2023年全國乙卷理數(shù)試題-普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（答案）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

一、選擇題

A.1-2iB.l+2iC.2—iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共機復(fù)數(shù)的定義確定其共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)即可.

則5=1+2i.

故選：B.

2.設(shè)集合U=H，集合同={立'V1},N={目-1<無<2卜則{z卜>2}=()

A.Cy(MUN)B.NU[VMC.D.MU{,VN

【答案】A

【解析】

【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為{*上>2}即可.

[詳解】由題意可得MUN={x|a;<2},則Cu(MUN)={x\x>2},選項A正確；

[,uM={引1},則NUluM={劍Q-l},選項B錯誤;

MCN=㈤-1V①V1},則C(/(MAN)={①也<-1或a>1},選項。錯誤;

Cf；N={x|x<-l或X>2},則MU{x|x<l或立>2},選項。錯誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為()

A.24B.26C.28D.30

【答案】。

【解析】

?1-

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其

表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體HBCD-ABGR中，48=60=2,44尸3,

點為所在棱上靠近點B，G，R，4的三等分點，OZ,M,N為所在棱的中點，

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABCD-去掉長方體ONIC「LMHB1之后所

得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形,

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)—2x(1x1)=30.

故選：D.

4.已知,3)=需二是偶函數(shù)，則a=()

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】。

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.

【詳解】因為/Q)=者■為偶函數(shù)，則/(x)-/(-x)==電:\]

e—1e-1e-1e-1

=0,

又因為c不恒為0,可得e”一e"T"=0,即e”=e(a-1),r,

則x=(a—l)cc,即1=Q—1,解得a=2.

故選：D.

5.設(shè)。為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域｛(x,y)|l<x2+y2<4｝內(nèi)隨機取一點，記該點為4,則直線

CM的傾斜角不大于科概率為()

?2?

【答案】。

【解析】

［分析］根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運算求解.

【詳解】因為區(qū)域｛Q,y）|lW/+娟W4｝表示以0（0,0）圓心，外圓半徑尺=2,內(nèi)圓半徑r=l

的圓環(huán)，

則直線04的傾斜角不大于個的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角AMON

4

_7T

2x|i

結(jié)合對稱性可得所求概率P=~~~=v.

ZTC4

故選：C.

6.已知函數(shù)/㈤=sin（皿+欠）在區(qū)間信有）單調(diào)遞增，直線片,和片專為函數(shù)y=/（口的

圖像的兩條對稱軸，則『（—普）=（）

A.-華B.-C.［D.坐

2222

【答案】。

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入c=—普即可得到答案.

【詳解】因為/（⑼=sin（ft）c+0）在區(qū)間（爭等）單調(diào)遞增,

所以善=筌一專=￡■，且”>0，則7=兀,。=冬=2,

ND。/JL

當*=專時JQ）取得最小值，則2*+q=2k兀一年，kez,

UUN

則0=2k兀一婪，卜€(wěn)2,不妨取卜=0,則/（1）=sin（2i—芟），

6\67

則/（-得卜加（譚卜冬

?3?

故選：D.

7.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共

有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可

得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有以種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，

根據(jù)分步乘法公式則共有以?4=120種，

故選：C.

8.已知圓錐PO的底面半徑為《，O為底面圓心，P4P5為圓錐的母線，/408=120°,若"48

的面積等于孥，則該圓錐的體積為（）

4

A.兀B.a兀C.37rD.3〃兀

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體

積作答.

【詳解】在中，120°,而OA=OB=V3,取AC中點C,連接OC,PC,有OC

_L如圖，

乙4口。=30°,OC=暇,43=2BC=3,由△P4B的面積為曜之,得《x3xPC=&，,

2424

解得PC=竽，于是PO=y/PC2-OC'1=J(竽丫一(^7=瓜

所以圓錐的體積V=[■兀xOA2xPO=-^Kx(V3)2XV6=V6TC.

oo

?4?

故選：B

9.已知AABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，4ABD為等邊三角形，若二面角C—AB—D為150°,

則直線CD與平面所成角的正切值為（）

A.4"B.咯C.冬D.

