2023年初升高數(shù)學(xué)講義之二次函數(shù)的最值

初升高之二次函數(shù)的最值

資料編號(hào):202308090806

本節(jié)銜接概況

在初中階段，我們已經(jīng)詳細(xì)研究了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，并且利用二次函

數(shù)的性質(zhì)解決了一些實(shí)際問(wèn)題，如最值問(wèn)題.面對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們可以建立一

個(gè)目標(biāo)函數(shù),這個(gè)目標(biāo)函數(shù)如果是一個(gè)二次函數(shù)，那么我們通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)配方,

把目標(biāo)函數(shù)由一般式化為頂點(diǎn)式后，就可以獲得目標(biāo)函數(shù)的最值以及取得最值的

條件，從而獲得實(shí)際問(wèn)題的最佳方案.然而，我們?cè)谇蠖魏瘮?shù)的最值時(shí)，遇到的往

往是具體函數(shù)，且自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，在高中階段，問(wèn)題就變得復(fù)雜了,

我們遇到的二次函數(shù)不再是具體函數(shù)，是含有參數(shù)的,并且給出的自變量的取值范

圍是被限定在某一個(gè)范圍之內(nèi)的，這時(shí)候求二次函數(shù)的最值，要綜合考慮拋物線的

開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸以及自變量的取值范圍與對(duì)稱(chēng)軸的相對(duì)位置關(guān)系等等.因此，我

們有必要對(duì)二次函數(shù)的最值在這里做一個(gè)拓展學(xué)習(xí),以適應(yīng)高中的學(xué)習(xí).

函數(shù)的最值

函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的最值.

研究函數(shù)的最值要先確定函數(shù)的定義域,即自變量的取值范圍.對(duì)于同一函數(shù),

定義域不同,函數(shù)的最值也不同.

y=x+I,函數(shù)的定義域?yàn)镽,函數(shù)無(wú)最大值和最小值，若-IWXWI,則函數(shù)的最大

值為2,最小值為0;再比如反比例函數(shù)y=女,既無(wú)最大值也無(wú)最小值，但若1WxW

x

6,則函數(shù)的最大值為2,最小值為;;還比如二次函數(shù)丁=——x+i=(x-；J+1,

13I3

當(dāng)X=5時(shí),函數(shù)有最小值a,無(wú)最大值，若XW2,則當(dāng)X=5時(shí),函數(shù)有最小值7,

當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)有最大值3.因此，在研究或討論函數(shù)的最值時(shí)，一定要先明確自變

量的取值范圍.

從“形”的角度來(lái)看，函數(shù)的最大值或最小值就是其圖象上最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的

縱坐標(biāo)，而最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)取得最大值或最小值的條件.

二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)的最值與其圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸以及自變量的取值范圍有關(guān).

我們研究的是自變量的范圍是全體實(shí)數(shù)的二次函數(shù)的最值和自變量的范圍是

部分實(shí)數(shù)的二次函數(shù)的最值.

自變量的范圍是全體實(shí)數(shù)的二次函數(shù)的最值

對(duì)于二次函數(shù)夕=以2+&+°("0),通過(guò)配方我們可以把一般式化為頂點(diǎn)

式:八1》+2丫+”0(g0),其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

V2aJ4a2a

'h4ac-b2

、2?！?a)

(1)當(dāng)。＞0時(shí),二次函數(shù)有最小值為Wn=處左，此時(shí)X=-2.函數(shù)無(wú)最大

4a2a

值；

(2)當(dāng)。＜0時(shí),二次函數(shù)有最大值為Kax=%二且，此時(shí)*=-2.函數(shù)無(wú)最小

4a2a

值.

例題講解

例1.求下列函數(shù)的最大值或最小值：

12

(1)y--X1-2x+3;(2)y———x2+2x-6.

53

分析在求具體二次函數(shù)的最值時(shí)，通過(guò)配方把一般式化為頂點(diǎn)式，即可確定二次

函數(shù)的最值以及取得最值的條件.

