湖南省多所學(xué)校2024屆高三年級(jí)上冊(cè)第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

高三數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知命題*e(°」)，3,則p的否定是()

A.V%e(O,l),人與B.3%e(O,l),//日

C.V%e(O,l),/=*D.Vx0(O,l),Vw*

答案：A

解析：因?yàn)槊}mxe(O,l),/=￥，則其否定為Vxe(O,l),d/#.

故選：A

Y

2.定義集合A+B=jzz=],xeA,yeB).已知集合4={4,8},B={1,2,4},則A+5元素的個(gè)數(shù)

為()

A.3B.4C.5D.6

答案：B

解析：因?yàn)锳={4,8},B={1,2,4},

所以4+3={1,2,4,8},故A+5的元素的個(gè)數(shù)為4.

故選：B.

3.已知函數(shù)/(x)=3x3—2x—L的圖象在x=a(a>0)處的切線的斜率為左(。)，則()

A.左(。)的最小值為6B.左(。)的最大值為6

C.左(a)的最小值為4D.左⑷的最大值為4

答案：C

解析：左(a)=/'(a)=9儲(chǔ)+'—222d—2=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=g時(shí)，即。=岑時(shí)，等號(hào)成立，所以

M。）的最小值為4.

故選：C

4.己知某公司第1年的銷售額為。萬(wàn)元，假設(shè)該公司從第2年開(kāi)始每年的銷售額為上一年的1.2倍，則該公

司從第1年到第H年（含第11年）的銷售總額為（）（參考數(shù)據(jù)：取1.2"=7.43）

A.35.15。萬(wàn)元B.33.15〃萬(wàn)元C.34.15〃萬(wàn)元D.32.15〃萬(wàn)元

答案：D

解析：設(shè)第,11）年的銷售額為4萬(wàn)元，

依題意可得數(shù)列{4}[=1,2,,11）是首項(xiàng)為0,公比為1.2的等比數(shù)列，

則該公司從第1年到第11年的銷售總額為—==""-I）=3215a萬(wàn)元.

1-1.20.20.2

故選：D

5.設(shè)函數(shù)八％）的定義域?yàn)镽,且/（X+1）是奇函數(shù)，“2x+3）是偶函數(shù)，貝U（）

A./（0）=0B./（4）=0C./（5）=0D./（-2）=0

答案：C

解析：因?yàn)?（X+1）是奇函數(shù)，所以/（-x+l）=-/（x+l）,則/（l）=0.

又〃2x+3）是偶函數(shù),所以/（—2%+3）=〃2%+3）,所以45）=/⑴=0.

故選：C.

6.設(shè)且tana+tan,=,則（）

jrjr7C7C

A.2a+/7=5B.2a-0=&C.1/3—oc=—D.2/7+a=—

答案：A

01

解析：因?yàn)閠ana+tan，=——

cosp

sinasinB1

所以——+一5二一丁，

cosacospcosp

所以sin。cos0+cosasinfi=cosa,

即sin(c+

又ae(0,5,

JTjr

所以a+/=]■—a,即2a+力=5

JIjr

或a+,+萬(wàn)一(Z=7l,即1=萬(wàn)(舍去).

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=cos卜一.)，g(x)=sinf4x+^-j,則“曲線y=/(X)關(guān)于直線x=機(jī)對(duì)稱”是“曲線

V=g(x)關(guān)于直線x=7〃對(duì)稱”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：令7〃一看=左兀(匕eZ),得7〃=今+%兀化eZ),

所以曲線y=/(x)關(guān)于直線戶1+占兀(匕eZ)對(duì)稱.

令4根+[=]+左2兀(k2CZ),得7〃=eZ),

所以曲線丁=8(￡)關(guān)于直線工=今+竽化eZ)對(duì)稱.

因?yàn)閧〃z|“2=吉+左兀(左1eZ)}{mIm--^+^^[k2e：

所以“曲線y=/(%)關(guān)于直線彳="對(duì)稱”是“曲線y=g(x)關(guān)于直線了="對(duì)稱”的充分不必要條件.

故選：A.

