

ΛZABC+ZACB=110o,

VZPBA=IOo,ZPCA=20o,

ΛZPBC+ZPCB=80o,

/.ZBPC=IOO0,

答案第6頁(yè)，共22頁(yè)

Λx=100,

故答案為：1OO.

②結(jié)論：x=y+s+t.

理由：?.βZA+ZABC+ZACB=ZA+ZPBA+ZPCA+ZPBC÷ZPCB=180o,

ZPBC+ZPCB+ZBPC=I80°,

???NA+NPBA+NPCA=NBPC,

/.x=y+s+t.

(2)s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系：

如圖1：s+x=t+y；

圖1

如圖2：s+y=t+x;

如圖3：y=x+s+t;

圖3

如圖4：x+y+s+t=360o;

答案第7頁(yè)，共22頁(yè)

B

圖4

如圖5：t=s+x+y;

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用

分類討論的思想思考問(wèn)題.

7.⑴見(jiàn)解析

(I)BFLDE,理由見(jiàn)解析

(3)①57°；②36。

【分析】(1)由A8〃CZ),ZA=ZC,可得∕A+/ABC=180。，AD//BC.

(2)由平分NCBE,即得NE+NE8F=g(ZAZ)C+ZO=90°,故NBFE=90°,

BFVDE.

(3)①連接OB,設(shè)NCOE=2x,NCBE=2y,可得x+y=57。，而N8OG+NOBG+*+

y=180°,NBOG+NOBG+NG=180°,可得NG=X+P=57°.

答案第8頁(yè)，共22頁(yè)

②設(shè)/BOF=x,NBFD=2x,可得/QBF=NE+NEBF,又NE+NEBF=NBFD=NDBF

=2x,而/5。尸+/8尸￡>+/。8尸=180°,可得5x=180°,故/8。/=36°.

【詳解】(1)證明：?.?AB"C￡>,

NC+NABC=I80。，

又；ZA=ZG

，ZA+ZABC=180°,

：.AD//BC.

(2)BFLDE,理由如下：

由(1)知AO〃BC,

.?.ZADC+ZC=180°,

?'AE∕∕CD,

；.NE=NCDE,NCBE=4C,

；OE平分/AOC,

/.NE=NCDE=IZADC,

YB尸平分/C8E,

NEBF=?NCBE=?NC,

：.ZE+ZEBF=(ZADC+ZO=90°,

又?/ZE+ZEBF+ZBFE=180°,

/.ZBFf=90o,BRBFVDE.

(3)①連接力8,如圖，

設(shè)∕COE=2x,NCBE=2y,

?"AE∕∕CD,

：.NC=NCBE=2y,ZCDB+ZEBD=180°,

'：AD//BC,

答案第9頁(yè)，共22頁(yè)

.β.NAoC+NC=180。，

即66o+2x+2y=180o,

Λ%+y=570,

VDG?BG分別平分NcZ)E、ZCBEf

：?NCDG=gNCDE=X,/EBG=g/CBE=y,

?/ZBDG+ZDBG+X+>=180°,

且ZBDG+ZDBG+ZG=180°,

ΛZG=X+y=57°.

②設(shè)NBO尸=x,ABFD=Ix,

t

?AD∕∕BC9

：./CBD=/2,

?,AE∕∕CD,

ΛZE=Zl,

又???N1=N2,

"CBD=NE,

?：BF平分/CBE,

：.ACBF=AEBF,

：.ZCBD+NCBF=ZE+NEBF,

即ZDBF=ZE+ZEBFf

?：ZE+ZEBF+NBFE=180°,

且ZBFD+ZBFE=180°,

ZE+NEBF=/BFD=NDBF=Ix,

?/ZBDF+ZBFD+ZDBF=180°,

???5x=180°,

得X=36。，即/3。尸=36。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，涉及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌

握平行線性質(zhì)、判定定理及三角形內(nèi)角和定理.

8.(1)60

Q)NEDC=2ZADE.