1

解=

5--2x+3=-(x-5)2-2

...當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為=-2；

(2)八一二2+21=一彳一，一？

3312)2

...當(dāng)X=|時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為Bax=-1

例2.設(shè)關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2-4px+3P的最小值為/(p).

(1)求/(p)；

(2)當(dāng)「為何值時(shí)J(p)有最值，其最值是多少？

解：(1)y=2x2-4px+3p=2(x-p)2-2p2+3p

/(P)=-2p2+3。；

(2)???/(p)=-2/+3p

???/(〃)=—2(p—￡|+|

49

二當(dāng)p=I時(shí)J(p)有最大值，最大值為/(p)=-.

4omax

例3.已知3x+2y=12,求孫的最大值.

解：,?3x+2y=12

.?.y=6A——3x

2

xy==-1-x2+6x=--|(x-2)2+6

3

...當(dāng)x=2/=6-]x2=3時(shí)，孫取得最大值為6.

例4.求函數(shù)y=——；的最大值.

1-x(l-X)

分析對(duì)于函數(shù)g(x)=J,若函數(shù)/(x)恒大于0,則當(dāng)函數(shù)/V)取得最小值時(shí),

/(X)

函數(shù)g(x)取得最大值，即當(dāng)/(x)>0恒成立時(shí),g(x)max=—i―-

/(Mmin

對(duì)于本題，我們要先說(shuō)明函數(shù)/(X)的值恒為正數(shù)，再求出函數(shù)/(X)的最小值,

即可解決問(wèn)題.

解：卜=匚自二針1匕

設(shè)/(x)=x2-x+l=(x-g)+:,則/(工)2：

3

4

...函數(shù):、的最大值為,皿=與「=;=4

l-x(l-x)/(x)min23

4

點(diǎn)評(píng)新知在高中，對(duì)于函數(shù)/(x),/(a)表示的是與自變量x=a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.

例5.已知二次函數(shù)y=/(x)的最大值為13,且/(3)=/(-1)=5,求該二次函數(shù)的

解析式.

分析由條件/(3)=/(-1)=5可知(-1,5),(3,5)兩點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，且

關(guān)于直線彳=二9=1對(duì)稱(chēng),所以其圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,而頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是

2

函數(shù)的最大值13,因此我們可以把二次函數(shù)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式.

解：:/(3)=/(-1)=5

...該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線.產(chǎn)=】

???函數(shù)的最大值為13

，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,13)

,可設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a(x-爐+13

把(3,5)代入解析式可得:ax(3-球+13=5，解之得:a=-2

.?.該二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-l)2+13=-2/+4x+ll.

例6.設(shè)函數(shù)/(x)=2/+3儂+2根.

(1)求函數(shù)/(x)的最小值g(M；

(2)當(dāng)加為何值時(shí),g(加)有最大值，最大值是多少?

解：(1)/(x)=2x2+3mx+2m=2^x+29,,

—+2m

8

9

/.g(用)=——4-2m;

8

2

8+8

(2):g(〃?)=--tn2+2〃？=--m——+9

889

r8\8

\1

^g一

g(z=l-一-

x979

即當(dāng)加=號(hào)時(shí),g(M有最大值色.

99

例7.已知二次函數(shù)/(幻=加/+(加-3卜+1,對(duì)于任意實(shí)數(shù)%,恒有/(%)</(〃?),

求常數(shù)〃?的值.

解：由題意可知:加<o且/(x)111ax=/(M

3

解之得:加=——(加=1>0舍去)

2

???常數(shù)加的值為-3.

2

區(qū)間的概念及其表示

為了研究二次函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最值的方便,這里給出區(qū)間的概念及其表

示.

設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且。〈仇規(guī)定：

(1)滿足不等式。<xW6的實(shí)數(shù)x的集合，叫做閉區(qū)間，表示為口㈤；

(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合，叫做開(kāi)區(qū)間，表示為(q,b);

(3)滿足不等式aWx<b或a<xWb的實(shí)數(shù)x的集合，叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別

表示為L(zhǎng)，b),(a,b].

