【2023小升初】乘法原理（思維提高）-小升初數(shù)學(xué)思維拓展卷（通用版）

乘法原理

解答題（共30小題）

1.用2、3、4、5、7這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？其中偶數(shù)有多少

個(gè)？

2.如圖，從左到右，在每列各選出一個(gè)框，組成算式（如：5×2+3）,則有種不同

的結(jié)果.

E__,亙

____×2____,I

I7I=HU

____+6_____

8-9

3.用1,1,2,3,4排在連續(xù)的四個(gè)格子里，能形成多少個(gè)不同的四位數(shù).

4.6個(gè)人排成一排，甲當(dāng)排頭，乙不當(dāng)排尾，共有多少種排法？

5.在右面每個(gè)方格中各放1枚圍棋子（黑子或白子），有種放法.

6.兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的“夾角”.現(xiàn)平面上有若干條直線，它們

兩兩相交，并且“夾角”只能是30°,60°或90°.問：至多有多少條直線？

7.小明有2件不同的上衣和2條不同的褲子，他能搭配出幾套不同的服裝？

8.題庫中有三種類型的題目，數(shù)量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的

題目中各取一道組成一張小試卷，問該題庫共可組成這樣的小試卷多少張？

9.用3、4、5、6四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？

10.書架上有5本不同的科技書，3本不同的故事書，如果從中各取一本書，那么有多少種

不同的取法？

11.小林家到美術(shù)館有4條路可以走，從美術(shù)館到科學(xué)館有2條路可以走，那么從小林家到

美術(shù)館再到科學(xué)館，共有幾種走法？

12.從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，在于第二天從丙地乘汽車到乙地，一天中，

火車有3班，汽車有2班，那么兩天中從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

13.從南京到上海的某次快車中途要停靠六個(gè)大站.鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同的

車票？

14.從A地到8地有3條路，從2地到C地有2條路，從C地到。地有2條路，那么從A

到。有多少種不同的走法？

15.小悅做混合冰淇淋，準(zhǔn)備了牛奶、藍(lán)莓、香草、巧克力、草莓五種口味的冰淇淋，要倒

入如下圖的一串模子里，小悅想要讓相鄰的冰淇淋口味不一樣，請問她能制作出多少種

不同的混合冰淇淋串？

16.從海洋館到動(dòng)物園，有多少種不同的走法？寫出可能的走法.

17.淘氣為去公園玩準(zhǔn)備的飲料有牛奶、橙汁，零食有薯片、餅干、火腿腸，但淘氣媽媽規(guī)

定，他只能帶一種飲料和一種零食，淘氣有幾種選擇方案呢？

18.小麗、小芳、小強(qiáng)和小華四人玩搶椅子的游戲，椅子只有2把，搶到椅子的可能是哪兩

20.小明從家到學(xué)校有2條路可走，從學(xué)校到少年宮有3條路可走，如果小明從家出發(fā)經(jīng)過

學(xué)校到少年宮，有幾種不同的走法？

21.林輝在自助餐店就餐,他準(zhǔn)備挑選三種肉類中的一種肉類,四種蔬菜中的二種不同蔬菜，

以及四種點(diǎn)心中的一種點(diǎn)心.若不考慮食物的挑選次序，則他可以有多少不同選擇方法？

22.在一個(gè)圓周上有十個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)或頂點(diǎn)，可以畫出多少條或多少個(gè)不同的（1）

線段，（2）三角形，（3）四邊形？

23.用1、2、…、9這9個(gè)數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，一共可以排多少個(gè)？這些數(shù)的

最大公約數(shù)是多少？

盒??

(1)買一套上面的衣服，有種買法.

(2)每種買法各需要多少錢？(列舉三種即可)

25.如圖：給你紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂有字母標(biāo)出的各區(qū)塊，兩眼睛(E、F)必須涂

同一顏色，若要能區(qū)分出各區(qū)塊，共有多少種涂法？

26.學(xué)校進(jìn)行跳繩比賽，從3名女生中選出2名，從2名男生中選出1名參加比賽，有幾種

選法？為什么？

27.3名同學(xué)站在排合影，有多少種站法？

28.從10種主食和20種菜肴中選取1種主食和3種菜肴作為午餐，共有多少種搭配方法？

29.小紅有3種不同顏色的上衣，4種不同顏色的裙子，問她共有多少種不同的穿法？

30.一家餐館，提供6種主食、20種菜肴、5種飲品.