答案第10頁(yè)，共22頁(yè)

(3)ZEDC=2ZADE,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)先求解SEB=I20。,連接80,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；

(2)連接再利用三角形形的內(nèi)角和定理求解4"'=360。-110。*3=30。,再利用角的

和差關(guān)系可得答案；

(3)連接8D,再利用三角形形的內(nèi)角和定理可得ZAOC=36(Γ-3ZA,結(jié)合

ZA=1?,Q°-AAED-AADE=120°-ZADE,可得ZADC=360o-3(120o-ZAoE)=3ZADE,

再利用角的和差關(guān)系可得答案.

(1)

解：VZA￡D=60°,

.,.NDEB=I20。,

如圖，連接BD,

NEBC=ZC=90o,NEBD+NDEB+NEDB+ZDBC+ZC+ZBDC=360°,

/.NDEB+NEBC+ZC+NEDC=360°,

ZEDC=360°-90°-90°-120。=60°.

故答案為：60

(2)

如圖，連接B。，

答案第11頁(yè)，共22頁(yè)

D

BC

O

?:ZA=ZABC=ZC=HO9ΛA+AABD+ZADB+ADBC+ΛC+ZBDC360°,

：.ZΛ÷ZABC+ZC÷ZADC=360。，

???ZADC=360o-110o×3=30o,

：?ZADE+ZEDC=30o.

β.?ZA=110o,ZΛED=60o,

/.ZADE=180o-110o-60o=10o,/EDC=20o,

???ZEDC=2ZADE.

(3)

(2)的結(jié)論成立，理由如下：

如圖，連接80,

D

BC

?.?ZA+ZABD+/ADB+/DBC+ZC÷ZBDC=360°,

.?.ZA+ZABC+ZC+ZADC=360°,

?.?ZA=ZABC=ZC,

...ZADC=360o-3ZΛ,

答案第12頁(yè)，共22頁(yè)

VZA=I80o-AAED-ZADE=120o-ZADE,

：.ZADC=36()°-3(120o-ZADE)=3ZADE,

：.ZADE+NEDC=3NADE,

：.AEDC=2AADE.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角的和差關(guān)系的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助

線構(gòu)建三角形是解本題的關(guān)鍵.

9.(I)36?；?8。；(2)?AOB,△AOC都是“夢(mèng)想三角形"，證明詳見(jiàn)解析；(3)NB=36。

或/8=(手540)。.

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為108。，可得

另兩個(gè)角的和為72。，由三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，可以分別求得最小角為

180o-108o-108÷3o=36o,72o÷(1+3)=18°,由此比較得出答案即可;

(2)根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出N48O、NOAC的度數(shù)，根據(jù)“夢(mèng)想三角形”

的定義判斷即可；

(3)根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到/EFC=/ADC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/QEF=/AoE,

推出。E〃8C,得到/COE=NBCO,根據(jù)角平分線的定義得到/AOE=/COE,求得/8

=NBCD,根據(jù)“夢(mèng)想三角形”的定義求解即可.

【詳解】解：當(dāng)108。的角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，

最小角為180°-108o-108÷3o=36o,

當(dāng)180°-108。=72。的角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，

最小角為72°÷(1+3)=18°,

因此，這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為36?；?8°.

故答案為：18?；?6。.

(2)ΔAOB,AAOC都是“夢(mèng)想三角形”

證明：'：ABLOM,

：./048=90。，

.?.ZABO=90o-/MON=30。，

：.ZOAB=3ZABO,

.?.?AOB為“夢(mèng)想三角形”，

VZMO∕V=60o,NACB=80°,ZACB=ZOAC+ZMON,

答案第13頁(yè)，共22頁(yè)

ΛZOAC=80o-60o=20o,

.?ZAOB=3ZOACf

???△AOC是“夢(mèng)想三角形”.

(3)解：VZEFC+ZBDC=180o,ZADC+ZBDC=180°,

/.ZEFC=ZADCf

J.AD//EF,

：.ZDEF=ZADE1

,β

.ZDEF=ZBf

INB=NADE,

J.DE//BC,

：?/CDE=/BCD,

TAE平分NAQC,

???NADE=NCDE,

:?/B=/BCD,

是“夢(mèng)想三角形”，

：?/BDC=3/B,或乙B=3N5QC

?/ZBDC+ZBCD+NB=I80。，

、540

???NB=36?；騈B=(-)°.

