2014-2023年天津高考真題和模擬題：立體幾何與空間向量（選擇填空題）（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2014-2023）與優(yōu)質模擬題（天津卷）

專題09立體幾何與空間向量（選擇填空題）

真題匯總口

1.【2023年天津卷08】在三棱錐P-4BC中，線段PC上的點M滿足PM=[PC,線段PB上的點N滿足PN=

\PB,則三棱錐P—4MN和三棱錐P—48c的體積之比為（）

1214

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【詳解】如圖，分別過MC作MMUPACC'1P4,垂足分別為M'C.過B作BBT平面PAC,垂足為B',連

接PB',過N作NN'_LPB',垂足為N'.

因為BB'l平面P4C,88'<=平面「8夕，所以平面PBB'1平面P4C.

又因為平面PBB'CI平面P4C=PB',NN'1PB',NN'u平面PBBI所以NN'1平面24C,S.BB'//NN'.

在APCC'中，因為MM'_L24,CC'，P4，所以所以等=器=5

在△PB8'中，因為BB7/NN',所以"="=三，

PBBB3

所以生"型="P4M=*APAM.NN'=需=2

Vp-ABCVB-PAC―-9,

故選：B

2.【2022年天津卷08]如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三

棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【詳解】該幾何體由直三棱柱4FD-BHC及直三棱柱。GC-4EB組成，作HM1CB于M,如圖,

因為CH=BH=3.Z.CHB=120",所以CM=BM=述,HM=

22

因為重疊后的底面為正方形，所以48=BC=3b，

在直棱柱”。-BHC中，ABJ■平面BHC,則4B±HM,

由4BnBC=B可得HMJ_平面4CCB,

設重疊后的EG與FH交點為/,

則*血=1x3V3x3V3x|=日■MFD-BHC=：x3遍x|x3b=?

則該幾何體的體積為V=2VAFD_BHC-VI-BCDA=2x號一§=27.

故選：D.

3.【2021年天津06】兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為等,兩個圓錐

的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.37TB.47rC.9TTD.127r

【答案】B

【解析】

如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點D,

設圓錐4D和圓錐8。的高之比為3:1,即4。=3BD,

設球的半徑為R，則皿=也，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,AD=3,

???CDLAB,RUC/ID+^ACD=ABCD+AACD=90",所以，4CAD=4BCD,

又因為N4CC=NBDC,所以，4ACDfCBD,

所以，CL）DUCD=7AD-BD=V3,

因此，這兩個圓錐的體積之和為:兀x.（4。+8。）=17rx3x4=47r.

故選：B.

4.【2020年天津卷05］若棱長為2國的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.127rB.247rC.367rD.1447r

【答案】c

【解析】

這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，

即”本可+（2；），（2時一,

2

所以，這個球的表面積為S=4兀/?2=4TTx3=367r.

故選：C.

5.【2016年天津文科03】將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯

視圖如圖所示，則該幾何體的側（左）視圖為（)

正視圖

俯視圖

【答案】解：由主視圖和俯視圖可知切去的棱錐為。-AUC,

棱CD\在左側面的投影為BA\,

故選：B.

6.[2019年天津文科12]已知四棱錐的底面是邊長為企的正方形，側棱長均為近.若圓柱的一個底面的

圓周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為一.

【答案】解：由題作圖可知，四棱錐底面正方形的對角線長為2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2,

由于圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于1,即半徑等于今

由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1,

則該圓柱的體積為：v=sh=n（1）2xl=*

n

故答案為：一

4

7.【2019年天津理科11】已知四棱錐的底面是邊長為近的正方形，側棱長均為遙.若圓柱的一個底面的圓

周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為一.

【答案】解：山題作圖可知，四棱錐底面正方形的對角線長為2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2,

由于圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于1,即半徑等于點

由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1,

則該圓柱的體積為：產(chǎn)“7=兀（7）2xl=

24

71

故答案為：一

4

8.【2018年天津理科11】已知正方體ABC。-481Goi的棱長為1,除面ABC。外，該正方體其余各面的

中心分別為點E,F,G,H,M（如圖），則四棱錐M-E尸GH的體積為.

