2022級高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及詳解

2022級高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷命題人：李丙錚審題人：袁明星一、單選題(每小題五分)1．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（

）A． B． C． D．2．已知直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．3．圓關(guān)于直線對稱后的方程為（

）A． B． C． D．4．命題p：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則使命題p成立的充分必要條件是（）A． B．C． D．5．設(shè)數(shù)列滿足，且，則（

）A．2 B． C． D．36．已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線不過點(diǎn)，且與左支交于，兩點(diǎn)，的周長是的倍且兩個(gè)三角形周長之和為，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題五分）9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量，若⊥，則B．若對平面中任意一點(diǎn)，有則P,A,B三點(diǎn)共線.C．已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底.D．任意向量，滿足.10．已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．當(dāng)取得最大值時(shí) D．當(dāng)取得最大值時(shí)11．已知，，直線：，：，且，則（

）A． B．C． D．12．如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．P為橢圓上一點(diǎn)，線段PF1中點(diǎn)為Q，則為定值B．直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，A是橢圓上異與R，S的點(diǎn)，且、均存在，則C．若橢圓上存在一點(diǎn)M使，則橢圓離心率的取值范圍是D．四邊形為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab三、填空題（每小題5分）13．已知方程表示的圓中，當(dāng)圓面積最小時(shí)，此時(shí).14．已知拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)．若是邊長為的等邊三角形，則．15．設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前99項(xiàng)和為.16．正四面體的棱長為12，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．四、解答題（17題10分，1822題12分）17．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明是等差數(shù)列，并求的前項(xiàng)和．18．已知中角，，所對的邊分別為，，，設(shè)其面積為，．(1)求角；(2)若，點(diǎn)在邊上，若是的平分線，且，求．19．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)直接寫出該函數(shù)在定義域中的單調(diào)性（不需要證明），若對于任意，不等式恒成立，求k的范圍．

20．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過的平面交平面于．(1)證明：平面；(2)若平面平面，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.21．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)令，若（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立.22．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線（直線的斜率不為0）與橢圓相交于兩點(diǎn)，過焦點(diǎn)作與直的傾斜角互補(bǔ)的直線，與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的值.參考答案：1．C【詳解】根據(jù)題意點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，所以.故選：C.2．A3．A【詳解】因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.4．B【詳解】命題p：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，，解得,則使命題p成立的充分不必要條件是．故選：．5．A【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，顯然數(shù)列的周期為4，而，因此.故選：A.6．B【詳解】根據(jù)題意可得，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為和，圓心為和，半徑分別為2，1，若兩圓恰有三條公切線，則等價(jià)為兩圓外切，則滿足圓心距，即則，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號.故選：B7．B【詳解】設(shè)的周長為，的周長為，由題意可得，解得，，因?yàn)椋?，所以，所以，又，解得（舍去?fù)值），所以離心率，故選：B．8．D【詳解】，，數(shù)列是等差數(shù)列，，，，，數(shù)列的公差，，既，故，，，故選：D.9．ABC【詳解】A選項(xiàng)，空間向量，若⊥，，夾角為，則，A正確；B正確；C選項(xiàng)，是空間的一個(gè)基底，則不存在使得，設(shè)，即，即，此方程無解，故不共面，則也是空間的一個(gè)基底，C正確；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：ABC10．ABC【詳解】設(shè)公差為，則，所以，解得，故A正確；，故B正確；，所以當(dāng)時(shí)，最大，故C正確，D錯(cuò).故選：ABC.11．ABD【詳解】由，得，即，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以有，A選項(xiàng)正確；由，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以有，B選項(xiàng)成立；由，有，，，則，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，有，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.12．ACD【詳解】A：連接，由橢圓的定義可知，線段中點(diǎn)為Q，所以，于是有，所以本選項(xiàng)命題正確；B：直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，因?yàn)橹本€經(jīng)過原點(diǎn)，而橢圓是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形，所以R，S兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，不妨設(shè)，，，因?yàn)锳是橢圓上異與R的點(diǎn)，所以有，兩個(gè)式相減，得，因此，所以本選項(xiàng)命題是假命題；C：橢圓上存在一點(diǎn)M使，由余弦定理可知：，即，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即M為上（下）頂點(diǎn)時(shí)取等號，而，所以，因此本選項(xiàng)命題是真命題；D：因?yàn)榫匦魏驮摍E圓的對稱軸和對稱中心相同，所以設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)為，即，所以矩形的面積為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即當(dāng)時(shí)取等號，因此本選項(xiàng)命題是真命題，故選：ACD13．0【詳解】由，得，易知當(dāng)，圓的半徑最小，即圓的面積最小.故答案為：014．1【詳解】設(shè)，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關(guān)于軸對稱，由得,將代入拋物線中得所以，故答案為：115．/【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，將與式相減得：，即，當(dāng)時(shí)，也適用，所以，，所以，故答案為：.16．【詳解】由正四面體的棱長為12，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點(diǎn)為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點(diǎn)的距離，所以內(nèi)切球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．故答案為：．17．【詳解】（1）設(shè)的公比為（），由，得（2分）解得或（舍去），因?yàn)?，所以．?分）（2）由（1）可知，，則．（6分）因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，（8分）故．（10分）18．【詳解】（1）依題意，（3分），因?yàn)?，所以．?分）（2）中，，．①（7分）又，，即，②（9分）聯(lián)立①②得，．．（12分）19．【詳解】（1）解：因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，即（3分）又由，可得，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.（6分）（2）解：由（1）知，，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，（8分）對于任意，不等式恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，（10分）又因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即恒成立，又由，所以，（12分）所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，過的平面交平面于，即平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，（2分）又平面平面，所以平面，四邊形為菱形，則，平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.又平面，所以平面.（4分）（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，因?yàn)?，所以為等邊三角?（5分）連接交于O，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（6分）因?yàn)樗睦忮F的體積為，即，又，所以，所以，（7分）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.（9分）設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，所以，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量（10分）設(shè)平面與平面PAC的夾角為，夾角范圍為大于等于小于等于，故平面與平面的夾角的余弦值為3.（12分）21．【詳解】（1）∵的圖象過原點(diǎn)，則，∴.∴.當(dāng)時(shí)，，（2分）又∵適合，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（4分）（2）由得：（），∴，①.②（6分）②－①得：，∴.（8分）（3），故.要使恒成立，即要恒成立，即要恒成立.下面分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論：（10分）①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最小值為1，∴.②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最大值為，∴.綜上，，又為非零整數(shù)，∴時(shí)，使得對任意，都有成立.（12分）22．【詳解】（1），可得，可得橢圓方程為，（2分）代入點(diǎn)的坐標(biāo)有，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4分）（2），點(diǎn)為，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程，消去后整理為，有，