5555

【答案】C

【解析】

［分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取AB的中點E,連接CE,DE,因為是等腰直角三角形，且43為斜邊，則有

CEA.AB,

又△48。是等邊三角形，則DE_LAB,從而NCED為二面角。一A8-O的平面角，即

NCED=150°,

顯然CECDE=E,CE,DEu平面CDE,于是平面CDE,又ABu平面ABC,

因此平面。DEJ_平面ABC,顯然平面CDEC平面

直線CDU平面CDE，則直線CD在平面46c內(nèi)的射影為直線CE,

從而NDCE為直線C。與平面ABC所成的角，令45=2,則CE=1,OE=四,在△CDE

中，由余弦定理得：

CD=y/CE^DE--2CE-DEcosACED=Jl+3-2xlxV3x(-乎)=V7,

DECDV^sinl500V3

由正弦定理得,即sin/DCE=

sin/DCEsinZCED~7T2。'

2

顯然NDCE是銳角，cosZDCE=V1-sinZDGE=J-（嘉人六

所以直線CD與平面所成的角的正切為

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列{%}的公差為爭，集合S={cos%,E解},若5={a,b},則ab=()

A.-1B.—C.0D.

?5?

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素

分析、推理作答.

【詳解】依題意，等差數(shù)列{a“}中，an=^4-（n-1）-=^-n+（如一專），

顯然函數(shù)夕=cos［弩?i+（以】一?！觯莸闹芷跒?,而72￡N",即cosan最多3個不同取值，又

{cosan|nGN"}={a,b},

如[在cos內(nèi),cos。2，cosa.3中,cos(Z]=COSQZWcosa3或cos?！縒cosa2=cosa3,

于是有cos。=cos（夕+?），即有夕+僅+與）=2k兀,kCZ,解得夕=k7^一半A：eZ,

.47r2

所以kGZ,ab=cos+T=-cos(far—^-)cosk兀=—cosfc7ccos^-

X

2

故選：B

2

11.設(shè)A,B為雙曲線/一卷=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

【答案】。

【解析】

［分析］根據(jù)點差法分析可得kwk=9,對于4、6、。:通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分

析判斷；對于。:結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)4?必）,3（以紡），則⑷3的中點M（色券，號^,

幼+92

可付卜的=-----，k=---=―:—,

x-x-+-X［+X

}222

2

2弛

X-

1-9,兩式相減得（求一強）-4匹=0,

姬-

因為4,3在雙曲線上，則2

X一

2-9

所以kAB'k—&~吟—9.

X\—X2

對于選項A:可得k=l,kAB=9,則AB:y=9x—8,

(y—Qx—8

聯(lián)立方程(2_/_]，消去?/得72/-2x72±+73=0,

[x-勺=1

此時△=(-2X72)2—4X72X73=-288VO,

?6?

所以直線43與雙曲線沒有交點，故4錯誤；

對于選項B：可得k=-2/48=--|^則>15：^=--|-X-y,

聯(lián)立方程《>/，消去,得45^+2x45/+61=0,

2

1X——9—1

此時△=（2x45）2-4x45X61=-4x45xl6<0,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

對于選項C:可得k=3,笈16=3,則AB:y=3x

由雙曲線方程可得a=l,b=3,則AB：y=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線與雙曲線沒有交點，故。錯誤；

對于選項D:k=4,kAB=-^~,則AB:y=^-x-^~,

444

聯(lián)立方程彳，），消去夕得6342+i26rr-193=0,

口一"=1

此時A=1262+4x63xl93>0,故直線A3與雙曲線有交兩個交點，故D正確;

故選：D.

12.己知。。的半徑為1,直線PA與。O相切于點4,直線PB與。O交于兩點，。為RC的中

點，若|PO|=2,則兩?赤的最大值為（）

A.1+^B.1+產(chǎn)C.1+V2D.2+V2

【答案】4

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PA?PO=^一

乎sin（2a—￡）,或?qū)?兩=1?+乎sin（2a+?）然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定

R4?赤的最大值.

【詳解】如圖所示，。*=1,|OP|=四，則由題意可知:乙4Po=45°,

由勾股定理可得PA=/。尸一。4=1

-7■

當點位于直線PO異側(cè)時,設(shè)4OPC=a,04&M手,

則：兩?無=|兩|?|PD|cos(ff+

'4'

=1xV^cosacos(a+亍)

=血cosa(^^cosa-咨ina

=cos%—sinacos以

1+cos2a1.

=12------5而2oa

0Ma4^,則一個42a一個〈個

4444

當20一與=一與時，兩?而有最大值L

44

當點4。位于直線PO同側(cè)時，設(shè)N°R=a，°&a&多

則：巨4?而=|兩H兩匕os(a-

=1xV5cosacos(a—

=\/§cosa(^-cosa+^^sina

=cosa+sinacosa

1+cos2a.1.