這里的實(shí)數(shù)a,6叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時(shí),包含端點(diǎn)的那

一端用中括號(hào)表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號(hào)表示.

實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-oo,+00)00”讀作“無(wú)窮大”，“-00”讀作“負(fù)無(wú)窮

大”,“+00”讀作“正無(wú)窮大”.

區(qū)間的數(shù)軸表示(幾何表示)

定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示

{x\a<x<b\閉區(qū)間

?-------------A

3b

{x\a<x<b}開(kāi)區(qū)間(a,b)

》<)

5A

<X</?}半開(kāi)半閉區(qū)間[a,b)

,A

b

{x\a<x<Z))半開(kāi)半閉區(qū)間(凡”

?A

.b

把滿足不等式x>a,x>a,x<b,xWb的實(shí)數(shù)x的集合，分別表示為

(a,+oo),[a,+oo),(-oo,/)),(-oo,ft].

定義符號(hào)數(shù)軸表示

—

x>a(a,+oo)

a-

x2a[a,+oo)

4

x<b(-8,?

b

xWb(-co,”—

』一

對(duì)區(qū)間的概念及其表示的理解

（1）區(qū)間用來(lái)表示連續(xù)的數(shù)集，并不是所有的集合都可以用區(qū)間來(lái)表示，如集合

{1,2,3}就不能用區(qū)間來(lái)表示.

（2）區(qū)間的左端點(diǎn)必須小于右端點(diǎn).

（3）區(qū)間符號(hào)里的兩個(gè)字母或數(shù)字之間用“，”隔開(kāi).

（4）在將連續(xù)的數(shù)集表示為區(qū)間時(shí)，包含端點(diǎn)的用中括號(hào)表示，不包含端點(diǎn)的，用

小括號(hào)表示.

（5）在用數(shù)字表示區(qū)間時(shí)，包含端點(diǎn)的，畫(huà)成實(shí)心點(diǎn)，不包含端點(diǎn)的,畫(huà)成空心點(diǎn).

(6)若。為區(qū)間的左端點(diǎn),b為區(qū)間的右端點(diǎn)，則把叫做區(qū)間的長(zhǎng)度.區(qū)間的

長(zhǎng)度必須大于0.(因?yàn)閎>a)

(7)連續(xù)的數(shù)集既可以用集合表示，也可以用區(qū)間來(lái)表示.

自變量的范圍是部分實(shí)數(shù)的二次函數(shù)的最值

對(duì)于二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aH0),當(dāng)時(shí),函數(shù)的最值不一定在

頂點(diǎn)處取得，此時(shí)，二次函數(shù)的最值取決于拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸以及自變量

的值所屬的區(qū)間.為了研究的方便,畫(huà)簡(jiǎn)圖是個(gè)好辦法.

求二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間［機(jī),〃］上的最值分為以下三種情況：

(1)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左側(cè)

若》=一2<加，貝Uf(x)在區(qū)間［加,〃］上是增函數(shù)，最大值為/'(〃)，最小值為/'(/?);

2a

(2)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)

若加w—〃，則/(X)的最小值為隨二匕，最大值為了(加)、/(〃)中的

2aV2aJ4a

較大者(或區(qū)間端點(diǎn)機(jī)，〃中與直線x=-2的距離較大的那一個(gè)端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)；

2a

即最小值為="了，最大值為y(x)1rax=max{/(m),/(?)}.

V2aJ4a

(3)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的右側(cè)

若x=-2>〃，則y(x)在區(qū)間［%〃］上是減函數(shù)，最大值為/■(/?),最小值為/,(?)-

2a

注意：當(dāng)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間［%〃］上,即加〃時(shí)，函數(shù)的最小

2a2a

值在頂點(diǎn)處獲得，為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即/(x)rain==J函數(shù)最大值的

V2(774a

確定需要分為兩種情況：

區(qū)間［九〃］的中點(diǎn)為二產(chǎn)(由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到).