8.對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)稱都能給人以美感，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.如

圖，在菱形ABC。中，/A3C=120。，AB=2,以菱形A5CD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，尸是四

個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若DP=2DA+〃DC,則彳+4的最大值為()

4

p

3

B.3C.5D.

2

答案：A

解析：連接AC.

若X+〃=0,則￡>p=/DA_710c=%C4,

若X不為零，則上〃CA，這與題設(shè)矛盾，若2為零，則尸與。重合.

若■+〃#€),則=

x+〃x+"x+〃

設(shè)^—DA+-^—DC=DS,故OP=(X+〃)OS,且S,AC三點(diǎn)共線.

2+//2+/zv'

由對(duì)稱可知只需考慮P在AD,AB對(duì)應(yīng)的半圓弧上.

當(dāng)P在AD對(duì)應(yīng)的半圓弧上（除。外）時(shí)，S總在。P的延長(zhǎng)線上,

故此時(shí)幾+〃W1.

當(dāng)P在AB對(duì)應(yīng)的半圓弧上，S總在。P之間，故此時(shí)2+〃之1

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（TO）,AC：y=gx+g,D（0,A/3）,

設(shè)P（cos仇sin6）（—兀<0<0）,

當(dāng)6>=—4時(shí)，|DS|=2x0=氈，而|。升=1+百,

233

,1+V33+65

此時(shí)22.

3

兀百一sin。

當(dāng)0W——時(shí)，則QP：y=-------------x+鳳-土…

2O-cos。

y=_G-sine七由空

=二可得“國(guó)j

,3*33cos6

33

百+8-sin6

3cos6

71尻

-----cos6+,—V|+，3

3I3）

.一2^3

丁

故選：A

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(X)=3|必一》+?1貝U()

A./(%)最小值為1B.±eR,/(l)+/(x)=2

C./(log92)>/^D./卜-￡|〉/?！恪?-￡|

答案：ACD

解析：/(x)=lg［x—j+10>lgio=l,當(dāng)且僅當(dāng)x=g時(shí)，取得最小值1,A正確.

因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)x=g時(shí)，/(%)取得最小值，且最小值為1,所以/⑴>1,所以/(l)+/(x)>2,B錯(cuò)誤.

因?yàn)椤?lt;logg2=-^—,所以log92-〉：，X~~~~~<且/在(一°°，!］上單調(diào)遞減,

1g91g8326326

在上單調(diào)遞增，所以/(Iog92)〉/11］,c正確.

因?yàn)??！?3°2>3°」8>1，所以9°」—工>3°」8—工>工，所以，D正確.

222

故選：ACD

10.若正項(xiàng)數(shù)列｛?｝是等差數(shù)列，且出=5,則()

A.當(dāng)生=7時(shí)，％=15B.%的取值范圍是［5,15)

C.當(dāng)%為整數(shù)時(shí)，的的最大值為29D.公差d的取值范圍是(0,5)

答案：ABC

解析：當(dāng)/=7時(shí)，公差d=2,%=%+4d=7+8=15,A正確.

因?yàn)椋鸻j是正項(xiàng)等差數(shù)列，所以［=5-d>0,即d<5,且d、0,

所以公差d的取值范圍是［0,5),D錯(cuò)誤.

因?yàn)?=5+21,所以為的取值范圍是［5,15),B正確.

%=5+5de［5,30),當(dāng)為為整數(shù)時(shí)，%的最大值為29,C正確.

故選：ABC.

11.若函數(shù)的定義域?yàn)?。，?duì)于任意者￡。，都存在唯一的使得〃％)〃%2)=1，則稱/(%)

為“A函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/(%)=ln%是“A函數(shù)”

/、1/、1

B.已知函數(shù)/(%)，”行的定義域相同，若了(九)是“A函數(shù)”，則互耳也是“A函數(shù)”

C.已知〃%)，g(x)都是“A函數(shù)”，且定義域相同，則〃x)+g(x)也是%函數(shù)”