(1)若主食、菜肴、飲品各一種可以組成一份套餐，共能組成多少種不同的套餐？

(2)若要在三類食物中任選2種不同類別的食物，共有多少種不同的選法？

乘法原理

參考答案與試題解析

一.解答題（共30小題）

1.用2、3、4、5、7這5個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？其中偶數(shù)有多少

個(gè)？

【分析】先排千位上數(shù)字，有5種不同的方法，百位上還有4種不同的方法，十位上有3

種不同的方法，個(gè)位上有2種不同的方法，根據(jù)乘法原理，把每一步方法相乘，即可求

出可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；

如果排成偶數(shù)，先排個(gè)位，可以是2或4,有2種方法，十位上還有4種不同的方法，百

位上有3種不同的方法，千位上還有2種不同的方法，再根據(jù)乘法原理求解即可.

【解答】解：5X4X3X2=120（個(gè)）

2×4×3×2=48（個(gè)）

答：可以組成120個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)有48個(gè).

【點(diǎn)評】做一件事，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做第一步有如種不同的方法，做第二

步有“22不同的方法，…，做第〃步有不同的方法.那么完成這件事共有N=Imm2…

〃S種不同的方法.

2.如圖，從左到右，在每列各選出一個(gè)框，組成算式（如：5X2+3）,則有13種不同

的結(jié)果.

-T-∣[?

------X2------1

7曰=朝

____+6____

8I-9

【分析】由于第一列共有三個(gè)數(shù)5,7,8,則每一個(gè)數(shù)X2再與右邊三個(gè)數(shù)可組成三個(gè)不

同的算式，則根據(jù)乘法原理可知，共可組成3X3=9個(gè)同的算式，同理左邊三個(gè)數(shù)分加

+6后也可與或邊三個(gè)數(shù)組成不同的9個(gè)算式，則根據(jù)加法原理，共可組成9+9=18個(gè)不

同的算式，即有18個(gè)結(jié)果.

由于7X2+5=8X2+3=8+6+5=19,7X2+3=8+6+3=17,7X2-9=8+6-9=5,5+6+5

=7+6+3=16,由此減去五個(gè)有重復(fù)結(jié)果的算式后，共有18-5=13個(gè)不同結(jié)果.

【解答】解：3×3+3×3

=9+9,

—18（種）.

由于7X2+5=8X2+3=8+6+5=19,7X2+3=8+6+3=17,7X2-9=8+6-9=5,5+6+5

=7+6+3=16,

由此減去五個(gè)有重復(fù)結(jié)果的算式后，共有18-5=13個(gè)不同結(jié)果.

故答案為：13.

【點(diǎn)評】完成本題要注意是求有多少種“不同”結(jié)果，因此，要將重復(fù)的結(jié)果減去.

3.用1,1,2,3,4排在連續(xù)的四個(gè)格子里，能形成多少個(gè)不同的四位數(shù).

【分析】只有1個(gè)1時(shí)，有4×3×2×1=24個(gè)；有兩個(gè)1時(shí)，先從2、3、4中選兩個(gè),

有3種選法，再把這兩個(gè)數(shù)字放入四個(gè)格子中，有4X3=12種排法，這時(shí)把兩個(gè)I放入

只有1種排法，所以共有3X12=36種排法；據(jù)此解答.

【解答】解：4×3×2×l+3×4×3

=24+36

=60（個(gè)）

答：能形成60個(gè)不同的四位數(shù).

【點(diǎn)評】本題考查了排列組合中的兩個(gè)方法：科學(xué)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理.

4.6個(gè)人排成一排，甲當(dāng)排頭，乙不當(dāng)排尾，共有多少種排法？

【分析】甲在排頭（最左邊），還有五個(gè)位置，再從排尾（最右邊）看起，由于乙不在排

尾，那么排尾有4種不同的選擇，從右數(shù)第二位還有4種不同的選擇，右數(shù)第三位有3

種不同的選擇，右數(shù)第四位有2種不同的選擇，右數(shù)第五位有1種不同的選擇；根據(jù)乘

法原理它們的積就是全部的選擇方法.

