逆等線最值模型(原卷版)-2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)解題大招復(fù)習(xí)講義-幾何模型篇

兩線段和的最值問題，大家首先想到的都是“將軍飲馬”問題，即要求的兩條線段有公共

端點(diǎn)，或者平移后有公共端點(diǎn).

除了將軍飲馬問題外，還有一類兩線段和的最值問題，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，兩條動(dòng)線段

始終保持著相等，我們可以在等線段處構(gòu)造全等，從而將要求的兩條線段拼接到一起，這就是今

天咱們要說的逆等線最值問題.

講逆等線模型之前我們先來一波回憶：

下圖大家應(yīng)該很熟：

aC

/\C

//\\/A\

。為動(dòng)點(diǎn)！特殊化證明：DE+DF的和為定值”

一般化證明：DE+DF的和為定值

只要保證。O/7與腰的夾角相等，總會(huì)有:DE+DF的和為定值的結(jié)論!

證明思路：

作4G/ED,HD4BC易得紅藍(lán)全等,黃色平四

.'.DE+DF=AH+HG=AG（定長(zhǎng)）

另證易得：XDEAsXDFB;40+瓦？為定值，OE+。/7為定值

引申：。在線段48外時(shí)差為定值（證明同理）

然后將這個(gè)角一路的改變也相當(dāng)于做腰的平行線！

此圖即產(chǎn)生了逆等線，所謂逆等線，逆向也相等!

考點(diǎn)一：等腰三角形中的逆等線模型

【例1】.如圖,在等腰△/8C中，Z8=/C=5,BC=6,點(diǎn)、D、E分別是月8、/C上兩動(dòng)點(diǎn),

且ZO=CE,連接C。、BE,CD+8E最小值為.

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，在△NBC中，AB=AC^8,BC=&M，。為8c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F

分別是線段/C、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且4F=CE,則8E+CF的最小值是.

【變式1-2].如圖，已知直線N8：了=逗_*+\^分別交x軸、V軸于點(diǎn)8、/兩點(diǎn)，C

3

(3,0),D、E分別為線段49和線段NC上一動(dòng)點(diǎn)，8E交夕軸于點(diǎn)“，且/￡>=".當(dāng)

&X8E的值最小時(shí)，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(0,4)B.(0,5)C.(0,D.(0,V55)

考點(diǎn)二:等邊三角形中的逆等線模型

【例2】.如圖，為等邊△Z8C的高，E、尸分別為線段4。、/C上的動(dòng)點(diǎn)，且ZE=CF,

當(dāng)瓦7+CE取得最小值時(shí)，NAFB=°.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，4〃是正三角形/8C中8C邊上的高，在點(diǎn)力,C處各有一只電子烏龜

尸和。同時(shí)起步以相同的速度分別沿。向前勻速爬動(dòng).確定當(dāng)兩只電子烏龜?shù)?

點(diǎn)距離之和P8+QB最小時(shí)，NP80的度數(shù)為.

【變式2-2].在等邊△N8C中，AB=4,點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)尸在NZC8的角平分線CD

上，CE=CF,則/E+/尸的最小值為

A

B

EC

考點(diǎn)三：直角三角形中逆等線模型

【例3].如圖，在Rt/VIBC中，/ZC8=90°,AB=6,BC=4,D,E分別是NC,AB±.

的動(dòng)點(diǎn)，且4Z)=BE,連結(jié)8。，CE,則8O+CE的最小值為.

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，RtZ\N8C中，NACB=90°,/8=30°,D,E為邊上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且連接CD,CE,若4C=2,則CD+CE的最小值為.

【變式3-2].如圖，在等腰直角三角形Z8C中，/2NC=90°,點(diǎn)M,N分別為3C,AC

上的動(dòng)點(diǎn)，且4V=CM,AB=-/2-當(dāng)4W+8N的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為.

考點(diǎn)四：一般三角形中的逆等線模型

【例4】.在△48C中，ZABC=60°,8c=8,AC=10,點(diǎn)。、E在48、4c邊上，且/￡(

=CE,則CD+BE的最小值

DB

A變式訓(xùn)練

【問題背景】（1）如圖（1）,E為△Z8C的邊工8上的一點(diǎn)，AE=BC,過點(diǎn)N作/O〃8C,

且連接。E,求證：△/￡>￡1絲△84C；

【變式遷移】（2）如圖（2）,在△48C中，AC=BC,8。平分/N8C,點(diǎn)E在上，且

AE=CD,若點(diǎn)C分別到80的距離之比為機(jī)，求證：更也泡；

BC

【拓展創(chuàng)新】⑶如圖（3）,在△N2C中，N4BC=45°,BC=3&，NC=6,D,￡分別

是/C,48上的點(diǎn)，且/E=C￡>,直接寫出CE+8。的最小值.