7171

D.已知根>0,若/(x)=zn+sinx,xe是“A函數(shù)”，則m=y[l

答案：BD

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)再=1時(shí)，/(玉)=0,此時(shí)不存在巧，使得/(%)/(%2)=1-A不正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,由的定義域相同，若/(%)是“A函數(shù)”,則對(duì)于任意再eD,都存在唯一的x2eD,

/、/、11,1

使得/&)/伍)=1，則對(duì)于任意菁右。，都存在唯一的“使得不y7F)=i'所以冗J也

是“A函數(shù)”.B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,不妨取/(%)=、，g(x)=-,xe(0,+oo),令方(%)=/(1)+且(冗)=%+工22,則

%x

F(^)F(X2)>4,

故/(x)+g(尤)不是“A函數(shù)”.C不正確;

nn

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?％)=m+sinx,xe，是“A函數(shù)”,

所以m+sinxwO在一夕(上恒成立.又m>0,所以加一1>0,且(m+sinX1)(m+sinx2)=1，

兀兀兀71兀7t1

即對(duì)于任意不￡，都存在唯一的馬￡一，使得sin%2=----:-----m,

22m+sin玉

111

因?yàn)楦?Vzn+sin%[W根+1,所以------m<-----；-—--m<------m,

m+1m+smxxm-1

即一-——m#sinx2---—m

m+1m-1

1,

------m>-1

由<解得機(jī)=a.D正確.

------m<1

故選：BD

12.定義在(0,+8)上的函數(shù)〃％)的導(dǎo)函數(shù)為/'(九)，4％)>0且才//(力<[/(力了

恒成立，則()

A./(l)/(2)p(l)-1/(2)j>f(l)-f(2)

B.Vae(0,+co),函數(shù)y=(x>0)有極值

D.3aG(0,+oo),函數(shù)y=，,)+為單調(diào)函數(shù)

答案：AD

(、f(x)

解析：解法一:設(shè)函數(shù)g(x)=4^+

X2)

/'(X)—靖(x)[/(x)T—[/("丁―九'(司<0

則g'(x)N(x了⑴

Rx)T尤2"(切2

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，D正確.

從而g⑴〉g⑵，即?+7^>勺+右'

因?yàn)?(x)>0,所以/⑴>0,/(2)>0,

所以/(1)/(2)/(1)-1/(2)>/(1)-/(2),故C錯(cuò)誤，A正確.

解法二：取/(X)=x(x>0),滿足/(x)>0且礦丁-xV(x)<[/(x)T，則

3aG（0,+OO）,函數(shù)y=7,）+「；尤）（龍〉0）為單調(diào)函數(shù).

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

..1__

13.設(shè)向量AB=（x,2x）在向量AC=（3,T）上的投影向量為一—AC,則犬=

答案：1

解析：向量A3=（x,2x）在向量AC=（3,T）上的投影向量為

A3ACAC3x-8x4「i

廿。，則丁丁解…

故答案為：1.

14.若a￡[0,—

cosla--則sin3a=

3

答案：￡1##:百

99

解析：因?yàn)樗?ae(O,7i),所以sin2a=J1—(cos2a『=手，

因?yàn)閏os2(z=2cos?o-l=，，所以cosa=逅，sina-—，

3I2j33

573

所以sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

~9~

故答案為：巫

9

15.若關(guān)于x的不等式/+7。＜（7+4）%的解集恰有50個(gè)整數(shù)元素，則a的取值范圍是,這50

個(gè)整數(shù)元素之和為.

答案:①.[74,叫U(57,58]②.—925或1625

解析：不等式f+7a<（7+a）為等價(jià)于不等式（x—a）（x—7）<0.

當(dāng)a=7時(shí)，（x—a）（x—7）<0的解集為0,不合題意；

當(dāng)a<7時(shí)，（％-。）（％-7）<0的解集為（a,7）,

則50個(gè)整數(shù)解為-43,-42，…，5,6,

所以一44<a<-43,這50個(gè)整數(shù)元素之和為（“3+6）*50=；

2

當(dāng)a>7時(shí),（%-a）（x-7）<0的解集為（7,a）,

則50個(gè)整數(shù)解為8,9,56,57,所以57<a<58,

這50個(gè)整數(shù)元素之和（8+57）*5°=W25.