【答案】解：正方體的棱長為1，M-EFG”的底面是正方形的邊長為：y,

四棱錐是正四棱錐，棱錐的高為:

2

四棱錐M-EFG”的體積：（三）x-=—.

1

故答案為f：—

9.【2018年天津文科11]如圖，已知正方體ABCC-481C1Q的棱長為1,則四棱錐4-8助。1￡＞的體積

為.

【答案】解：由題意可知四棱錐4-881。。的底面是矩形，邊長：1和VL

四棱錐的高：|A,C]=^.

1/—\[2.1

則四棱錐4-38i￡)]￡)的體積為：-xlxv2x—=-.

故答案為：

10.【2017年天津理科10】已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18,則這

個球的體積為.

【答案】解：設正方體的棱長為〃，

???這個正方體的表面積為18,

***6〃~=18,

則/=3,即a=>/3,

；一個正方體的所有頂點在一個球面上，

正方體的體對角線等于球的直徑，

即岳=2/?,

即R=

則球的體積丫=3?（|）J岑；

97r

故答案為：y.

11.【2017年天津文科11】已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18,則這

個球的體積為.

【答案】解：設正方體的棱長為。，

?.?這個正方體的表面積為18,

,6。2=18,

則<r=3,即a=V3,

???一個正方體的所有頂點在一個球面上，

,正方體的體對角線等于球的直徑，

即偏=2R,

即R=|,

則球的體積丫=，:?（|）3=

97r

故答案為：

12.【2016年天津理科11】己知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：山），

則該四棱錐的體積為，帝

【答案】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，

棱錐的底面是底為2,高為1的平行四邊形，故底面面積S=2xl=2,〃2,

棱錐的高/?=3m,

故體積V=gsh=2m3,

故答案為：2

13.【2015年天津理科10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為/?3.

視圖

俯視圖

【答案】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是底面相同的圓柱與兩個圓錐的組合體，

且圓柱底面圓的半徑為1,高為2,圓錐底面圓的半徑為1,高為1：

該幾何體的體積為

V）lf?JW=2X17t?l2xl+；fl2?2

=?兀.

8

故答案為：-JT.

14.【2015年天津文科10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：機），則該幾何體的體積為.m.

惻視圖

俯視圖

【答案】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是底面相同的圓柱與兩個圓錐的組合體，

且圓柱底面圓的半徑為1,高為2,圓錐底面圓的半徑為1,高為1：

，該幾何體的體積為

V幾何體=2x1~xI+n?12?2

=弓兀.

8

故答案為：-7t.

15.【2014年天津理科10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：機），則該幾何體的體積為m3.

俯視圖

【答案】解：由三視圖知：兒何體是圓錐與圓柱的組合體,

其中圓柱的高為4,底面直徑為2,圓錐的高為2,底面直徑為4,

幾何體的體積V=?tx1~x4+jX7tx2-x2=4?t+耳兀=-y-n.

故答案為：丁.

16.【2014年天津文科10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位："），則該幾何體的體積為m3.

*=*I.2al

【答案】解：由三視圖知：幾何體是圓錐與圓柱的組合體，

其中圓柱的高為4,底面直徑為2,圓錐的高為2,底面直徑為4,

幾何體的體積V=7txl2x4+1X7tx22x2=47r+17r=至兀.

~20

故答案為：—7T.