【解答】解：4×4×3×2×1×1

=16X3X2X1X1

=96（種）

答：共有96種排法.

【點(diǎn)評】先找出特殊的情況，確定他們的位置，然后找出各個(gè)位置上排法，再根據(jù)乘法

原理求解.

5.在右面每個(gè)方格中各放1枚圍棋子（黑子或白子），有16種放法.

【分析】由于每個(gè)方格中有2種填法，依此根據(jù)乘法原理進(jìn)行解答.

【解答】解：每個(gè)方格中有2種填法，故2X2X2X2=16（種）.

故答案為：16.

【點(diǎn)評】考查了乘法原理：一般地，如果完成一件事需要〃個(gè)步驟，其中，做第一步有

，加種不同的方法，做第二步有《72種不同的方法，…，做第〃步有用"種不同的方法，則

完成這件事一共有N^m?×nn×-×mn種不同的方法.得到每個(gè)方格中的填法種數(shù)是解

題的關(guān)鍵.

6.兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的“夾角”.現(xiàn)平面上有若干條直線，它們

兩兩相交，并且“夾角”只能是30°,60°或90°.問：至多有多少條直線？

【分析】根據(jù)題意，“夾角”只能是30°,60°或90°,都是30°的倍數(shù)，根據(jù)這個(gè)倍

數(shù)，通過旋轉(zhuǎn)的方法，進(jìn)一步解答即可.

【解答】解：因?yàn)閵A角只能是30°、60?；蛘?0°,其均為30°的倍數(shù)，所以每畫一條

直線后，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°畫下一條直線，這樣就能夠保證兩兩直線夾角為30°的倍數(shù),

即為30°、60°或者90°（因?yàn)槿绻看涡D(zhuǎn)度數(shù)其他角度，例如15°,則必然會(huì)出現(xiàn)

兩條直線的夾角為15°或15°的其它倍數(shù)，如45°這與題目不符）；

因?yàn)樵撈矫嫔系闹本€兩兩相交，也就是說不會(huì)出現(xiàn)平行的情況，在畫出6條直線時(shí)，直

線旋轉(zhuǎn)過5次,5X30°=150°,如果再畫出第7條直線，則旋轉(zhuǎn)6次,6X30°=180°,

這樣第七條直線就與第一條直線平行了.

所以最多能畫出六條.

答：至多有6條直線.

【點(diǎn)評】根據(jù)題意，由題目給出的條件，通過旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)一步解答即可.

7.小明有2件不同的上衣和2條不同的褲子，他能搭配出幾套不同的服裝？

【分析】有2件不同的上衣和2條不同的褲子，如果固定每件上衣和不同的褲子進(jìn)行搭

配，則一件上衣可與2條不同的褲子，共有2種不同的搭配方法，共有2件不同的上衣

條，根所乘法原理，一共有2X2=6種不同的搭配方案.

【解答】解：2X2=4（種）

答：他能搭配出4套不同的服裝.

【點(diǎn)評】乘法原理為：做一件事，完成它需要分成"個(gè)步驟，做第一步有⑸種不同的

方法，做第二步有加2不同的方法，…，做第〃步有不同的方法.那么完成這件事共

有"=加1，〃2，"33"譏種不同的方法.

8.題庫中有三種類型的題目，數(shù)量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的

題目中各取一道組成一張小試卷，問該題庫共可組成這樣的小試卷多少張？

【分析】根據(jù)乘法原理，從該題庫每一類試卷中分三步各選一道題，一共有30X40X45

=54000種組合，所以一共可以組成54000張不同試卷.

【解答】解：30×40×45=54000（張）.

答：該題庫共可組成這樣的小試卷54000張.

【點(diǎn)評】考查了乘法原理：一般地，如果完成一件事需要〃個(gè)步驟，其中，做第一步有

〃”種不同的方法，做第二步有，"2種不同的方法，…，做第〃步有加,種不同的方法，則

完成這件事一共有X〃?2X…義，而種不同的方法.