7

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、“夢(mèng)想三角形''的概念，用分類討論的思想解決問(wèn)

題是解本題的關(guān)鍵.

10.(1)60°；(2)15°；(3)30。或15°

【分析】(1)利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出NGW=90。，即可得出結(jié)論；

(2)先利用三角形的內(nèi)角和定理求出NAF即可得出結(jié)論；

(3)分ZDAF=90°和ZAFD=90。兩種情況求解即可得出結(jié)論.

【詳解】W.：(1)MNHGH,

.?.ZACB+ZΛ?C=180°,

NACB=90。，

/.ZOUV=90°,

NfiAC=30。，

答案第14頁(yè)，共22頁(yè)

.?.ZfiATV=90o-ZfiAC=60°；

(2)由(1)知，ZBA7V=60o,

ZEDF=45。,

.?.ZAFD=1800-ZBAN-AEDF=75°,

NDFE=90°,

.?ZAFE=ZDFE-ZAFD=?5Q；

(3)當(dāng)ND4尸=90。時(shí)，如圖3,

由(1)知，ZBAN=60°,

圖3

當(dāng)NAfD=90。時(shí)，如圖4,

/DFE=90。,

?■點(diǎn)A,E重合，

NEDF=45°,

.?ZDAF45°,

由(1)知，ZBAN=ωo,

:.ZFAN=NBAN-^DAF=15°,

即當(dāng)以A、D、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，NE4N度數(shù)為30?；?5。.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角的和差

的計(jì)算，求出∕54N=60。是解本題的關(guān)鍵.

11.(I)不變，135。；(2)①90°；②60。或45°

答案第15頁(yè)，共22頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知/408=90。，再由AC、BC分別是

/BAO和NABo角的平分線得出∕BAC=gNOAB,∕ABC=g∕AB0,由三角形內(nèi)角和定

理即可得出結(jié)論；

(2)①由N8A。與N8。。的角平分線相交于E可知NE4。=TNBAO,NEoQ=BOQ,

進(jìn)而得出NE的度數(shù)，由AE、A尸分別是NBAo和NOAO的角平分線可知NE4F=90。；

②在AAEF中，由一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍分四種情況進(jìn)行分類討論.

【詳解】解：(1)/ACB的大小不變，

Y直線MN與直線PQ垂直相交于0,

：.NAoB=90。，

：.ZOAB+ZOBA=90°,

'：AC,BC分別是/BAO和/480角的平分線，

/.ZBAC=INOAB,NABC=TZABO,

，/8AC+/ABCq(ZOΛB+ZΛBO)=∣×90o=45o,

二/ACB=135。；

(2)@-：AE,AF分別是NBAO和NoA。的角平分線，

：.NEAo=；NBA。,ZFAO=^ZDAO,

：.4EAF=W(NBAo+NZMO)=y×180o=90o.

故答案為：90；

②?.?/B40與/80Q的角平分線相交于E,

：.ZEAO=^ZBAO,ZEOQ=yZBOQ,

：./E=/EOQ-∕EAO=g(ZBOQ-ZBAO)ZABO,

即NABgNE,

在△4E尸中，二?有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故分四種情況討論：

?ZEAF=3ZE,∕E=30°,貝∣J/480=60°；

②∕E4F=3∕F,Z￡=60°,ZABO=UOo(舍去)；

③/尸=3∕E,NE=225。,ZABC>=45o;

④NE=3N凡NE=67.5。，NABo=I35。(舍去).

答案第16頁(yè)，共22頁(yè)

：.ZABO為60?；?5°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，熟

知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)鍵.

12.(1)36°或18。

⑵是

【分析】(1)分兩種情形：當(dāng)108。是三角形的一個(gè)內(nèi)角的3倍，當(dāng)另外兩個(gè)內(nèi)角是3倍關(guān)

系，分別求解即可.