=-2一十5s】n2na

=￡+乎?(2。+年)

04a號,則產(chǎn)2"年"

???當2a+^=蔣時，兩?無有最大值”0.

422

綜上可得，兩?而的最大值為1+A/2

2

?8?

故選：A.

【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值

的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

二、填空題

13.已知點A（1,V5）在拋物線C：或=2p±上，則A到。的準線的距離為.

【答案

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為t

=一十，最后利用點的坐標和準線方程計算點A到。的準線的距離即可.

【詳解】由題意可得：（JK）2=2pxl,則2p=5,拋物線的方程為d=5處

準線方程為*=-4，點4到C的準線的距離為1一（一弓）=?.

故答案為：:■.

（x-3g4-1

14.若c,夕滿足約束條件（a?+2夕W9，則z=2立一夕的最大值為_____.

137+沙＞7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

［詳解】作出可行域如下圖所示:

2=2力一沙，移項得沙=22：—2,

{x—3y——lx—5

聯(lián)立有，解得

+2y=9y=2

設(shè)4（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過點4,此時截距-z最小,則z最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

15.已知｛%｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6，（u）aw=-8，則a7=

-9?

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對出a4a5=a3a6化簡得a〕q=1,聯(lián)立a9aH)=-8求出q：'=-2,最后

5：1

得a7=a、q-g=q=—2.

【詳解】設(shè){a,J的公比為q(qW0),則a2ala；>=a3a()=a>q?a^q,顯然a,H0,

22

則a產(chǎn)q,即aa'=q,則為《=1,因為a9ai()=-8,則a^-a}q'=-8,

15J

則Q—(力；'=一8—(—2)：',則q』一2,則a7—a{q?q—q'——2,

故答案為：-2.

16.設(shè)aC(0,1),若函數(shù)/3)=優(yōu)+(1+(1廠在(0,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

【答案】[汽二匕1)

【解析】

【分析】原問題等價于f(①)=a'lna4-(1+a)3：ln(l+a)>0恒成立，據(jù)此將所得的不等式進

行恒等變形，可得(工士生廠〉——膂丁，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)a的二次不等式，

\a>ln(l+a)

求解二次不等式后可確定實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得/'(⑼=優(yōu)lna+(l+a)“l(fā)n(l+a)>0在區(qū)間(0,+8)上恒成

立，

則(1+a)rln(l+a)>—a*lna,即(2土包)、——黑J在區(qū)間(。，+8)上恒成立，

'Q/ln(l+a)

故(旺色)。=1〉----坦J,而a+1e(1,2),故ln(l+a)>0,

'a，ln(l+a)

fln(a+1)>-lna(a(a+1)>1V5-1<n

故即彳八一一1，故-o-WaVl,

[0<a<l[0<a<12

結(jié)合題意可得實數(shù)a的取值范圍是[汽」,1).

故答案為：

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用

材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡

膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為◎，%(i=1,2,…10),試驗結(jié)果

如下

試驗序1

123456789

號i0

伸縮5555555555

率電4352744694

-10?

5312541868

5555555555

伸縮

3243632573

率%

6730032066

記.=四?一%（i=1,2,…,10），記為，z、2,…，為0的樣本平均數(shù)為為樣本方差為$2,

⑴求2,s2；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高

（如果2屈，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有

顯著提高,否則不認為有顯著提高）.

［答案］（1）2=11,s2—61;

（2）認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

高.

【解析】

【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計算出匾譏再得到所有的z,值，最后計算出方差即可；

（2）根據(jù)公式計算出2，^的值，和方比較大小即可.

【小問1詳解】

-545+533+551+522+575+544+541+568+596+548…文

x=---------------------------------------------------------------------------------=552.3,

-536+527+543+530+560+533+522+550+576+536工〃。

V=-------------------------------------------------------=541.3,

2=5-^=552.3-541.3=11,

z尸0一物的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故$2=

(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-

10

=61

【小問2詳解】

需==HI,故有2A2.

由(1)知：2=11,2

所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

高.

18.在ZVIBC中，已知NR4c=120°,43=2,4C=1.

(l)^sinZABC；

(2)若。為BC上一點、,且NBAD=90°,求△4OC的面積.

■11-

【答案】(1)*;

⑵*

【解析】

【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為6。=。，然后由余弦定理可得cosB=

智，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得玩116=吟；

1414

(2)由題意可得答皿=4,則6^8=，據(jù)此即可求得XADC的面積.

