2024屆重慶市九校數(shù)學(xué)高二年級上冊期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆重慶市九校數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知b<O<a,則下列不等式一定成立的是（）

,,11

A./?2<a2B.—<—

ba

C.—b<—aD.〃一/?<〃+/?

2.某校高二年級統(tǒng)計(jì)了參加課外興趣小組的學(xué)生人數(shù)，每人只參加一類，數(shù)據(jù)如下表:

學(xué)科類別文學(xué)新聞經(jīng)濟(jì)政治

人數(shù)400300100200

若從參加課外興趣小組的學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取50名參加學(xué)習(xí)需求的問卷調(diào)查，則從文學(xué)、新聞、經(jīng)濟(jì)、政

治四類興趣小組中抽取的學(xué)生人數(shù)分別為（）

A.15,20,10,5B.15,20,5,10

C.20,15,10,5D.20,15,5,10

3.設(shè)｛q｝等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題：

①是等比數(shù)列；

②｛%%+1｝是等比數(shù)列；

③,是等比數(shù)列；

④,。.是等比數(shù)列.

0I?I

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2

C.3D.4

4.已知隨機(jī)變量&N（3,"）,P化<4）=0.76,則P傳<2）的值為（）

A.0.24B.0.26

C.0.68D.0.76

5.數(shù)列L2,近，麗,加,，則后是這個(gè)數(shù)列的第()

A.8項(xiàng)B.7項(xiàng)

C.6項(xiàng)D.5項(xiàng)

6.下列說法曾誤的是()

A.命題“Vx>0,e*>1"的否定是'臼％〉0,

B.若“x<m，，是“x<2021或x〉2022”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021

C.“m>20”是“函數(shù)y=2/-陽+1在(TO,HH?)內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件

11

D.已知%>0,y〉0且x+4y=l,則一+一的最小值為9

%y

22

7.橢圓工+2L=i的長軸長是。

94

A.3B.6

C.9D.4

8.不等式(x+2)(x—3)>。的解集為()

A.[x\xV-2或%>3}B.[x\x<-2}

C.{x|x>3}D.{%|-2<x<3}

9.已知<。且〃+匕+。=0,則下列不等式恒成立的是

A.a2<b2<c2B.ab2<cb1

C.ac<beD.ab<ac

10.為迎接第24屆冬季奧運(yùn)會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿

者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目，則所有排法的總數(shù)為()

A.60B.120

C.150D.240

11.已知/(%)=tanx,貝[)/'(%)=()

A.—\—B.—

sinxcosx

11

C.-----?--2-D.-------2-

sinxcosx

12.若直線Z,:(m+l)x+6y+4=0與4：x+3機(jī)y+l=0平行，則機(jī)的值為()

A.-2B.-1或一2

C.l或一2D.l

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.數(shù)據(jù)6,8,9,10,7的方差為

22

14.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下為雙曲線。：!7一2=1(。〉6〉0)的焦點(diǎn)，過歹的直線/與C的兩條漸近線分別交于A,B

兩點(diǎn).若。=且一。鉆的內(nèi)切圓的半徑為￡，則C的離心率為

15.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題

—“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在如

9

圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)軍營所在平面區(qū)域?yàn)椋?xj)H+y2s—｝,河岸線所在直線方程為x+2y-4=o.假定將軍從點(diǎn)

4

31

P(~,~)處出發(fā)，只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為_____.最短總路程為

22

16.數(shù)據(jù)：1,1,3,4,6的方差是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)等差數(shù)列｛&｝的前幾項(xiàng)和記為％已知%=6,10=—15.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)求S“，并求”為何值時(shí)S”的值最大.

18.(12分)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,q=2,且S,滿足2S"=("+l)a.，neN*.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

CL+12+1M+1/----7

(2)證明：對一切正整數(shù)〃，有」一X——xX——+

19.(12分)已知橢圓c：*+《=l(?！?>0)的左、右焦點(diǎn)為耳，B，閨閭=2,離心率e為;

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)。的左頂點(diǎn)為A,過右焦點(diǎn)工的直線/交橢圓。于。，E兩點(diǎn),記直線/,AD,AE的斜率分別為左，匕，k2,

2b1

求證：W+3=-而可

20.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的和為S“，且S”=2a〃—2（〃wN*）.