模擬好題

1.【天津市耀華中學2023屆高三二模】粽子，古稱“角黍”，早在春秋時期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午節(jié)

的節(jié)慶食物.現(xiàn)將兩個正四面體進行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點G在線段C。（含端

點）上運動，若此六面體的體積為日，則下列說法正確的是（）

A.EF=2B.EF=4

C.EG+FG的最小值為3及D.EG+FG的最小值為2遍

【答案】D

【詳解】設EF=a,則正四面體的高為Ja2_（與j=華①

因為六面體的體積崎所以2、"加x等若，解得a=2四，

EG+FG的最小值為等邊三角形EC。高的2倍，即2xV6=2限,

故選：D

2.【天津市九校聯(lián)考2023屆高三模擬】中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工

的意思，制作相當繁復，成品美輪美奐.1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應用到玉雕之中，

他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻

大師在棱長為12的整塊正方體玉石內部套雕出一個可以任意轉動的球，在球內部又套雕出一個正四面體（所

有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內層正四面體的棱長最長為（）

A.4V6B.473C.2A/6D.6

【答案】A

【詳解】由題意，球是正方體的內切球，且該球為正四面體的外接球時，四面體的棱長最大,

則該球半徑r=6,如圖：

P

可知E為外接球球心，EP=EB=r,PD_L平面4BC,。為底面等邊△4BC的中心,

設正四面體的棱長為d,則B0=|x4d=gd,PD=Jd2—《d）2=^d，

在RSEDB中，則EB2=E"+DB2,即產(chǎn)=（為）2+（當d-r）2,

解得d=~~r'即d=4網(wǎng),

故選：A

3.【天津外國語大學附屬外國語學校2022-2023學年高三下學期統(tǒng)練22】戰(zhàn)國時期的銅鑲是一種兵器，其

由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正

三棱錐底面的正三角形內切，則此銅銀的體積為（）

A.V3+^cm3B.3+巴cn?

333

C.遮+巨cm3D.3+&cm3

434

【答案】A

【詳解】由題意，銅鑲的直觀圖如圖所示，

三棱錐的體積％=^x3x工x2x2x3=V3cm3,

1322

因為圓柱的底面圓與正三棱錐底面的正三角形內切，

所以圓柱的底面圓的半徑丁=專cm,所以圓柱的體積彩=1xyrx（卷）=^cm3

所以此銅鑲的體積為遮+^cm3

故選：A.

4.【天津市市區(qū)重點中學2023屆高三下學期一?！课覈兄S富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用

貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內涵，也被作為

裝飾物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個正

四棱錐組成的幾何體，如圖2.己知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為4,若該幾何體的所有頂

點都在同一個球面上，則這個球的表面積是（）

D.48n

【答案】C

【詳解】底面邊長為4,底面的對角線長為4位.

設正四棱柱和正四棱錐的高為兒外接球的半徑為R,

則固+（竽）=R\

R=h+-

v2

解得h=2,R=3,

所以外接球的表面積為4nx32=36n.

故選：C

5.【天津市河西區(qū)2023屆高三一?！拷亟撬拿骟w是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟嵌玫?如

圖，將棱長為6的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面截角得到所有棱長均為2的截角四面體,

四

C46D.16企

,3

【答案】c

【詳解】截角四面體的體積為大正四面體的體積減去四個相等的小正四面體體積,

因為棱長為1的正四面體的高h=Ji-gx^)2=/

則棱長為1的正四面體的體積匕=^X立X12x^=立，

134312

所以該截角四面體的體積為V=^X63-4X^X23=^.

12123

故選：C.

6.【天津市五所重點校2023屆高三一?！吭谥袊糯鷶?shù)學經(jīng)典著作仇章算術》中，稱圖中的多面體

4BCDEF為“芻薨”.書中描述了芻蔑的體積計算方法：求積術曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘

之，六而一，即U=X2AB+EF)xADx/i,其中九是芻薨的高，即點尸到平面力BCD的距離.若底面4BCD是

O

邊長為4的正方形，EF=2,且"7/4B,ZMOE和ABC尸是等腰三角形，^AED=^BFC=90°,則該芻薨

的體積為()

AB

A.2B.竺更C.10V3D.史

333

【答案】B

【詳解】如圖所示，

設點F在底面的射影為G,H,M分別為BC,力。的中點，

連接EM,

則FG即為芻費的高，

\i]EF//AB,4Bu平面ABCD,EFC平面力BCD,

所以E/:7/平面ABCD,

又EFu平面EFHM,且平面ABCDn平面EFHM=MH,

所以EF〃MH,

在“芻薨，，中，a/IDE和尸是等腰三角形，

所以G一定在MH上，

由題意底面4BCD是邊長為4的正方形，EF=2,

可知GH=1,

在ABCF是等腰直角三角形，且4BFC=90°,

所以FH=：BC=2,

所以FG=7FH2-GH2=V22-I2=百，

所以V=2x(2x4+2)x4xU=—.