【小問1詳解】

由余弦定理可得：

BC2—a2—b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

2—i27+4-15。

則BC=gcosB=°,芳°

2ac-2x2xV714'

sinB=V1—COS2B=Jl-翁=

【小問2詳解】

JxABxADxsin90°

由三角形面積公式可得.Q2Vl殷=-j=4

fxXCxADxsin30°

則^^ACD=!1X（Jx2xlxsinl20。）=.

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB，BC,2,BC=272,PB=PC=V6,BP,AP,BC的中

點分別為。，E,O,40=述。。，點F在AC上，BF_L49.

(1)證明：E尸〃平面AOO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角。一AO—C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；(3)夸.

【解析】

-12?

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理

作答.

(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問1詳解】

連接尸，設(shè)人尸=〃1。，則BF=BA+AF^(l-t)BA+tBC,AO^-BA+^BC,

BF±AO,

貝可加?前=[(1-t)BA+tBC]-(-BA+yBC)=(i-l)BA2+^tBC^=4(t-l)+4t=

0,

解得t=微■，則R為力C的中點，由DE，。，口分別為PB,PA,BC,AC的中點，

于是DE〃AB,DE=jAB,OFIIAB,OF=^AB，即DE〃OF,DE=O尸，則四邊形

ODEF為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,文EFU平面ADO,DOu平面ADO,

所以ER〃平面AOO.

【小問2詳解】

由⑴可知ER〃O。，則49=述,。0=萼,得4。=，^。0=衛(wèi)|^,

因此。。2+4。2=4加=號，則。。j_A。,有石尸J_40,

又4。_LBF,BFHEF=F,BF,EFU平面BEF,

則有力O_L平面BER,又AOu平面ADO,所以平面ADO_L平面SEP.

【小問3詳解】

過點。作OH〃3F交AC于點〃，設(shè)ADfl3E=G,

由AO_L3R,得HO_LAO,且AH,

又由(2)知，OD_L4O,則NOOH為二面角D—4O—。的平面角，

因為D,E分別為PB,PA的中點，因此G為"AB的重心，

-13?

即有DG=^-AD,GE=^-BE,又FH=^即有^-GF,

OO?J/

4+^_li2r-

cosZABD=-Z~~解得R4=，n,同理得8E=萼,

2x2x-62x2xV62

25

于是BE2+ER2=8斤2=3,即有BE±EF,則GF=（yx乎）?+

從而6^=平，08=,*零=等，

ONJ/

在△OOH中，OH=q8斤=率,OD=?、DH=,

2222

6+3_迪

=_1

于是C?！虿舠inZ.DOH=

2

所以二面角。一月。一。的正弦值為哼.

20.已知橢圓。：4+耳=l(a>b>0)的離心率為坐，點4一2,0)在。上.

abJ

(1)求。的方程；

(2)過點(一2,3)的直線交。于點P,Q兩點，直線4P,4Q與2軸的交點分別為M,N,證明：線段

MN的中點為定點.

【答案】⑴。苧=1

(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解a,b,c,進而可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線PQ的方程，進而可求點M,N的坐標，結(jié)合韋達定理驗證以丁為定值即可.

【小問1詳解】

『:2，,e=3

由題意可得，解得卜=2,

|e十字U=V5

?14?

、Vx2

所以橢圓方程為—+—=1.

【小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ：g=kQ+2)+3,2(如幼),。但,?/2),

?=k(rr+2)+3

聯(lián)立方程<￡之—，消去g得：(4fc2+9)x2+8fc(2fc+3)T+16(fc2+3fc)=0,

IT+T~1

則△=64fc2(2fc+3)2-64(4fc2+9)(fc2+3fc)=-1728fc>0,解得kV0,

因為X(-2,0),則直線AP-.y=+2),

X\~rZ

令，=。，解得"=黑，即"(O,黑),

同理可得M。，黑)，

2%,2y2

為+2g+2_[k(“i+2)+3]?[k(g+2)+3]

則2=一訪—+―^+2—

_[ki]+(2k+3)](g+2)+[kg+(2k+3)](電+2)_2kxiX2+(4k+3)(x^+x2)+4(2k+3)

(g+2)(g+2)x1x2+2(xl+x2)+4

32/c(fc2+3/c)弘(4k+3)(2k+3),“加,a

.----------篇百-----+4(2k+3)_108_

-T—>■-cc-J，

16(內(nèi)+3AJ)16G(2F+3)

4fc2+94后+9

所以線段PQ的中點是定點(0,3).

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟

(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值；

?15?

(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某

些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

21.已知函數(shù)/(⑼=++⑼.