9.用3、4、5、6四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？

【分析】3、4、5、6這四個(gè)數(shù)字沒有0,都可以放在任何位置，組成不同的四位數(shù)，即

把這四個(gè)數(shù)字填入4個(gè)數(shù)位中，分4步完成，每一個(gè)數(shù)位都有4種填法，應(yīng)用乘法原理，

即可得解.

【解答】解：4×4×4×4=256（種）

答：用3、4、5、6這四個(gè)數(shù)字，可以組成256個(gè)不同的四位數(shù).

【點(diǎn)評】本題考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成"個(gè)步驟，做第一步有的

種不同的方法，做第二步有股2種不同的方法，…，做第〃步有何"種不同的方法，那么

完成這件事就有MIXM2X…X種不同的方法.

10.書架上有5本不同的科技書，3本不同的故事書，如果從中各取一本書，那么有多少種

不同的取法？

【分析】從3本不同的故事書中選一本有3種選法、從5本不同的科技書中選一本有5

種選法，共有3X5=15種不同的取法.

【解答】解：3X5=15（種），

答：共有15種不同的取法.

【點(diǎn)評】本題需要用乘法原理去考慮問題即做一件事情，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做

第一步有Ml種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第"步有用"種不同

的方法，那么完成這件事就有MiXM2X…XM"種不同的方法.

11.小林家到美術(shù)館有4條路可以走，從美術(shù)館到科學(xué)館有2條路可以走，那么從小林家到

美術(shù)館再到科學(xué)館，共有幾種走法？

【分析】根據(jù)“小林家到美術(shù)館有4條路可以走，從美術(shù)館到科學(xué)館有2條路可以走，”

可得：從小林家到美術(shù)館中選一條路有4種選法：從美術(shù)館到科學(xué)館中選一條路有2種

選法；根據(jù)乘法原理，可得共有：4×2=8（種）；據(jù)此解答.

【解答】解：4X2=8（種）；

答：共有8種不同的走法.

【點(diǎn)評】本題考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成”個(gè)步驟，做第一步有m?

種不同的方法，做第二步有m不同的方法…，做第〃步有如不同的方法.那么完成這

件事共有N=%I,*2…種不同的方法.

12.從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，在于第二天從丙地乘汽車到乙地，一天中,

火車有3班，汽車有2班，那么兩天中從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

【分析】從甲地先到丙地乘火車有3班，那么有3種選擇；再從丙地到乙地乘汽車有2

班，那么有2種選擇；所以從甲地到乙地，一共有3X2=6種不同的走法.

【解答】解：根據(jù)乘法原理可得：

3X2=6（種），

答：從甲地到乙地共有6種不同的走法.

【點(diǎn)評】根據(jù)乘法原理，解答此題需要分步計(jì)數(shù)，第一步從甲地到丙地有3種選擇，第

二步從丙地到乙地有2種選擇，然后把兩步的選法相乘就是一共的不同的走法.

13.從南京到上海的某次快車中途要停靠六個(gè)大站.鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同的

車票？

【分析】中途要?？?個(gè)大站，加上起點(diǎn)站和終點(diǎn)站一共有8個(gè)站，由一個(gè)車站到其它7

個(gè)車站就需要7張不同的車票，由此可以求出車票的種數(shù)，由于從南京到上海是單程，

再除以2即可求解.

【解答】解:6+2=8（個(gè)）

8×（8-1）÷2

=8X7÷2

=28（種）

答：鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備28種不同的車票.

【點(diǎn)評】本題中由A站到8站和由B站到4站是不同的車票，但是相同的票價(jià)；注意這

兩者的區(qū)別.

14.從A地到8地有3條路，從B地到C地有2條路，從C地到。地有2條路，那么從A

到。有多少種不同的走法？

【分析】從A地到8地有3條路，那么就有3種選擇的方法；從B地到C地有2條路,

就有2種不同的選擇方法；從C地到。地有2條路，也有2種不同的選擇方法，把這些

選擇的方法相乘即可求出有多少種不同的走法.

【解答】解：3×2×2

=6X2

=12（種）

答：從4到力有12種不同的走法.