故選：B.

7.【天津市2023屆高三高考前最后一卷】木升在古代多用來盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一

升制木升，某同學制作了一個高為40cm的正四棱臺木升模型，已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為

50cm的球O的球面上，且一個底面的中心與球。的球心重合，則該正四棱臺的側面與底面所成二面角的正

弦值為()

【答案】A

【詳解】如圖：正四棱臺，由題意可知：。是底面正方形的中心也是球。的球心，

且R=50=\OB\,\OO'\=40,所以|BC|=5072,\O'B'\=y/R2-\OO,\2=x/502-402=30,進而可得

\B'C'\=30V2,

取BC的中點為N,過B'C’的中點P作PM1ON,連接PN,

所以|OM|=\O'P\=\\B'A'\=15V2,|O/V|=25或,故=\ON\-\OM\=10位,

在直角三角形PMN中，takPNM=霽=磊=2四，故siMPNM=

由于PN1BC,ON1BC,所以“NM即為正四棱臺的側面與底面所成二面角,故正弦值為學,

8.【天津市十二區(qū)重點學校2023屆高三下學期畢業(yè)班聯(lián)考（二”“阿基米德多面體”被稱為半正多面體

（semi-regularsolid）,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖所示,

將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、

六個面為正方形的一種半正多面體.己知正方體邊長為6,則該半正多面體外接球的表面積為（）

A.48nB.56TIC.64KD.72Tl

【答案】D

如圖，由半正多面體的對稱性可知，其對稱中心與相應的正方體的對稱中心是同一點，

其對稱中心為正方體的體對角線的中點0,點。在平面A8C的投影點為。1，

則有。。1=3,4。1=3,所以40=+40/=3近，

故該半正多面體的外接球的半徑為3夜，外接球的表面積為4nx（3V2）2=727r.

故選：D

9.【天津市咸水沽第一中學2023屆高三押題卷（五）】中國古代數(shù)學家很早就對空間幾何體進行了系統(tǒng)的

研究，中國傳世數(shù)學著作《九章算術》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式.

例如在推導正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解.下圖（1）為俯視圖,

圖（2）為立體切面圖.E對應的是正四棱臺中間位置的長方體：比F對應四個三棱柱，4C/.G對應四

個四棱錐.若這四個三棱柱的體積之和為12,四個四棱錐的體積之和為4,則該正四棱臺的體積為（）

圖⑴圖（2）

A.24B.28C.32D.36

【答案】B

【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長為“，高為九三棱柱的高為乩

依題意，四棱錐的體積1a2h=1,即。2八=3,三棱柱的體積1a/ib=3,即有aM=6,

因此b=2a,于是長方體的體積U=b2h=4a2h=12.

所以該正四棱臺的體積為12+4+12=28.

故選：B

10.【天津市武清區(qū)楊村第一中學2023屆高三下學期第一次熱身練】某同學在參加《通用技術》實踐課時，

制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4遮的正方體的六個面所截后剩余

的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為4m則該球的表面積為（）

【答案】A

【詳解】由題意可得，球心到截面圓所在平面的距離4=越=2K，

2

設截面圓的半徑為r,球的半徑為R,則2nr=4n,解得r=2,所以R=V7盯苕=4，

所以該球的表面積為4TT/?2=64n.

故選：A.

11.【天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學2023屆高三下學期十二校聯(lián)考（二）】如圖是某機械零件的幾何結構，

該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2

的正方形，高為4,且兩個四棱柱的側棱互相垂直，則這個幾何體的體積為（）

C

32-8V2-32TD.32—竺在

3

【答案】D

【詳解】兩個四棱柱的體積和=2x2x2x4=32,交叉部分的體積為四棱柱S-ABCQ的體積的2倍.