(2)根據(jù)“夢(mèng)想三角形”的定義可以判斷：AOC都是“夢(mèng)想三角形

(3)根據(jù)“夢(mèng)想三角形”的定義，分兩種情形分別求解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)108。是三角形的一個(gè)內(nèi)角的3倍，則有這個(gè)內(nèi)角為36。，第三個(gè)內(nèi)角也

是36。，故最小的內(nèi)角是36。，

當(dāng)另外兩個(gè)內(nèi)角是3倍關(guān)系，則有另外兩個(gè)內(nèi)角分別為：54。，18。，最小的內(nèi)角是18°

故答案為：36。或18。.

(2)結(jié)論：AOC是“夢(mèng)想三角形”.

理由：NMON=60。，ZACB=SOo,ZACB=ZOAC+AMON,

二NOAC=80°—60°=20°,

：.ZAOB=3AOAC,

.?.一AoC是“夢(mèng)想三角形”.

(3)NEFC+/BDC=180。,ZADC+ZBDC=ISOo,

.-.AEFC=ZADC,

.?.AD//EF,

：.NDEF=ZADE,

ZDEF=ZB,

.'.AB=ZADE,

：.DE//BC,

：.NCDE=NBCD,

DE平分N4)C,

答案第17頁(yè)，共22頁(yè)

.?.ZADE=ZCDE,

:.NB=NBCD,

ΔB8是“夢(mèng)想三角形”，

NBDC=3NB,或NB=3NBDC,

NBDC+ZBCD+Zfi=I80°,

540

.../8=36°或/8=(三)°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，“夢(mèng)想三角形”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，

學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型.

39

13.(1)NAEP=I50;(2)①NMEP=60,120;@t=-s,-s.

22

【分析】(1)根據(jù)A3〃C￡),PFLCD,可以得到PFJ_他，即N4WP=90,再根據(jù)三角

形外角定理求解即可.

(2)①射線PN平分NEPF時(shí)，可知此時(shí)NEPN=30,根據(jù)題意可以確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間k3s或

∕=9s,從而計(jì)算NMEP的度數(shù)即可：②用含f的代數(shù)式表示出所成的角度，然后進(jìn)行動(dòng)態(tài)分

析求解即可.

【詳解】解(1)VAB//CD,PFYCD

，PFA.AB

：.ZAHP=90°

又ZFPE=60

ZAEP=ZPHE+NFPE=150

圖1

(2)①；射線PN平分NEPF

.?.NEPN=NFPN=30

Y射線EM從E4出發(fā)，以相同的速度繞E點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至火后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)射

答案第18頁(yè)，共22頁(yè)

線PN也停止運(yùn)動(dòng)，NAEP=I50

運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間∕a=150÷10=15.v

?；射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，當(dāng)PN到達(dá)尸尸時(shí)

立刻返回至尸￡,然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)

二第一次∕EPN=60,f∣=30÷10=3s,第二次∕EPN=60時(shí)，％=90+10=9s,第三次

NEPN=60時(shí)，4=150÷10=15s以此類推

故當(dāng)?shù)谝淮蜰EPN=60,4=30÷10=3s

ZMEP=ZAEP-ZAEM=150-10×3=120

故第二次NEpN=60時(shí)，4=90÷10=9s

/.ZMEP=ZAEP-ZAEM=150-10x9=60

故第三次NEPV=60時(shí)，r3=15O÷1O=15Λ

.*.ZMEP=ZAEP-ZAEM=150-10×15=0

V0o<ZMfP<180°

.,?NMEP=60,120

②如圖所示

直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°

，ZMOP=60或120

ZEGO=NPEB+ZEPN,ZGEO=ZMEA,NPEB=180-AAEP=30

；?ZMOP=180-ZMEA-NEPN-NPEB

.?.NMOP=150-ZMEA-ZEPN

又：ZMEA=?Ot

答案第19頁(yè)，共22頁(yè)

?"?NMOP=150-IOf-NEPN

第一種情況，當(dāng)04f≤6時(shí)

NEPN=IOt

?ZMOP=150-IOf-NEPN=150-20t

當(dāng)NVOP=I50-IOt-N