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)％=。2%，%=40,+1），求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和人

21.（12分）已知圓C的圓心C在直線y=x+2上，且與直線x+2y—8=0相切于點(diǎn)（2,3）.

（1）求圓C的方程；

（2）過點(diǎn)P（4,0）的直線/與圓C交于兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為V,直線/與直線/1：工一5丁一3=0的交點(diǎn)為乂

判斷|PM|?|PN|是否為定值.若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由.

22.（10分）如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面A6CD,AB//CD,ADA.DC,AB=AD=2DC=2,E為

P3的中點(diǎn)

（1）求證：CE//平面B4￡）；

（2）若R4=4,求平面COE與平面ABC。的夾角大小

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.

詳解】對于A,如。=5,匕=-10,滿足條件，但〃〈/不成立，故A不正確;

對于B,因?yàn)閎<O<a,所以!<0,L〉0,所以!<工，故B正確；

baba

對于C,因?yàn)閎<O<a,所以—匕>0,—a<0,所以—b<—a不成立，故C不正確;

對于D,因?yàn)閎<O<a,所以—所以a—6>a+b,故D不正確.

故選：B

2、D

【解析】利用分層抽樣的等比例性質(zhì)求抽取的樣本中所含各小組的人數(shù).

【詳解】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)知：

文學(xué)小組抽取人數(shù)為50x現(xiàn)=20人；

1000

新聞小組抽取人數(shù)為50x^21=15人;

1000

經(jīng)濟(jì)小組抽取人數(shù)為50x3=5人;

1000

政治小組抽取人數(shù)為50、當(dāng)=10人；

1000

故選：D.

3、C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對四個(gè)命題逐一分析，由此確定正確命題的個(gè)數(shù).

【詳解】｛4｝是等比數(shù)列可得工=4（4為定值）

an-\

2/\2

①爭=上一=/為常數(shù)，故①正確

an-l\an-lJ

臉七心故②正確

1

③牛=4」=!為常數(shù)，故③正確

1冊q

%

lg|4|

④不一定為常數(shù)，故④錯(cuò)誤

lg|4」

故選c.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計(jì)算作答.

【詳解】因隨機(jī)變&N4d）,P（^<4）=0.76,有一-一匚，由正態(tài)分布的對稱性得：

W2）=P（空4）=1-<4）=1-0.76=0.24,

所以。管<2）的值為0.24.

故選：A

5、A

【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出后是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)

【詳解】數(shù)列為所，而，，故通項(xiàng)公式為a,,=—2,也是這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng).

故選：A.

6、C

【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；

對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；

對于C：判斷出“〃出2應(yīng)”是“函數(shù)y=2/-m+1在（Y,”）內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；

對于D：利用基本不等式求最值.

【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“Vx>0,曠>1”的否定是何修〉0,441”.故A正確；

對于B：若“x<根”是“％<2021或x>2022”的充分不必要條件，所以加W2021,即實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為2021.故B

正確；

對于C：“函數(shù)y=2好-nu+1在（YO,+CO）內(nèi)有零點(diǎn)”，貝?。莅?>一820，解得：加或加<-2拒，所以

“m>2A/2”是“函數(shù)y=2/_盛+1在（-co,-+w）內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；

對于D：已知x>0,y〉0且x+4y=l,所以工+工=（工+4］（%+分）=1+也+2+425+2、^^=9（當(dāng)

xyyjxyyxy

4YX11

且僅當(dāng)」=一,即x==：時(shí)取等號）故D正確.

故選:c

7、B

【解析】根據(jù)橢圓方程有4=3,即可確定長軸長.

【詳解】由橢圓方程知：a=3,故長軸長為&

故選：B

8、A

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.

【詳解】由不等式(x+2)(x—3)>0可得x<—2或x>3

不等式(x+2)(x-3)>0的解集為{x|x<—2或尤>3}

故選：A

9、C

【解析】Va+b+c=OS.a<b<c,

a<Q,c>Q

:.ac<be

選C

10、c

【解析】結(jié)合排列組合的知識，分兩種情況求解.

【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時(shí)，有屐&=10x6=60種，

「202

當(dāng)分組為1人，2人，2人時(shí)有5.丁2.團(tuán)=90種,

4

所以共有60+90=150種排法.

故選：c

11、B

【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)函數(shù)即可.

.2?2-1

r.ASAg,、/+smxcosx+sm%1

L詳解】/(x)=(tanxv)=(z-----)=-------；-----=———.

cosxcosXcos-

故選:B.