在等腰三角形A8S中，SB=2V2,邊S3上的高為2,則亂4=遍.

所以，由該幾何體前后、左右、上下均對稱，知：四邊形A8C。為邊長為灰的菱形.

設AC的中點為“，連接由題意，得SH為四棱錐&ABC。的高.

AC=SB=2V2，所以AH=&.，在Rt^ABH+,BH=>JAB2-AH2=V6^2=2.

所以SABCO=2xIx2V2x2=4A/2.

因為BH=SH，所以%YBCD=(xSABCDx2=1x4V2x2=^.

所以這個幾何體的體積V=32-晅x2=32—竺它.

33

故選：D.

12.【天津市部分區(qū)2023屆高三下學期一?！堪＜昂蚪鹱炙枪糯澜缃ㄖ孥E之一，它的形狀可視為

一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐側面積的一半，那么其側面三角形底邊

上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A旦B.@C.四D.四

4242

【答案】D

【詳解】設正四棱錐的高為力，底面邊長為a,側面三角形底邊上的高為"，則

（h2=4x-x-ah'

HK*—rw22

因此有

h2=h'2-g）2=ah'，即㈢2一>：=°，解得￡=萼，

因為,>0,

a

所以生=9

a2

所以側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為業(yè)

2

故選：D.

13.【天津市十二區(qū)重點學校2023屆高三下學期畢業(yè)班聯(lián)考（一）】如圖,幾何體Q為一個圓柱和圓錐的組

合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為4,圓柱的上、下底面的圓心分別為B、C,若該

幾何體。存在外接球（即圓錐的頂點與底面圓周在球面上,且圓柱的底面圓周也在球面上）.已知8C=2AB=

4,則該組合體的體積等于（）

A

70

A.56nB.C.43TTD.647T

【答案】A

【詳解】設該組合體外接球的球心為0,半徑為R,易知球心在BC中點，則R=4。=2+2=4.

則圓柱的底面半徑為r=J42—（4一2-=2V3,

則該組合體的體積等于U=|n(2V3)2x2+itX(2V3)2X4=56TT.

故選：A

A

14.【天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學2023屆高三三?！旷砭希ㄈ鐖D所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，

蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球

的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非

物質文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點A,B,C,D,四面體ABCC的體積為遮，8。經(jīng)過該鞠的

6

中心，§.AB=BC=1,AB1BC,則該鞠的表面積為（）

A.2兀B.167TC.8nD.4H

【答案】D

【詳解】如圖，取AC的中點連接與球。交于另一點N,連接OM,DN,

易知AC為圓面ABC的直徑，0Ml平面ABC,

因為。，M分別為8/),8N的中點，所以OM〃DN,

所以。N_L平面ABC,

7YD-ABC=|xixlxlxD/V=—--'.DN=V2，

326

即。M=蟲，在RtZiABC中，AB=BC=1,

2

BM=辿，BO=/?=1,?,?球O的表面積為S=4nR2=47r.

2

故選：D.

15.【天津市西青區(qū)楊柳青第一中學2023屆高考全真模擬檢測】科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民

族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(如圖1)是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮

空器.2022年5月，“極目一號”山型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050米，超過

珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力.“極目一號”H1型浮空

艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極

目一號“HI型浮空艇的體積約為()

(參考數(shù)據(jù)：9.52?90,9.53?857,315x1005?316600,ir?3.14)

A.9064m3B.9004m3C.8944m3D.8884m3

【答案】A

【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為R=y=9.5(m),而圓臺一個底面的半徑為r=1

(m),

則匕產(chǎn)厚=3x(xnx9.53a(m3),

=TrX9.52x14?1260n(m3),

V圓臺=1x(9.521T+\/9.52ITxn+ir)x31.5?(m3),

所以V=V半球+匕魏+%令a詈n+1260n+等口"9064(m3).