①當(dāng)加W-2遼'±2時(shí)(即右端點(diǎn)〃距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn))，函數(shù)的最大值為/?(〃)；

2a2

②當(dāng)%〃時(shí)(即左端點(diǎn)機(jī)距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn))，函數(shù)的最大值為/(加).

綜上所述，二次函數(shù)的最大值為/(x)max=max{/(/?),/(?)}.

二次函數(shù)的最值的圖象說(shuō)明

具體見(jiàn)下面的表格:

y=ax2+6x+c4〉0a<0

1

b機(jī)+〃/V

m<---<----

2a2

當(dāng)x=V時(shí)，取得J最小值

當(dāng)X二〃時(shí)，取得最小值

當(dāng)T時(shí)，取得最大值

當(dāng)X="時(shí)，取得最大值

當(dāng)》=，〃時(shí)，取得最小值當(dāng)工="時(shí)，取得最小值

當(dāng)》=〃時(shí)，取得最大值當(dāng)》=加時(shí)，取得最大值

常見(jiàn)的題型分為以下四種:

(1)對(duì)稱(chēng)軸確定，區(qū)間確定(即定軸定區(qū)間)；

(2)對(duì)稱(chēng)軸確定,區(qū)間含參(即定軸動(dòng)區(qū)間)；

(3)對(duì)稱(chēng)軸含參,區(qū)間確定(即動(dòng)軸定區(qū)間)；

(4)對(duì)稱(chēng)軸含參,區(qū)間含參(即動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間).

例題講解

例&已知函數(shù)/(x)=——x+2,求滿足下列條件時(shí)，函數(shù)/(x)的最大值和最小

值：

(1)xe[-1,0];(2)xe[0,1];(3)xe[1,2].

解：/(x)=--x+2=(x—；J+；,該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=g

(1)W1,0]

/(x)min=/(0)=2,/(4皿=/(T)=4；

(2)VxG[0,1]

，/(x)min=/(])=a,""'1?*=/(0)=/⑴=2；

(3)VXe[1,2]

???=/⑴=2=/⑵=4.

例9.已知函數(shù)/(x)=x2-4x+l,當(dāng)xe[a,a+2]時(shí),求函數(shù)/(x)的最小值.

解：/(x)=/一4*+1=(》-2)2-3,該函數(shù)圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線8=2

當(dāng)a+2W2,即“W0時(shí)=/(?+2)=(?+2-2)2-3=a2-3;

當(dāng)aW2<a+2,即0<aW2時(shí),/(x/in=/(2)=-3;

當(dāng)”>2時(shí),/(x)min=/⑷=/—4a+1.

綜上所述，當(dāng)aW0時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為/_3;當(dāng)0<aW2時(shí)，函數(shù)/⑴的最小

值為-3;當(dāng)。>2時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為4a+l.

例10.若函數(shù)/(X)=/+G_1在區(qū)間k1,1]上的最大值為14,求”的值.

解：函數(shù)/(X)=/+ax-1圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-￡

當(dāng)一eo,即aW0吐/(x)max=/(-1)=l-a-l=14，解之得:a=—14;

當(dāng)一最＜0,即a＞0時(shí),/(x)max=/⑴=1+”1=14,解之得:4=14.

綜上所述,a的值為14或-14.

例11.已知函數(shù)(加+；｝+:,是否存在實(shí)數(shù)加，使得當(dāng)加WxW

m+2時(shí)，函數(shù)有最小值-5?若存在，求出加的值;若不存在，說(shuō)明理由.

分析本題難度較高，屬于對(duì)稱(chēng)軸和自變量的取值范圍均含參數(shù)的最值問(wèn)題.

解:函數(shù)y=(，一(加++1的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2〃?+1.

①當(dāng)加+2W2m+1,即團(tuán)21時(shí)，當(dāng)x=加+2時(shí)

Nmin=；(m+2)2+(m+2)+；=陽(yáng)2-/H+^=-5

整理得:加？+2加-7=0

解之得:叼=一1+2我,%二一1一2五

m三1

??m=