12、C

【解析】利用兩直線平行的判定有3根(加+1)-6=0,即可求參數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)，3m(m+l)-6=0,可得加=-2或m=1.經(jīng)驗(yàn)證不重合，滿足題意,

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】首先求出數(shù)據(jù)的平均值，再應(yīng)用方差公式求它們的方差.

【詳解】由題設(shè)，平均值為3=6+8+7°+7=8,

15_

；?方差§2=￡X（七-%）2=2.

5i=i

故答案為：2.

14、好林上下

22

b

【解析】a>b>0^-<l9作出漸近線圖像，由題可知OAB的內(nèi)切圓圓心在“軸上，過內(nèi)心作04和Ab的垂線,

a

可得幾何關(guān)系，據(jù)此即可求解.

【詳解】a>b>0

二雙曲線漸近線與05如圖所示，與08關(guān)于x軸對稱，

設(shè)△043的內(nèi)切圓圓心為則M在NAO3的平分線3上，過點(diǎn)"分別作肱VL0N于點(diǎn)于7,

由E4LQ4,則四邊形M7ZN為正方形，

由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b得|網(wǎng)=。,

又|O「|=c,：.\O^=a,且|酬=巾=三,

W=y

b\MN\

-=tanZAOF=\~

a2

則e

a2

故答案為：與

68②歷A5

15、

55,-10~

31

【解析】求出P（7,不）關(guān)于直線x+2y-4=0對稱點(diǎn)P，的坐標(biāo)，再求出線段OP與直線工+2,4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的

幾何性質(zhì)可得結(jié)果.

31

【詳解】設(shè)P（一,不）關(guān)于直線x+2y-4=0的對稱點(diǎn)為P\m,n）,

22

1

n—

1

T(一21

2m=—,

m—10

則2解得

17

31n=——.

m+—〃+一10

——2-+2x—~2--4=0,

22

因?yàn)閺狞c(diǎn)尸到軍營總路程最短，所以A為線段0P，與直線x+2j-4=0的交點(diǎn),

_U

，21"得產(chǎn)［(4-2/),解得尸

聯(lián)立

x+2y-4=0,2155

所以“將軍飲馬，，的最短總路程為（0）2+（11）2_2_^/73^-15,故答案為丁

V1010210

【點(diǎn)睛】本題主要考查對稱問題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對稱問題，主要有以下三種題型：（1）

x+my+n

點(diǎn)關(guān)于直線對稱，P（尤,y）關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)/（〃〃），利用———xk,=-1,且點(diǎn)在對稱軸/上,

x-m2'2

列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)（利用（1）求

解），兩點(diǎn)式求對稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.

18

16、—##3.6

5

【解析】先計(jì)算平均數(shù)，再計(jì)算方差.

【詳解】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1+1+；+4+6=3,方差為+2z+02+12+32）=g

1Q

故答案為：y

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）an=—3n+15；

（2）當(dāng)〃=4或〃=5時(shí)，S”的值最大.

【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

因?yàn)閍；=6,S[o=-15,

a.+2d=6（-,?

1a=12

所以有inad=Lna”=12+5—1>（—3）=—3〃+15‘

10a,+—xl0x9J=-15[d=-3

即a==—3n+15；

【小問2詳解】

由（1）可知d=—3<O,所以該數(shù)列是遞減數(shù)列，

而。1=12〉0,當(dāng)=一3〃+15W0時(shí)，解得：n>5,neN*,

因此當(dāng)九=4或〃=5時(shí)，S”的值最大.

18、(1)4=2"，〃eN*；

（2）證明見解析.

【解析】（1）利用4，S"關(guān)系可得％=芻（，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知｛3｝為等比數(shù)列，進(jìn)而寫出｛a,J的通項(xiàng)公式;

nn-1n

⑵由『將不等式左側(cè)放縮,即可證結(jié)論?