故選：A.

16.【天津市實驗中學2023屆高三考前熱身訓練】距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的

是一種茅屋，如圖1所示，該茅屋主體是一個正四棱錐，側面是正三角形，且在茅屋的一側建有一個入戶

甬道，甬道形似從一個直三棱柱上由茅屋一個側面截取而得的幾何體，一端與茅屋的這個側面連在一起，

另一端是一個等腰直角三角形.圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側棱長為6m,BC||EF,AB=

AC=2V2m，AB14C,點。在正四棱錐的斜高PH上，AD1平面ABCO.AD=3戊m.不考慮建筑材料的

厚度，則這個茅屋(含甬道)的室內容積為()

A.空四n?B.空四C.竺適n?D.44V2m3

333

【答案】B

【詳解】設。為正四棱錐底面中心，連接PO,0H,

AP0=VPH2-OH2=3A/2>tan乙PH。=—=V2,

取BC的中點M,連接AM,過。作DG1。"于G,則OG=AM=2.

在直角ADG"56"=惠而=&-

過E作EN〃/18交4。于N,連接NF.

則AN=AD-DN=2VL

所求體積V=V四棱錐+^ABC-NEF+^D-NEF

223

=-。x6x6x3V2+-乙x(2V2)x2V2+-。x-乙x(2V2)xV2=—。V2(m)

故選：B

17.【天津市和平區(qū)2023屆高三二模】如圖甲是一水晶飾品，其對應的兒何體叫星形八面體，也叫八角星

體，是一種二復合四面體，它是由兩個有共同中心的正四面體交叉組合而成且所有面都是全等的小正三角

形，如圖乙所示.若一星形八面體中兩個正四面體的棱長均為2,則該星形八面體體積為()

C11四D,這

?124

【答案】A

【詳解】由題意可知星行八面體體積為一個棱長為2的大正四面體與四個棱長為1的小正四面體的體積之和,

故該星形八面體體積為U邛x23+4x*13=匠

故選：A.

18.【天津市部分區(qū)2023屆高三二?！考t薯于1593年被商人陳振龍引入中國，也叫甘薯、番薯等，因其生

食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛的美食甜點.敦敦和融融在步行街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準備分著

吃.如圖，該紅薯可近似看作三個部分：左邊部分是半徑為R的半球；中間部分是底面半徑是為R、高為2R的

圓柱；右邊部分是底面半徑為R、高為R的圓錐，若敦敦準備從中間部分的4處將紅薯切成兩塊，則兩塊紅

薯體積差的絕對值為（）

A.B.|nR3C."R3D.TT/?3

【答案】A

【詳解】由題意可知，兩塊紅薯體積差的絕對值為LxmR3+nR2.R—5R2.R+）2.R）|

=I—R3--/?3|=-R3.

I33I3

故選：A.

19.【天津市新華中學2023屆高三下學期統(tǒng)練7】燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們

便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下

兩部分是兩個相同的圓柱的側面，中間是球面的一部分（除去兩個球冠）.如圖2,球冠是由球面被一個平面截

得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為R,球冠的高為七則球冠的

面積S=2nR/i.已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24cm,則圍成該燈籠所需

布料的面積為（）

圖1圖2

A.1536ncm2B.1472ncm2

C.1824TTcm2D.1760ncm2

【答案】B

【詳解】由題意得圓柱的底面圓直徑為24cm,半徑為12cm,即球冠底面圓半徑為12cm.

已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,所以該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32cm,

所以R2-（―y-）2=122,得R=20cm,/i=20-16=4cm,

所以兩個球冠的表面積之和為2s=4nR/i=320ncm2,

燈籠中間球面的表面積為4TTR2_320TT=1280ncm2.

因為上卜兩個圓柱的側面積之和為2x24TTx4=192ncm2,

所以圍成該燈籠所需布料的面積為1280TT+192Tt=1472Ticm2.

故選：B.