【點(diǎn)評】本題需要用乘法原理去考慮問題即做一件事情，完成它需要分成“個(gè)步驟，做

第一步有Ml種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第〃步有種不同

的方法，那么完成這件事就有MIXM2義…XM”種不同的方法.

15.小悅做混合冰淇淋，準(zhǔn)備了牛奶、藍(lán)莓、香草、巧克力、草莓五種口味的冰淇淋，要倒

入如下圖的一串模子里，小悅想要讓相鄰的冰淇淋口味不一樣，請問她能制作出多少種

不同的混合冰淇淋串？

【分析】從左向右排列，第一個(gè)模子里有5種選擇；第二個(gè)模子里有4種選擇；第三個(gè)

模子里有3種選擇；第四個(gè)模子里有2種選擇；根據(jù)乘法原理可得共有：5X4X3X2=

120種選擇.

【解答】解：根據(jù)分析可得，

5×4×3×2=120（種）

答：她能制作出120種不同的混合冰淇淋串.

【點(diǎn)評】本題需要用乘法原理去考慮問題，即做一件事情，完成它需要分成“個(gè)步驟，

做第一步有種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第八步有Λ‰種不

同的方法，那么完成這件事就有MlXM2X…XM"種不同的方法.

16.從海洋館到動(dòng)物園，有多少種不同的走法？寫出可能的走法.

【分析】（1）分兩步：第一段有2條路可以走；第二段有3條路可以走；根據(jù)乘法原理，

一共有：2義3=6（種）.

（2）經(jīng)過4有有3條路可以走，同理經(jīng)過B有3條路可以走，據(jù)此列舉即可.

【解答】解：（1）2X3=6（種）

（2）Af①，Af②，Af③；

Bf①,8-②，Bf③；

答：從海洋館到動(dòng)物園，有6種不同的走法，可能的走法有：Af①，A-②，A-③，B

一①，Bf②,Bf③.

【點(diǎn)評】本題利用乘法原理去考慮問題：即做一件事情，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做

第一步有Ml種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第〃步有種不同

的方法，那么完成這件事就有MlXM2X…XM”種不同的方法.注意列舉時(shí)要按順序?qū)?/p>

出，防止遺漏.

17.淘氣為去公園玩準(zhǔn)備的飲料有牛奶、橙汁，零食有薯片、餅干、火腿腸，但淘氣媽媽規(guī)

定，他只能帶一種飲料和一種零食，淘氣有幾種選擇方案呢？

【分析】從2種飲料中選1種飲料有2種選法，從3種零食中選一種有3種選法，根據(jù)

乘法原理，一共有：2X3=6（種），據(jù)此解答.

【解答】解：根據(jù)分析可得：

2X3=6（種）

答：共有6種不同的搭配方法.

【點(diǎn)評】本題考查了乘法原理的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是要理解：飲料和零食中各有幾種選法.

18.小麗、小芳、小強(qiáng)和小華四人玩搶椅子的游戲，椅子只有2把，搶到椅子的可能是哪兩

位小朋友？一共有幾種可能性？

小川j小強(qiáng)小芬小華

【分析】因?yàn)橐巫又挥?把，將所有的2個(gè)人的不同的組合方法列舉出來即可.

【解答】解：搶到椅子的可能是：

小麗、小強(qiáng)；小麗、小芳；小麗、小華；

小強(qiáng)、小芳；小強(qiáng)、小華；小芳、小華；

一共有6種可能.

答：小麗、小強(qiáng)；小麗、小芳；小麗、小華；小強(qiáng)、小芳；小強(qiáng)、小華；小芳、小華;

一共有6種可能.

【點(diǎn)評】解決本題可以利用列舉法，要有順序地寫，做到不重不漏.

19.從學(xué)校到動(dòng)物園有幾種不同的走法？

1I）rΛ）

【分析】分兩步：先看從學(xué)校到車站有2條路可以走；再看從車站到動(dòng)物園有3條路可

以走；根據(jù)乘法原理，一共有：2X3=6（種）.據(jù)此解答即可.

【解答】解:3×2=6（種）

答：學(xué)校到動(dòng)物園有6種不同的走法.

