2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納（全國通用）專題27 最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題27最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即?！灸Ｐ徒庾x】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是．例2．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點．（1）°；（2）的最小值為．

例3．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在菱形中，，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．例4．（2023·廣東佛山·校考一模）在邊長為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為___________．例5．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

例6．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，則的最小值是．

例7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

例8．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當(dāng)取最小值時，的最小值是．

例9．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣GE的值最小，求出點G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；課后專項訓(xùn)練1．（2023·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為A．4 B．5 C． D．2．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是，點C的坐標(biāo)是，點是x軸上的動點，點B在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．23．（2023.重慶九年級期中）如圖，在中，，，，若是邊上一動點，則的最小值為A． B．6 C． D．34．（2022·河北·九年級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個動點（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．25．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點D、F分別是邊AB，BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．6．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，.，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．7．（2023上·四川成都·八年級校考期中）已知在等腰中，，．，連接，在的右側(cè)做等腰，其中，，連接E，則的最小值為(用含的代數(shù)式表示)．

8．（2023·黑龍江綏化·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對角線、相交于點O，．點E是的中點，若點F是對角線上一點，則的最小值是．9．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，沿直線翻折，點A的對應(yīng)點恰好落在對角線上，點B的對應(yīng)點為，點M為線段上一動點，則的最小值為．10．（2023·新疆·九年級期中）如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點D是線段AC上任意一點（不含端點），則ODCD的最小值為_____．11．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___．12．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點是對角線上的動點，連接，則的最小值為______．13．（2023·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，點是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則()的最小值是____________．14．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．15．（2023·成都市·九年級課時練習(xí)）點E為正方形ABCD的AB邊上的一個動點，AB=3，如圖1，將正方形ABCD對折，使點A與點B重合，點C與點D重合，折痕為MN．思考探索(1)如圖2，將正方形ABCD展平后沿過點C的直線CE折疊，使點B的對應(yīng)點B′落在MN上，折痕為EC．①點B'在以點E為圓心，的長為半徑的圓上；②B'M=______；拓展延伸(2)當(dāng)AB=3AE時，正方形ABCD沿過點E的直線l（不過點B）折疊后，點B的對應(yīng)點B'落在正方形ABCD內(nèi)部或邊上，連接AB'．①△ABB'面積的最大值為______；②點P為AE的中點，點Q在AB'上，連接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．16．（2023上·重慶沙坪壩·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點，與x軸交于點，點C為中點，反比例函數(shù)剛好經(jīng)過點C．將直線繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得直線，直線與x軸交于點D．(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)如圖2，點Q為射線以上一動點，當(dāng)取最小值時，求的面積；(3)將沿射線方向進(jìn)行平移，得到且剛好落在y軸上，已知點M為反比例函數(shù)上一點，點N為y軸上一點，若以M，N，B，為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．

17．（2023·江蘇·中考模擬）如圖，拋物線與直線交于，兩點，交軸于，兩點，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當(dāng)點的坐標(biāo)是多少時，點在整個運動中用時最少？18．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形