20.【天津市耀華中學2023屆高三一?！吭谥袊糯鷶?shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中，稱圖中的多面體A88EP

為“芻薨”，書中描述了芻薨的體積計算方法：求積術曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而

一，即U=+其中。是芻薨的高，即點尸到平面ABCO的距離.若底面A8CO是邊長為

4的正方形，EF=2且EF〃平面A8CZ）,△4DE和△BCF是等腰三角形，AAED=ABFC=90°,則該芻費

的體積為（）

A*B.C.10V3D.史

333

【答案】B

【詳解】取4。,8c中點M,N,連接EM,MN,NF,如圖,

由正方形4BC。知，MN//AB,MN1AD,而A4DE為等腰三角形，且/4ED=90。，

即有EM1AD,EMC}MN=M,EM,MNu平面EMN,則4D_L平面EMN,

同理8cl平面MNF,而40〃8C,于是4。1?平面MNF,則點尸在平面EMN內，

而力。u平面XBCD,于是平面EMNFL平面48CD,在平面EMNF內過E作￡7/_LMN于H,

而平面EMNF。平面ABCD=MN,因此￡77JL平面Z8CD,

因為48FC=90。，ZkBCF是等腰三角形，則EM=FN=；8C=2,

因為EF//平面ABCD,平面EMNFC平面4BCD=MN,EFu平面EMNF,

則EF〃MN,四邊形EMNF為等腰梯形，MN=AB=4,

因此EH=JE“2_(笠變產(chǎn)=V2Z-I2=V3,

所以該芻薨的體積為V=-(2AB+EF)?4。?EH=工X(2x4+2)x4X百=—.

663

故選：B

21.【天津市濱海新區(qū)2023屆高三三?！磕惩瑢W參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如

圖所示：底面4BCD是邊長為2的正方形，AEAB,4FBC,△GCD,△HDA均為正三角形，且它們所在的

平面都與平面4BCD垂直，則該包裝盒的容積為()

C.10V3D.20

【答案】A

/

【詳解】

將幾何體補全為長方體，如圖所示，

A2F-泊G-1,

2222

BA2=yjBF-A2F=V2-l=V3,

所以則該包裝盒的容積為：

^ABCD-AABXCXDA~4匕一力〔EH，

=2x2xV3-4[ixQxlxl）xV3],

=4V3-|V3,

故選：A.

22.【天津市和平區(qū)2023屆高三下學期一模】為慶祝國慶，立德中學將舉行全校師生游園活動，其中有一

游戲項目是夾彈珠.如圖，四個半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器中，每顆彈珠的頂端

恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的容積是（）

C.2（5+3V3）Ttcm

【答案】B

【詳解】分別作出四個小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示:

正視圖中小球球心B,半球球心。與切點A構成直角三角形，則有0弟+482=082,

俯視圖中，四個小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離。遇1與正視圖中的。4相等，設

半球半徑為R,已知小球半徑片1,二0A=V2,AB=1,OB=M，R=0B+r=V5+l.

半球面形狀的容器的容積是V=|xin/?3=|xix（V3+l）3TT=婦簪.

故選：B

23.【天津市新華中學2023屆高三下學期統(tǒng)練（3）】足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的

含義，“鞠”最早系外包皮革、內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，已知某“鞠”

的表面上有四個點P,4B,C,滿足P4=2,PAIffiABC,ACLBC,若8c="則該“鞠”的體積的最小

值為（）

A.這nB.隨nC.-nD.-n

3328

【答案】B

【詳解】因為P4=2,PAIffilABC,ACLBC,

故AB為三角形ABC所在小圓的直徑，取A8中點。'，過。'作0'0〃4P,交BP于點O,則。即為球心，P8

為球的直徑，

要想該“鞠”的體積最小，只需PB最小，由于PB=y/PA2+AB2=山+/,

故只需AB最小，其中4B=y/AC2+BC2^

1119

HLVP-ABC=3^4SCPA=^x^ACBCx2=~,

解得：ACBC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2>2AC-BC=4,當且僅當4c=8C=或時，等號成立，