2

綜上，。的取值范圍是［T4,T3）（57,58］,這50個(gè)整數(shù)元素之和為-925或1625.

故答案為：［T4,T3）（57,58］；—925或1625

16.如圖，已知平面五邊形ABCDE的周長(zhǎng)為12,若四邊形A5DE為正方形，且3C=CD,則當(dāng)△BCD

的面積取得最大值時(shí)，AB=.

答案:27-3折

8

解析：過(guò)點(diǎn)。作垂足為設(shè)A5=x(x>0),則3D=AE=OE=x,

3

?：BC=CD,：.3AB+2BC=12,則BC=6——九，

2

由BC>0,BC+CD>BD,得0<x<3.

在△35中，CF=y/BC2-BF2=L-|xj一［gx)=V2%2-18%+36-

記△3CD的面積為S,則S=?CT=—7%4-9X3+18X2.

22

設(shè)函數(shù)/(%)=%"-9x3+18%2,貝ij尸(x)=4x3-27x2+36%=x(4x2-27x+36),

令/'(x)=0,得x=0或x=27±3j!7.當(dāng)o<x<27—3jI7時(shí),用@>0；

88

當(dāng)27—；如<關(guān)<3時(shí),r(x)<0.故當(dāng)x=27—；而'時(shí),"%)取得最大值，

則S取得最大值，此時(shí)45=27—3/17.

8

故答案為：27-3亞.

8

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。，已知acos5-2〃cosA=〃+c.

（1）求tanA；

（2）若”=J萬(wàn)，A5C的面積為2拒，求；ABC的周長(zhǎng).

答案：（1）tanA=-2^2

⑵5+717

(1)

因?yàn)閍cos5—2Z?cosA=>+c,所以sinAcosB—2sin_BcosA=sin5+sinC.

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以一3sin5cosA=sin5.

因?yàn)閟in3。0，所以cosA=-，

3

又Ae(0,兀)，所以sinA=~~，tanA=-2^2-

(2)

_ABC的面積S=L/?csinA==2后，則6c=6.

23

。22,4

^a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+~^c，得他+c)'=cr+—be=25,

所以方+c=5,故；ABC的周長(zhǎng)為5+JT7.

18.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，底面ABC。，底面ABC。為正方形，PA=AB，E,F,M分別

是PB,CD,尸。的中點(diǎn).

(1)證明：EF〃平面B4D

(2)求平面與平面的夾角的余弦值.

答案：(1)證明見(jiàn)解析

⑵I

(1)

證明：取出的中點(diǎn)N,連接EN,DN,因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EN〃AB,EN=-AB.

2

又底面ABC。為正方形，尸是C。的中點(diǎn)，所以ENHDF,EN=DF,所以四邊形END尸為平行四邊形,

所以EF//DN.

因?yàn)椤晔势矫鍮4。，DNu平面B4D,所以EF〃平面B4D

(2)

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為無(wú)軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)AB=2,則E(L0,l),F(1,2,0),尸(0,0,2),￡>(0,2,0),M(0,1,1).

從而5M=(—1,1,0),MF=(1,1,-1),AF=(1,2,0).

玉+2%=0人

設(shè)平面AMF的法向量為〃2=（尤1，必,馬），貝卜,C，令％=1,得〃z=(—2,1,—1).

[xl+yl-z1=0

S+%-z,=0

設(shè)平面EMF的法向量為"=（%2，%，Z2），則，1-…2。，令為：1,得〃=(1,1,2).

/m?n1

cos(nt,n)-—n一r二—

故平面AMF與平面EMF的夾角的余弦值為1.

19.已知數(shù)列｛?！埃凉M足區(qū)++%+%+%+,+二+-2+=n-2n.

23n

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列出|的前〃項(xiàng)和S”.