圖1

考點(diǎn)五：正方形中的逆等線模型

【例5].如圖，正方形Z88的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E、尸分別在48、BC上,S.AE=BF,CE

與DF交于點(diǎn)P,連接8尸，求8P的最小值.

A變式訓(xùn)練

[5-1]已知正方形N8CD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,尸分別是邊BC,CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

BE=CF,連接4E；4F,則4E+4F的最小值為.

BEC

考點(diǎn)六：矩形中的逆等線模型

【例6】.如圖，矩形中，AB=2,4D=3,點(diǎn)、E、尸分別為邊48、C。上的動(dòng)點(diǎn)，且

AE=CF,則8尸+CE的最小值為

A變式訓(xùn)練

【67].如圖，矩形力8CD中，AB=3,40=4,點(diǎn)E、尸分別是邊8c和對(duì)角線8。上的動(dòng)

點(diǎn)，且BE=DF,則4E+4尸的最小值是.

[6-2].如圖，在矩形中，AD=4,AB=4-/3,E,尸分別是8。，8c上的一動(dòng)點(diǎn),

且BF=2DE,則AF+2AE的最小值是

考點(diǎn)七：菱形中的逆等線模型

【例7】.如圖，菱形4BCD中,N45c=60°,AB=2,E、尸分別是邊8c和對(duì)角線8。

上的動(dòng)點(diǎn)，BE=DF,則NE+N尸的最小值為.

BE

A變式訓(xùn)練

【7-1】.如圖，在菱形/8CO中，N8/O=120°,CO=4,M,N分別是邊4B,力。的動(dòng)點(diǎn),

滿足4"=￡>N,連接CM、CN,E是邊CM上的動(dòng)點(diǎn)，尸是CM上靠近C的四等分點(diǎn),

連接ZE、BE、NF,當(dāng)△CFN面積最小時(shí)，工8E+NE的最小值為.

[7-2],如圖，在菱形488中，ZBAD=\20°,AB=6,連接BD

(1)求8。的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)E為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,。重合)，點(diǎn)尸在邊力。上，且。尸.

①當(dāng)CEU8時(shí)，求四邊形的面積；

②當(dāng)四邊形/8E廠的面積取得最小值時(shí)，CE+Fb的值是否也最?。咳绻?，求

CE+MCE的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

------------------C

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在邊長(zhǎng)為蓊的等邊△N8C中，動(dòng)點(diǎn)。，￡分別在8C,ZC邊上，且保持/E=

CD,連接BE,AD,相交于點(diǎn)P,則CP的最小值為.

E

2.如圖，在RtZ\Z8C中，ZACB=90°,AC=BC=4,動(dòng)點(diǎn)。，E分別在CB邊上，且

BE=?AD.連接CD,NE相交于點(diǎn)P,連接8P,則,8尸的最小值

為.

3.如圖，為等腰△/BC的高，AB=AC=5,BC=3,E、尸分別為線段/￡）、/C上的動(dòng)點(diǎn),

且ZE=CF,貝1J3F+CE的最小值為.

4.如圖，48。是。。內(nèi)接矩形，半徑r=2,N8=2,E,尸分別是ZC,C。上的動(dòng)點(diǎn)，且

ZE=C凡則8E+8E的最小值是（）

A.V7B.277C.3百D.4a

5.如圖，菱形N8CD中，N4BC=60°,48=3,E、F分別是邊8c和對(duì)角線8。上的動(dòng)點(diǎn),

且BE=DF,則AE+AF的最小值為

6.如圖（1）,在△48C中，AB=AC,NBAC=9Q°,邊48上的點(diǎn)。從頂點(diǎn)工出發(fā)，向

頂點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊8C上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)8出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，D,E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速

度的大小相等，設(shè)x=/￡）,y^AE+CD,y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖（2）,圖象過點(diǎn)（0,2）,

則圖象最低點(diǎn)的