故力B最小值為2,此時直徑最小值為PB=V4+22=2近，

所以該“鞠”的體積最小值為軻我『=竽1T

故選：B

24.【天津市2023屆高三二模】如圖所示，有一個棱長為4的正四面體P—ABC容器，。是PB的中點，E是

CD上的動點，則下列說法正確的是（）

①若E是CD的中點，則直線AE與PB所成角為］

②△ABE的周長最小值為4+V34

③如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為漁

3

④如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為乃-2

A.①②B.①③C.②④D.①③④

【答案】D

【詳解】對于①：連接4D，

在正四面體P-4BC中，。是P8的中點，所以PBJ.4D,PBJ.CD.

因為ACu平面4CC,CDu平面4CD,ADClCD=D,

所以直線P8_L平面4CD,

因為4Eu平面4CD,

所以PBJ.4E,所以直線4E與PB所成角為今故①正確；

對于②，如圖，把△4CC沿著C。展開與面BDC同一個平面內，則周長最小值為4+4B,

由AD=CD=2V3，AC=4,cosZ-ADC==i

"上24”。C"D〃叱3（

所以COSNADB=cosQ+N/WC）=-sin^ADC=-苧

所以482=2?+（2b『-2x2X2^X（-苧）=16+竽力34,所以他力南，所以zMBE的周長最

小值為4+舊不正確，故②錯誤；

對于③，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內切球，設半徑為R.

由等體積法可得4-we=^S-BC?h=GSQR,所以半徑R=工=匹X4=漁.故③正確；

對于④，10個小球分三層（1個，3個，6個）放進去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，

設小球半徑為r,四個角小球球心連線M-NGF是棱長為4r的正四面體，其高為延人由正四面體內切球的

3

半徑是高的;得，

4

如圖正四面體P-H〃，

則MP=3r,正四面體P—4BC高為3r+3+r=在X4,得廠=通—2.故④正確.

33

故選：D

25.【天津教研聯(lián)盟2023屆高三一?！繑?shù)學中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中

之一.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分.如圖，

在勒洛四面體中，正四面體4BCD的棱長為4,則下列結論正確的是（）

A.勒洛四面體最大的截面是正三角形

B.若P、Q是勒洛四面體4BCD表面上的任意兩點，則PQ的最大值為4

C.勒洛四面體4BCD的體積是8遍幾

D.勒洛四面體48CD內切球的半徑是4—遍

【答案】D

【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體4BC0表面的截面，如圖1所示，故

A不正確；

將正四面體對棱所在的弧中點連接，此時連線長度最大，如下圖所示：

連接PQ，交48r中點S,交于中點7,連接AT,易得AT=742一〃=2遍,

則S7=y/AT2-AS2=/（2V3）2-22=2或，

而7P=SQ=V42-22=2V3.

所以PQ=2百一2&+2百=4V3-2V2>4.

故勒洛四面體表面上兩點間的距離可能大于4,故B錯誤，

如圖2,由對稱性可知勒洛四面體內切球的球心。是正四面體4BCD外接球的球心，

連接8。并延長交勒洛四面體的曲面于點E,則0E就是勒洛四面體內切球的半徑.

如圖3,在正四面體4BC0中，M為△BCD的中心，。是正四面體4BCD外接球的球心,

連接BM、BO、AM,由正四面體的性質可知。在4M上.

因為48=4,所以BM=|X=竽，則4M=心-（竽?=竽?

因為8。2=BM2+0M2=（AM-0M）2,

即=（竽）+0M2=（等-0M），解得80=6,

則正四面體4BCD外接球的體積是gnR3=（口x（V6）3=8乃n,

而勒洛四面體ABCD的體積小于其外接球的體積，C錯誤；

因為BE=48=4,所以0E=4-乃，

所以，勒洛四面體ABC。內切球的半徑是4一聲，則D正確.

圖1圖2圖3

26.【天津市河北區(qū)2023屆高三一?！拷?/p>