答案：(1)%="(〃+3)2"

(2)S,=(〃+2).2"T-1

(1)

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2.

nnl

當(dāng)“22時(shí)，"1+J++%=n-2-(n-l)-2-=(n+l)-2"一，

即q+a2++c1rl=〃(〃+1)?2"i,

當(dāng)〃=1時(shí)，上式也成立,

所以4=+1)?2"T—(“一1)分T--=n(n+3)-2"-2(n>2).

當(dāng)〃=1時(shí)，也符合4=〃5+3)-2"-2,所以4=〃(〃+3)2-2.

(2)

由(1)知％=(〃+3)2-2.

n

s.=4x2-+5x2°++(〃+3)?2”-2,

1-1

2Sn=4x2°+5x2+.+(?+3)-2",

則—S“=2+(2°+21++2"-2)_(〃+3).2“T=2+(2"T—1)—(〃+3>2"T=—(〃+2)-2"T+1,

所以S“=5+2)?2"T_1.

20.某商場(chǎng)在6月20日開(kāi)展開(kāi)業(yè)酬賓活動(dòng).顧客憑購(gòu)物小票從6~20這15個(gè)號(hào)碼中依次不放回地抽取2個(gè)

b

號(hào)碼，第1個(gè)號(hào)碼為。，第2個(gè)號(hào)碼為反設(shè)X是不超過(guò)一的最大整數(shù)，顧客將獲得購(gòu)物金額X倍的商場(chǎng)代

a

金券(若X=0,則沒(méi)有代金券)，代金券可以在活動(dòng)結(jié)束后使用.

(1)已知某顧客抽到的a是偶數(shù)，求該顧客能獲得代金券的概率；

(2)求X的數(shù)學(xué)期望.

答案：(1)1

⑵上

30

(1)

當(dāng)內(nèi)。時(shí)，該顧客能獲得代金券.設(shè)%是偶數(shù)”為事件4%>〃”為事件2,

則0(附=(2。-6)+(2”乎+(20—18)=至二土

A?21015

4

8x14:所以。(引力=然吟，

產(chǎn)儲(chǔ))=J

AM

15

所以當(dāng)顧客抽到a是偶數(shù)時(shí)，該顧客能獲得代金券的概率為：.

(2)

X可能的取值為0,1,2,3.

當(dāng)X=0時(shí)，b<a,則尸（X=O）=g.

當(dāng)X=1時(shí)，a+l<b<2a-l,若則a+l<6<20.

對(duì)每一個(gè)歷方有20—a種不同的取值，貝1（。㈤共有9+8++1=45種可能的取值.

若6VaV10,對(duì)每一個(gè)a,b有a—1種不同的取值，貝乂。,"）共有5+6+7+8+9=35種可能的取值，

n/v1\45+358

所以P（X=l）=kK

當(dāng)X=2時(shí)，2aWbW3a—1.

若a?7,則2aWb〈20.對(duì)每一個(gè)a,b有21—2。種不同的取值，貝U（a,。）共有7+5+3+1=16種情況.

若a=6,則（a,。）共有6種可能的取值.所以P（X=2）==77G.

A]51U3

31

當(dāng)X=3時(shí)，3a?b?4a—只有（6,18）,（6,19）,（6,20）這3種情況,所以尸”=3）=前=癡.

所以E（X）=0x」+lx§+2x二+3、!=空=史.

v72211057021030

21.以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸橢圓過(guò)點(diǎn)C（0,-l）,D（-|,-g）.

（1）求橢圓的方程.

（2）設(shè)尸是橢圓上一點(diǎn)（異于C。），直線PC,。。與％軸分別交于M,N兩點(diǎn).證明在無(wú)軸上存在兩點(diǎn)

A,B,使得MB.是定值，并求此定值.

答案：（1）—+y2=1；

4

（2）證明見(jiàn)解析，定值為T2.

（1）

(7=11

設(shè)橢圓方程為/2+分2=1,貝I」649，解得＜P=N,

—p+—q=l

q=i

所以橢圓的方程為三+丁=1.

(2)

則。/=（%」）,CP=（Xo，%+l）,由CM//CP，得%〃（貝）+D=%o，而%+1。0,于是“二-7

為十1

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所以存在A(T,0)和3(4,0),使得