【點(diǎn)評】本題利用乘法原理去考慮問題：即做一件事情，完成它需要分成"個(gè)步驟，做

第一步有種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第”步有種不同

的方法，那么完成這件事就有MlXM2X…XM”種不同的方法.

20.小明從家到學(xué)校有2條路可走，從學(xué)校到少年宮有3條路可走，如果小明從家出發(fā)經(jīng)過

學(xué)校到少年宮，有幾種不同的走法？

【分析】從家到學(xué)校有2條路線可選；從學(xué)校到少年宮有3條路可選；根據(jù)乘法原理，

可得共有：2X3=6(種)；據(jù)此解答.

【解答】解：根據(jù)分析可得：

2X3=6(種)

答：有6種不同的走法.

【點(diǎn)評】本題考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做第一步有

種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第〃步有種不同的方法，那么

完成這件事就有MlXM2X…X種不同的方法.

21.林輝在自助餐店就餐,他準(zhǔn)備挑選三種肉類中的一種肉類,四種蔬菜中的二種不同蔬菜，

以及四種點(diǎn)心中的一種點(diǎn)心.若不考慮食物的挑選次序，則他可以有多少不同選擇方法？

【分析】三種肉選一個(gè)有3種選法，四種蔬菜選兩種有4X3÷2=6種選法，四種心選一

個(gè)有4種選法，根據(jù)乘法原理，他可以有3X6X4=72種不同選擇方法.

【解答】解：3×(4×3÷2)×4

=3×6×4,

=72(種).

答：他可以有72種不同選擇方法.

【點(diǎn)評】乘法原理：做一件事，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做第一步有如種不同的方

法，做第二步有，"2不同的方法，…，做第"步有，"〃不同的方法.那么完成這件事共有

N=Wnn≈2…∕‰種不同的方法.

22.在一個(gè)圓周上有十個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)或頂點(diǎn)，可以畫出多少條或多少個(gè)不同的(1)

線段，(2)三角形，(3)四邊形？

【分析】(1)任取2個(gè)點(diǎn)都能畫一條線段，故線段為10X9÷2=45條；

(2)任取三個(gè)點(diǎn)能組成一個(gè)三角形，故個(gè)數(shù)為10X9X8÷(2X3)=120個(gè)：

(3)任取四個(gè)點(diǎn)能組成一個(gè)四邊形，故個(gè)數(shù)為10X9X8X7÷(2×3×4)=210個(gè).

【解答】解：(1)10X9÷2=45條；

(2)10×9×8÷(2X3)=120個(gè)；

(3)10×9×8×7÷(2×3×4)=210個(gè).

答：可以畫出45條線段，可以畫出120個(gè)不同的三角形，可以畫出210個(gè)不同的四邊形.

【點(diǎn)評】考查了乘法原理：一般地，如果完成一件事需要〃個(gè)步驟，其中，做第一步有

如種不同的方法，做第二步有，“2種不同的方法，…，做第〃步有利"種不同的方法，則

完成這件事一共有N=mιX∕"2X…義，〃”種不同的方法.從頂點(diǎn)處著手是解決本題的關(guān)鍵.

23.用1、2、…、9這9個(gè)數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，一共可以排多少個(gè)？這些數(shù)的

最大公約數(shù)是多少？

【分析】（I）億位上有9種方法，千萬位上有8種方法，百萬位上有7種方法，十萬位

上有6種豐方法，萬位上有5種方法，千位上是4種選法，百位上有3種選法，十位上

有2種選法，個(gè)位上有1種選法，根據(jù)乘法原理即可解答.

（2）根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，即各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被

9整除，用1?9這九個(gè)數(shù)碼組成的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和

能被9整除，進(jìn)一步得出答案.

【解答】解：（1）9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880（種）.

答：一共可以排362880個(gè).

（2）組成的所有九位數(shù)，每一個(gè)數(shù)上的數(shù)字相加的和都是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

45是9的倍數(shù)，能被9整除，根據(jù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9

整除，所以這九個(gè)數(shù)字組成的所有九位數(shù)都能被9整除；

987654321-987654312=9,所以最大公約數(shù)不可能超過9；綜上所述，組成的所有九位

數(shù)的最大公約數(shù)是9.