【小問1詳解】

當(dāng)”時(shí)，2s“=5+l)a“，2S"-i="a,i，兩式相減得：2an=(n+V)an-nan_l,

整理可得：生也，而幺=2,

nn-11

所以｛2｝是首項(xiàng)為2,公比為1的等比數(shù)列，故%=2,即4=2"，“eN*.

nn

【小問2詳解】

4X22+4X24X32+4X3'4n2+4n

2---------------z-------X...X

-4x2-*4x324n2

q+i%+i

入人...入

qa2

22

19、(1)—+^-=1；(2)證明見解析

43

【解析】⑴由|耳耳|=2可求出c=l,結(jié)合離心率可知。=2,進(jìn)而可求出5=6,即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵由題意知4(-2,0),耳(1,0),則由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線O石的解析式為y=k(x-1),與橢圓進(jìn)行聯(lián)

8k2

%+%2=-------------2

立，設(shè)D(不，x),后(馬，％)，結(jié)合韋達(dá)定理可得＜；+4《，從而由斜率的計(jì)算公式對左(％+a)進(jìn)行整理

2H

化簡從而可證明左(勺+左2)=--7—

a\a+O,

c1

【詳解】⑴解：因?yàn)閲?2,所以c=l.又因?yàn)殡x心率e=,=5,所以a=2,則入JL

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是L+2_=1

43

(2)證明：由題意知，4(—2,0),耳(1,0),則直線O石的解析式為y=?(x—1),

22

代入橢圓方程『+q=1,得(3+4左2)/——12=0

'8k2

“+x2~2-2b之6

設(shè)。國乂），￡（%,%）,貝1.又因?yàn)橐辉VT一八T7

h=^F

%-0?%-0、女(再一1)左(九2-1)(AAX

22%]%2+%+%2-4

k(k、+左2)=左=k

、%+2x2+2?國+2%+2、石馬+2%+2%+4,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:

本題第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用左表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而代入MK+左2）進(jìn)

行整理化簡.

20、（1）%=2"；

（2）1=加2"+1.

S“,n=l

【解析】（1）根據(jù)=c；、、，并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案;

⑸-S,1,7后2

（2）結(jié)合（1）,并通過錯(cuò)位相減法即可求得答案.

【小問1詳解】

當(dāng)”=1時(shí)，S[=2%-2,,%=2,當(dāng)722時(shí),?！?S”-S,i=22-2-(2a,i-2),;.%=2%T,{a“}是以2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?.。"=2*2"1=2".

【小問2詳解】

2

=log22"=n,c?=(n+l)-2\7；,=2x21+3x2++“X2”T+(“+1)x2”…①

27；,=2X22+3X23++nx2"+(n+l)x2"+I

①-②得—7；=4+22+23++2"-（H+1）x2,,+1=2?＜（2-1）+2-（n+1）x2"+1

2—1

n+1nMn+1

=2-(n+l)x2"+i=-n-2,：.Tn=n-2.

21、(1)(x-3)2+(y-5)2=5

(2)1

【解析】(1)設(shè)過點(diǎn)(2,3)且與直線工+2丁-8=0垂直的直線為2工-3；+”=。，將(2,3)代入直線方程，即可求出〃，

再與2x-y-1=。求交點(diǎn)坐標(biāo)，得到圓心坐標(biāo)，再求出半徑，即可得解；

(2)分直線/的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在直接求出M、N的坐標(biāo)，即可求出|PM|?|PN|,

當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線/為丁=左(1-4)、A(%,%)、3(尤2,%)，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，即

可表示出"的坐標(biāo)，再求出N的坐標(biāo)，即可表示出歸加|、|/W|,即可得解；

【小問1詳解】

解：設(shè)過點(diǎn)(2,3)且與直線％+2)；-8=0垂直的直線為2%—3；+〃=0,

則2x2—3+〃=。，解得〃=—1,BP2x—y—1=0,

y=x+2fx=3/、

由；IC，解得u,即圓心坐標(biāo)為C（3,5）,

[2x-y-l=Q[y=5'7

所以半徑r=J（3-2）2+（5-3）2=4,

所以圓的方程為（x—3）2+（y—5）2=5

【小問2詳解】

解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P(4,0)的直線/為,=左(工-4),

y=^（x-4）

所以/\2/\2消去〉得（1+左2）%2—（6+8左2+10左）尤+（29+16左2+40左）=0,

（x-3）+（,-5）=5

海人/\\6+8Z^2+\Qk29+16左2+40%

設(shè)A（玉，X）、5（^2，%），入J/+%2=]+.2，=]+.2

‘3+442+5左5k2-k、

所以％+%=%(芯+%2)—8左=2,所以的中點(diǎn)M

1?/C、-i+P-T+L,

20左一3

x=----------

由"MT20k-3k