(1)當a=—1時,求曲線y=/(z)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)是否存在a,d使得曲線夕=/(十)關(guān)于直線*=b對稱,若存在，求a,b的值，若不存在,說明理

由.

(3)若/(乃在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

【答案】⑴(ln2)c+9—ln2=0;

11

⑵存在a=卷,b=一方滿足題意，理由見解析.

⑶(04).

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點

坐標，最后求解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)b的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性

利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程可得實數(shù)a的值，最后檢驗所得的a,b是否正

確即可；

(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)gQ)—ax^x—(x+l)ln(x+1),

然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a&O,和OVa三

中情況即可求得實數(shù)a的取值范圍.

【小問1詳解】

當a=1l時，fQ)=l)ln(s+1),

則/Q)="xlnQ+l)+C—l)x[p

據(jù)此可得"1)=OJ(1)=-ln2,

函數(shù)在(1,/(1))處的切線方程為y—0=—ln2(a:-1),

即(ln2)a;+y—ln2=0.

【小問2詳解】

函數(shù)的定義域滿足」?+1=且土[>0,即函數(shù)的定義域為(-00,-1)U(0,+8),

XX

?16?

定義域關(guān)于直線。=一方1對稱，由題意可得b=一^1,

由對稱性可知+m)=f(-今

取山=丹可得/(1)=/(-2),

即(a+l)ln2=(Q-2)ln則a+l=2—Q,解得a=J,

經(jīng)檢驗a=q,b=-；滿足題意，故a=J,b=—

即存在&=焉6=一卷滿足題意.

【小問3詳解】

由函數(shù)的解析式可得/'(乃=(--y^ln(a;+1)+信+a)①；］,

由/(⑼在區(qū)間(0,+8)存在極值點，則fQ)在區(qū)間(0,+co)上存在變號零點;

令(T)ln(*+l)+C+a)1r=0,

則—(%+l)ln(x+1)+(x+ax2)=0,

令g(x)=ax2+x—(x+l)ln(x+1),

/(n)在區(qū)間(0,+8)存在極值點,等價于g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號零點，

g(x)=2ax-In(a;+]),g"(2)=2a-；]

當a&O時,g'Q)V0,g(i)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

此時g(c)Vg(0)=0,g(c)在區(qū)間(0,+oo)上無零點，不合題意；

當a><，2a>l時，由于V1,所以g"Q)>0,g'(t)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以g'(z)>g'(0)=0,g(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，g(t)>g(0)=0,

所以gQ)在區(qū)間(0,+8)上無零點，不符合題意；

111

當OVaV3時，由/(力)=2Q-----=0可得i=---1,

2x+12a

當立e(0,；—1)時，g"Q)<0,g'(6)單調(diào)遞減，

/a

當a;e—l,+oo)時，g"Q)>0,g'O)單調(diào)遞增，

故g'Q)的最小值為—1)=1-2a+ln2a,

令?n(N)=l—x+lnx(0VcV1),則m(x)=—①土)>0,

x

函數(shù)mQ)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，m(x)<m(l)=0,

據(jù)此可得1—c+\nxV0恒成立，

?17?

則-1)=1-2Q+ln2a<0,

令h(x)=\nx—x2+x(x>0),則h!⑸=—**+1,

x

當cE(0,1)時，〃Q)>0A(c)單調(diào)遞增，

當/e(i,+oo)時，//(re)<o,/i(x)單調(diào)遞減,

故九(乃《無⑴=0,即/(取等條件為rc=1),

所以g'Q)=2ax—ln(o:+1)>2ax—[(x+l)2-(x+1)]=2ax—(x2+x),

，(20—1)>2磯2。-1)一[(2°—1)2+(2。-1)]=0,且注意到。(0)=0,

根據(jù)零點存在性定理可知:g'Q)在區(qū)間(0,+co)上存在唯一零點力

當c￡(0國))時，g\x)<0,g(N)單調(diào)減,

當出€(g,+8)時，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(g)Vg(0)=0.

令九(力)=\nx——十),則九'(c)=[—J40，

則似力)單調(diào)遞減,注意到n(l)=0,

故當cG(1,+oo)時，Inx—1(力—V0,從而有InxV?——),

所以g(%)——(x+l)ln(x+1)

>ax2+x-(2+1)xy[^(x+1)-/；]]

=(a-

>

令,一=0得&=7TS所以g必與)>°,

所以函數(shù)gQ)在區(qū)間(0,+co)上存在變號零點，符合題意.

綜合上面可知：實數(shù)a得取值范圍是((),￡).

【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆

分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算