答：這些數(shù)的最大公約數(shù)是9.

故答案為：362880；9.

【點(diǎn)評】（1）本題要根據(jù)乘法原理去考慮，即做一件事情，完成它需要分成〃個(gè)步驟，

做第一步有MI種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第〃步有M"種不

同的方法，那么完成這件事就有MlXM2X…XM"種不同的方法.

（2）解決此題關(guān)鍵是掌握能被9整除的數(shù)的特征，即各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，

這個(gè)數(shù)就能被9整除.

50兀63元45元

24.亓427Γ34元

（1）買一套上面的衣服，有9種買法.

（2）每種買法各需要多少錢？（列舉三種即可）

【分析】（1）圖中有3件上衣和3條褲子，運(yùn)用乘法原理，每個(gè)上衣都可以分別配一條

褲子，配一套衣服，用上衣的件數(shù)乘褲子的條數(shù)即可；

（2）任意找出一種上衣和一件褲子搭配，把上衣的單價(jià)和褲子的單價(jià)相加即可求解.

【解答】解：⑴3X3=9（種）

答：買一套上面的衣服，有9種買法.

（2）①50元的上衣和28元的褲子

50+28=78（元）；

②63元的上衣和42元的褲子

63+42=105（元）

③45的上衣和34元的褲子

45+34=79（元）

答：50元的上衣和28元的褲子搭配，需要78元；63元的上衣和42元的褲子搭配，需

要105元：45元的上衣和34元的褲子搭配，需要79元.

故答案為：9.

【點(diǎn)評】（1）考查了乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做第一步有

MI種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第“步有種不同的方法，那

么完成這件事就有MlXM2X…XM”種不同的方法.

（2）根據(jù)加法的意義進(jìn)行求解，注意答案不唯一，只要符合要求即可.

25.如圖：給你紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂有字母標(biāo)出的各區(qū)塊，兩眼睛（E、F）必須涂

同一顏色，若要能區(qū)分出各區(qū)塊，共有多少種涂法？

【分析】由圖及題意可知：因A、B、E、尸區(qū)塊都在。區(qū)塊內(nèi)，且C區(qū)塊與。區(qū)塊交界，

故不能與。區(qū)塊同色，則可知。區(qū)塊有四種顏色可涂，而A、B、C三區(qū)塊只能選擇涂

完。區(qū)塊后的三種顏色，作為E、尸兩個(gè)區(qū)塊因必須同色，故可視為一個(gè)區(qū)塊來對待，

也有三種涂法.所以，根據(jù)乘法原理：做一件事，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做第一步

有，種不同的方法，做第二步有〃?2不同的方法，…，做第〃步有不同的方法.那

么完成這件事共有N=mlm2m3-mn種不同的方法.該圖涂法共有4X3X3X3X3=324

種.

【解答】解：將上圖化為下圖，根據(jù)乘法原理：4×3×3×3×3=324（種），

-0-

CA8Γ?F

答：共有324種涂法.

【點(diǎn)評】此題關(guān)鍵點(diǎn)有二：一是須知力區(qū)塊與其它區(qū)塊不能同色；二是須知E、尸區(qū)塊

因須同色可視為一個(gè)區(qū)塊對待.

26.學(xué)校進(jìn)行跳繩比賽，從3名女生中選出2名，從2名男生中選出1名參加比賽，有幾種

選法？為什么？

【分析】第一步從3名女生中選擇2名，有3種不同的選擇方法，第二步從2名男生中

選出1名參加比賽，有2種不同的方法，根據(jù)乘法原理，它們的積就是全部的選擇方法.

【解答】解：女生有3種不同的選擇方法，男生有2種不同的選擇方法，

3X2=6（種）

答：有6種選法.

【點(diǎn)評】本題根據(jù)分步計(jì)數(shù)的原理，找出每步的選擇方法，再相乘即可.

27.3名同學(xué)站在排合影，有多少種站法？

【分析】排在第一的有3種選法，排在第二的有2種選法，排在第三的有1種選法，根

據(jù)乘法原理，可得共有：3×2×1=6（種），據(jù)此解答即可.